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第11章 一次函数
11.4 一次函数与实际问题
1.能建立一次函数模型解决实际问题.
2.能分段表示一次函数.
常用的温度计量单位有摄氏度(℃)和华氏度(℉)两种.它们之间的部分对应温度数据如下表所示：
设摄氏温度为x(单位：℃)，华氏温度为y(单位：℉)，在平面直角坐标系中描出表格中的数据对应的点，如图所示.
(1)这些点所在的位置有什么特征？若增加表格中的数据，那么这些数据所对应的点是否依然有此特征？
这些点都在一条直线上，其他摄氏温度及相应的华氏温度所对应的点也在这条直线上.
(2)华氏温度y(单位：℉)与摄氏温度x(单位：℃)之间是函数关系吗？
摄氏温度每增加10℃，华氏温度都增加18℉，y关于x的函数是一次函数.
（4）华氏温度(单位：℉)关于摄氏温度(单位：℃)的函数表达式是什么？
设y关于x的函数表达式为y=kx+b.当x=0时，y=32；当x=10时，y=50.
所以y关于x的函数表达式为y=1.8x+32.
列方程组得
解得
注意：对于这类题，我们可以对照表格在坐标系内大致描出各点，观察他们是否在一条直线附近波动，猜想它们近似地满足一次函数关系,再从上述各组数据中任选两组数据,利用待定系数法,可求出它的函数表达式.?
一地某日最高气温为95 ℉，此地当日最高气温为多少摄氏度？
将y=95代入y=1.8x+32，解得x=35.所以此地当日最高气温为35 ℃.
华氏温度值与对应的摄氏温度值有可能相等吗？
将y=x代入y=1.8x+32，解得x=-40.所以华氏温度值与对应的摄氏温度值相等时为-40，即-40 ℃=-40 ℉.
y=1.8x+32
例1 学校准备购进A型和B型两种消毒液共90瓶.已知A型消毒液每瓶7元，B型消毒液每瓶9元.学校要求购进B型消毒液的数量不少于 A型消毒液数量的13.设计出最省钱的购买方案.
?
解：设购进A型消毒液x瓶，购买费用为W元.
由题意得W=7x+9(90-x)=-2x+810.
所以W是x的一次函数，且一次项系数-2<0.
所以W随着x的增大而减小，x最大时，W有最小值.
根据题意得90-x≥13x，解得x≤67.5.
?
用一次函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围
由x是整数，得x的最大值为67，
例1 学校准备购进A型和B型两种消毒液共90瓶.已知A型消毒液每瓶7元，B型消毒液每瓶9元.学校要求购进B型消毒液的数量不少于 A型消毒液数量的13.设计出最省钱的购买方案.
?
所以最省钱的购买方案是购进67瓶A型消毒液、23瓶B型消毒液，费用为676元.
此时 W=810-2×67=676，购进B型消毒液90-67=23(瓶).
实际情况
例2 某市为鼓励居民节约用水，自今年1月1日起居民用水收费标准按两档分阶梯计价.如图，l1，l2 分别表示去年、今年水费y(单位：元)与用水量x(单位：m3)之间的关系.已知小亮家去年用水量为150 m3.若想保持用水费用不变，今年需要节水多少立方米？
解：设l1的函数表达式为y=k1x.
因为直线y=k1x过点(140，420)，所以140k1=420，解得k1=3.
所以l1的函数表达式为y=3x.
当x=150时，y=3×150=450.
当y>420时，l2为过B，C点的射线，设它的函数表达式为y=k2x+b.
将B(120，420)，C(140，520)代入y=k2x+b，
得 解得
所以当y>420时， l2的函数表达式为y=5x-180.
当y=450时，5x-180=450，解得x=126.
因为150-126=24(m3)，所以小亮家要想支付与去年相同的水费，今年需节水24 m3.
y=
写出 l2的表达式时，需要对0≤x≤120和x>120进行分段讨论.
当0≤x≤120时，y=72x；
当x>120时，y=5x-180.
合起来表示为
?
阶梯计价，分段函数
1.某工厂加工一批机器,机器数y(个)和所用的时间t(小时)在坐标系中对应的一些点的位置如图所示,由此可求出y关于x的近似函数表达式为( )
B
A.y=2x+1 B.y=x+1 C.y= 12 x+1 D.y=x+2
?
1.某电信运营公司用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(单位：分钟)与相应话费y(单位：元)之间的函数图象如图所示，月通话为280分钟时，应缴话费 （ ）
A.70元 B.76元
C.80元 D.无法判断
B
3.为了迎接新学年的到来，时代中学计划开学前购买篮球和排球共20个，已知篮球每个80元，排球每个60元，设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用为y元.
（1）求y与x的函数表达式.
（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少元？
解：（1）根据题意得y=80x+60（20-x）=1200+20x.
（2）∵篮球的个数不少于排球个数的3倍，即x≥3（20-x），解得x≥15.
∵k=20＞0，∴当x=15时，总费用y最小，此时y=1200+20x=1500元.
回顾本节课，请回答问题：
在什么情况下能够建立一次函数模型解决实际问题？如何建立呢？

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