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第12章 图形的平移与旋转
12.2 图形的旋转
1.理解旋转的定义，知道旋转的三要素.
2.掌握旋转的基本性质，能用旋转的基本性质解决问题.
3.会按照要求作出旋转后的图形，会用尺规作图确定旋转中心.
日常生活中，我们经常遇到物体旋转的场景，如转动的指针、工作的钟摆、运行中的摩天轮、荡来荡去的秋千等.你能举出其他例子吗？
如图，将三角板绕点 A 按逆时针方向转动70°至△ADE位置处.在转动的过程中，三角板的形状、大小和位置是否发生变化？
形状、大小不变，位置发生变化
在平面内，将一个图形绕某一个定点按顺时针方向或逆时针方向转动一定的角度，图形的这种变化叫作旋转.这个定点叫作旋转中心，这个角叫作旋转角.旋转前图形上的点与旋转后它所到达的点叫作对应点.经过旋转得到的图形的位置由旋转中心、旋转方向和旋转角确定.
如图，以点A为旋转中心，将三角板ABC绕点 A 按逆时针方向转动70°至△ADE的位置处.
旋转的三要素
旋转中心：点 A
旋转角： ∠BAD或70°
旋转方向：逆时针
旋转只改变位置，不改变大小和形状.旋转前后的图形全等.
如图，将挖去一个三角形的长方形硬纸板放在一张白纸上，在硬纸板的点O处按上一个图钉，描出三角形 ABC.将硬纸板绕点O顺时针转动角α，再描出△A'B'C'.移开硬纸板，在白纸上的图钉订痕处标上点O.
(1)连接OA，OA'，它们的长有什么关系？连接OB，OB'，OC，OC'，能得到类似的结论吗？为什么？
点A与它的对应点A'都在以点O为圆心，OA为半径的圆上，
对应点到旋转中心的距离相等
所以OA=OA'.
同理，OB=OB'，OC=OC'.
如图，将挖去一个三角形的长方形硬纸板放在一张白纸上，在硬纸板的点O处按上一个图钉，描出三角形 ABC.将硬纸板绕点O顺时针转动角α，再描出△A'B'C'.移开硬纸板，在白纸上的图钉订痕处标上点O.
(2)图中有哪些角等于旋转角α？
△ABC上每个点都绕点O顺时针转动了角α，
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
所以∠AOA'，∠BOB'，∠COC'都等于α.
旋转的基本性质 一个图形和它经过旋转得到的图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角.
例1 如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点O 是BC的中点.将一个三角板的直角顶点放在点O处，并使三角板的两条直角边分别经过点 A和点B.将三角板绕点 O按顺时针方向旋转，三角板的两腰与 Rt△ABC的两腰AB，AC的交点分别记为E，F，如图②所示.在旋转过程中，线段OE 与OF有什么数量关系？为什么？
解：OE=OF，理由如下：
连接 AO.
因为三角板绕点O按顺时针方向旋转，
所以∠BOE=∠AOF(旋转的基本性质).
因为在等腰直角三角形 ABC中，
∠BAC=90°，O为BC的中点，
所以∠B=45°，∠OAF= ∠BAC=45°，
BO=BC，AO= BC.
所以∠B=∠OAF，BO=AO.
在△BOE 与△AOF 中，
∠B=∠OAF，BO=AO，∠BOE=∠AOF，
所以△BOE≌△AOF(ASA).所以OE=OF.
例2 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为边BC，DC 上的点，∠EAF=45°.△ABE 绕某点顺时针旋转后到达△ADG 的位置.
(1)指出旋转中心和旋转角度.
解：(1)旋转中心为点 A，旋转角为90°.
(2)因为△ADG 是由△ABE 旋转得到的，
所以 AE=AG，∠GAE=90°，DG=BE=2，
∠ADG=∠B.
因为四边形 ABCD 是正方形，所以∠B=∠ADC=90°.
所以∠ADG+∠ADC=180°.所以点G，D，F 共线.所以GF=GD+DF=2+3=5.
因为∠EAF=45°，所以∠GAF=∠EAF=45°.
在△AEF 和△AGF 中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，
所以△AEF≌△AGF(SAS).所以EF=GF=5.
例2 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为边BC，DC 上的点，∠EAF=45°.△ABE 绕某点顺时针旋转后到达△ADG 的位置.
(2)若BE=2，DF=3，求EF 的长.
A
B
C
D
O
B'
A'
C'
D'
如图，画出四边形 ABCD绕点O按顺时针方向旋转60°后的四边形 A'B'C'D'.
旋转作图的步骤
(1)定：确定原图形中每一个关键点与旋转中心；
(2)连：连接图形中每一个关键点与旋转中心；
(3)转：把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)；
(4)截：在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应点；
(5)连：连接所得到的各对应点；
(6)写：写出结论，说明作出的图形.
如图，已知△ABC 绕某点旋转一定角度得到△A'B'C'，如何用尺规作图确定旋转中心？
①连接 AA'，BB'；
O
两对对应点所连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心
②分别作 AA'，BB'的垂直平分线；
③两条垂直平分线的交点O即旋转中心.
1.下列现象中属于旋转的有( )
①地下水位逐年下降； ②传送带的移动；
③方向盘的转动； ④水龙头的转动；
⑤钟摆的运动； ⑥荡秋千.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
2.如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ）
A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90°
C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45°
B
A
B
C
D
E
3.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt △ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC= , ∠B=60 °，则CD的长为（ ）
A. 0.5 B. 1.5 C. D. 1
D
4. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°，AB=3，OA=5，则A ′ B ′ = ,OA ′ = ,旋转角= .
3
5
44 °
A
B
O
A ′
B ′
旋转
定义
性质
应用
确定旋转中心
作图基本步骤五步
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等
1.定；2.连；3.转；4.截；5.连；6.写
两对对应点所连线段的垂直平分线的交点

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