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21.1 四边形及多边形
一、单选题
1．下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（ ）
A．四边形的内角和与外角和相等
B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补
C．四边形的外角和是
D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是
2．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正三角形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
3．若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（ ）
A．它一定是三角形 B．它可能是四边形
C．它一定是四边形 D．它不可能是三角形和四边形
4．如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______．
6．如图，学校的伸缩门是应用了四边形的________．
7．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________．
8．正五边形和正方形按如图所示摆放，连接，则_____．
三、解答题
9．正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
10．如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数．
11．如图，在平面直角坐标系中，，，，，．
(1)求证：；
(2)求证：；（提示：过点A作于点F，作的延长线于点E，）
(3)求四边形的面积．
12．如图，四边形中，，平分，交于G点．
(1)如图1，若，
①求证：；
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分．
13．综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰 ABC中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：
【观察发现】
①如图1，当时，线段，的数量关系为___________；___________°；
【类比探究】
②如图2，当时， ABC和都是等边三角形，此时试探究线段与是什么位置关系？
【拓展延伸】
（2）如图3，四边形中，，连接，若，则四边形的面积为___________．
14.【问题提出】
（1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形；
【问题探究】
（2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数；
【问题解决】
（3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数．
15.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究．
观察图形规律：
归纳探究：
多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．．
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．．
一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．．
多边形的内角和 ．．．
根据图表信息，回答下列问题：
(1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形．
(2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示）
(3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由．
16.如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点．
(1)若，则____________，____________．
(2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
17.【问题初探】
（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到．
请你参考小颖的解题思路写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵四边形内角和为，任意多边形外角和均为
∴A选项中四边形内角和与外角和相等，表述正确．
∵四边形内角和为，若一组对角互补（和为）
∴另一组对角和为，即另一组对角也互补，B选项表述正确．
∵任意四边形外角和为
∴C选项表述错误．
∵四边形内角与相邻外角互补，若每个内角是
∴每个外角为，D选项表述正确．
故选：C．
2．C
解：①长方形每个内角为，，结果是整数，长方形可以单独镶嵌；
②正三角形每个内角为，，结果是整数，正三角形可以单独镶嵌；
③正五边形每个内角为，不是整数，正五边形不能单独镶嵌；
④正六边形每个内角为，，结果是整数，正六边形可以单独镶嵌；
因此可供选择的地砖为①②④．
3．A
解：设该凸多边形为n边形，题中满足条件的内角为，
∵n边形内角和为，等于其余内角的和
∴，
整理得，
即，
∵凸多边形的内角满足，
∴，
不等式两边同除以得 ，即，
∵n是不小于3的正整数，
∴
∴它一定是三角形．
4．D
解：，，，，．
故选：．
二、填空题
5．6
解：设这个多边形的边数为，
∴，
解得，
故答案为：．
6．不稳定性
解：学校的伸缩门在开关过程中，其形状可以发生改变，能够灵活伸缩，应用了四边形的不稳定性．
7．6
解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线，
∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为．
8．
解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴．
三、解答题
9．（1）解：由题意，，
解得，
∵正边形的边长为2，
∴周长为；
（2）解：由（1）可知，正边形每个内角的度数为，
∴正边形的每个外角的度数为；
∴．
10．解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴．
∵，
∴，
∴．
11．（1）证明：如图，在四边形中，，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）证明：如图，过点A作于点F，作的延长线于点E，
，，，
，，
，
，
又，
，即平分，
又，，
，，
，在和 ADE中，，
，
；
（3）解：如图，作轴于点G，
，
，
，
在和中，，．，
．四边形的面积
．
12．（1）解：①四边形中，，
，
与互为邻补角，
，
，
，
，
即：．
②，
平分平分，
，
，
在中：，
，
，
，
，
；
（2）解：延长交于点M，如图所示：
，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分．
13．解：（1）①由题意可得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
②由题意可得，
∴，
∴，
∵ ABC是等边三角形，
∴,
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点作交的延长线于点，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，在和中，，
∴，
∴，，
∴．
14.解：（1）时，
从一个顶点出发的对角线数量为，
三角形分割数量为．
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴，．
∵平分，
∴．
设，则，．
∵，
∴，解得，
∴，
故小路与小路的夹角（即）的度数为．
15.（1）解：
多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．．
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．．
一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．．
多边形的内角和 ．．．
按此规律，从十边形的一个顶点可以引出条对角线，对角线将十边形分割成了个三角形；
（2）解：从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出条对角线，这些对角线将边形分割成了个三角形，边形的内角和为．
（3）解：设这个多边形的边数为（，且为整数），
依题意，得，
解得，
∵，且m为整数，
∴不符合题意．
答：不存在这样的多边形．
16.（1）解：在中；
∵ 平分，平分；
∴；
在四边形中；
∵ 平分，平分；
∴；
在中．
∴．
（2）解：．理由如下：
，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点，
．
，，
，
．
17.（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，，
∴，
又∵平分，，
∴，，
在四边形中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，，
∴，
∴．

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