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第12章 图形的平移与旋转
12.3 课时2 中心对称图形
1.了解中心对称图形的概念.
2.掌握中心对称图形的性质，并利用性质解决问题.
(1)你见过绕某一个定点旋转180°后与自身重合的图形吗？下图是双鱼剪纸、太阳神鸟和北京冬奥会的大雪花，这三个图案是否具有这种特点？
(2)如图，点O是线段AB的中点.如果将线段 AB 绕点O旋转180°，能否与自身重合？
(3)如图，与平行四边形ABCD关于对角线O成中心对称的图形是哪个图形？
还是平行四边形ABCD
可以与自身重合
(1)如果一个图形与自身关于点O 成中心对称，那么这个图形上的任一点 P，关于点O 的对称点P' 在这个图形上吗？
根据中心对称的定义，点P' 在这个图形上.
(2)一个图形若与自身成中心对称(比如，如图所示的平行四边形)，过其对称中心作一条直线，这条直线将这个图形分成了两部分，这两部分图形有什么关系？
直线EF过对称中心O，所以EF两侧的图形关于点O成中心对称，这两部分图形全等.
思考与交流
在平面内，如果一个图形经过中心对称能与自身重合，那么这个图形叫作中心对称图形.
经过对称中心的任一条直线，将中心对称图形分为两个全等的图形.
线段是中心对称图形，对称中心是它的中点.平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因此也都是中心对称图形.
辨别中心对称图形的方法
思考：你知道如何辨别中心对称图形吗？
中心对称图形与中心对称有什么联系与区别？完成下列表格.
中心对称 中心对称图形
图象
区别
联系 (1)是针对___个图形而言的；
(2)是指两个图形的(位置)关系；
(3)对称点在____个图形上；
(4)对称中心在____________________.
(1)是针对___个图形而言的；
(2)是指具有某种性质的一个图形；
(3)对称点在____个图形上；
(4)对称中心在________________.
若把成中心对称的两个图形视为__________，则成为中心对称图形；
若把中心对称图形的两部分看作__________，则它们成中心对称.
2
1
一个整体
两个图形
两个图形之间或图形上
图形上或其内部
2
1
例 如图，ABCD是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分.除了连接正方形的两条对角线或两组对边的中点外，你还有什么方案？请画出图形，并说明理由.
解：过正方形的对称中心O，任意作两条互相垂直的直线EG，HF，分别交BC，AD于点E，G，交AB，CD于H，F，则EG与HF可作为小路的位置.
理由如下：
将四边形OGAH,OHBE,OECF,OFDG的面积分别记为S1，S2，S3，S4，
因为GE经过正方形ABCD的对称中心O，
所以四边形GABE与四边形ECDG全等，
所以S1+S2=S3+S4=S.
E
G
H
F
O
同理S2+S3=S1+S4=S，
所以S1=S3，S2=S4.
例 如图，ABCD是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分.除了连接正方形的两条对角线或两组对边的中点外，你还有什么方案？请画出图形，并说明理由.
E
G
H
F
O
连接OA，OB，因为四边形ABCD是正方形，所以OA=OB，∠GAO= ∠HBO=45°，∠AOB=90°.
因为∠HOG=90°=∠AOB，
所以∠AOG= ∠BOH.
在△AOG和△BOH中，
∠GAO= ∠HBO，OA=OB，∠AOG= ∠BOH，
所以△AOG≌△BOH.
同理△AOH ≌△BOE.
所以S1=S△AOG+S△AOH =S△BOH+S△BOE=S2，
例 如图，ABCD是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分.除了连接正方形的两条对角线或两组对边的中点外，你还有什么方案？请画出图形，并说明理由.
E
G
H
F
O
所以S1=S2=S3=S4，
即HF和GE把正方形ABCD分成面积相等的四部分.
1.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是( )
　A.平行四边形 B.矩形
　C.菱形 D.正方形
A
2.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O的两条直线，分别交各边于点E、H、F、G，则A、E、D、G关于O的对称点分别是 、 、 、 .
D
G
F
A
B
H
E
C
O
H
F
B
C
3.世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性.请问以下三个图形中是中心对称图形的有 .
①
②
③
①③
4.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=，求BB′的长为_____．
8
本节课学到了哪些知识？
1.中心对称图形的定义
2.判断一个图形是否为中心对称图形
3.中心对称图形的性质及应用

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