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21.3.2菱形
一、单选题
1．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
3．如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为20，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
4．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________．
7．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为__________．
8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______．
9．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____．
10．如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______．
三、解答题
11．如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为24，，，求的长．
12.如图，在直角中，，B是边上一点，连接，O为的中点，过C作交延长线于D，且平分，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接交于F，，求的度数．
13.在菱形中，，点H在平面内，点E为直线上一点．
(1)如图1，当H在上时，，若，，求的长；
(2)如图2，当H在延长线上时，，O为的中点，连接并延长交于点G，求证：．
14.如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，请判断并证明四边形的形状．
15.如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边、于点、，连接、，，
(1)四边形是菱形吗？请说明理由；
(2)若，求的长．
16.如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明；
(3)若，，，，求四边形的周长．
17. 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
(1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形为矩形，求t的值；
(3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
参考答案
一、单选题
1．A
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴在菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．D
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选D．
3．C
解：在菱形中，其周长为20，，
，，，，
，
，，
．
故选：C．
4．B
解：四边形是菱形，
，，，
，，，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
∵，
∴，
．
故选：B．
5．C
解：如下图所示，过点作，
当点与点重合时，的值最小，
四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
，
，
解得：，
，
的最小值为．
故选：C．
二、填空题
6．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．3
解：菱形中，对角线相交于点O，
则为的中点，
∴
由可得，
∵
∴
又为的中点
∴．
8．
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴．
9．
解：∵四边形是菱形，
，
，
∵点为的中点，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．
解：连接，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴ ABC和都是等边三角形，
∴，
在和 CAF中，，
∴，
∴，
∴，
作交于点，

在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则四边形的面积为，
故答案为：．
三、解答题
11．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴菱形的周长为：，
∴，
∵，
∴，
又 ，
∴是等边三角形，
∴．
12.（1）证明：∵，
∴，
∵O为的中点，
∴，
在 AOB和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
13.（1）解：过点作交于点，
∴，
∵在菱形中，，，，，
∴，，
∴ ABC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴的长为；
（2）证明：过点作交于点，
∴，
由（1）知： ABC是等边三角形，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又，，
∴．
14.（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E、F、G分别为线段、、的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴ 四边形为平行四边形．
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
15.（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
假设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴．
16.（1）证明：∵分别是的中点．
∴且，，且，
∴且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是菱形．
∵分别是的中点．
∴，，
当时，，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为．
17.（1）解：四边形是平行四边形．
理由如下：
由题意得：，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵G，H分别是，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①当时，连接，如图，
由（1）得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
当四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，连接，如图，
当四边形是矩形时，
∵，，
∴，
∴，
综上，四边形为矩形时或．
（3）解：连接，，，设与交于，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，即：，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，四边形为菱形．

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