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21.2 平行四边形
一、单选题
1．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（ ）
A．4 B．3 C．2 D．不确定
3．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ）
A． B．16 C．12 D．13．
4．如图，在平行四边形中，，，、的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，若的周长是12，则的周长为（ ）
A．22 B．24 C．32 D．44
6．如图，点，在的对角线上，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且．若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
8.如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
9．如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______．
10．已知：如图， ABC中，是边的中点，平分，于点，若，，则__________．
11．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________．
12.如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，则线段的长为_______．
13．如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______．
三、解答题
14．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．
15．如图，是的中点，交于点，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，连接，求的长．
16．如图，已知 ABC中，点D、E分别在边、上，点F在上．
(1)若，，求证：；
(2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求 ABC的面积．
17．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图．
①求证：；②已知，直接写出的长_________．
18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且．
(1)求两点坐标；
(2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形．
①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长．
②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意；
D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
故选：C．
2．B
解：在平行四边形中，，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
3．A
解：连接，
四边形是平行四边形，，对角线相交于点，
，
交于点，
垂直平分，
，
，
，
是直角三角形，且，
，
．
4．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵是平行四边形的对角线，
∴，
∵是平行四边形的对角线，
∴．
∴，即，
∴，
同理，
即：，，，
综上有3对面积相等的平行四边形．
5．B
解：由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∵的周长是12，
∴，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的周长．
6．D
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
7．B
解：∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
．
，
．
，
．
8.B
解：∵中，，于，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
∵于，于，
∴，
∴，
∵在中，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，故④错误；
∴，
∵在中，，
∴，故③正确；
∵，故⑤正确；
故选：B ．
二、填空题
9．30
解：且在中，，
为的垂直平分线，
，
，
即的周长为30．
10．1
解：延长交于F，
∵平分，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵D为中点，
∴是 BCF的中位线，
∴．
11．
解：四边形是平行四边形，，
，．
，
，
是等腰三角形．
如图，过点作于点，连接．
，
在中，由勾股定理得：．
∵点是的中点，
∴是的中位线，
，．
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
．
12．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
13．7
解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示：
∵四边形为平行四边形，，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
即的最小值为7．
三、解答题
14．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和 BCF中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
15．（1）证明：∵，交于点，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，
∵是的中点，是的中点，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴的长是．
16．（1）证明：∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵D、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∵点 F 是的中点，
∴设，
∵点 D 是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点 E 是的中点，
∴．
17．（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点，
，，
．
在和中，
，
，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
．
②∵
设
∵
∴
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，
∴
∴
∵，
∴
18．（1）解：，
，解得：，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵
∴，
，
，
，
在和 ADE中，
，
，
，，
，，
∴ ABC是等腰直角三角形，
，
∵∠OAB+∠ABO=90
，
，
在和中，
，
，
，
∴
②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当点在原点左侧时，过点作交于点，
同理可证，四边形是平行四边形，，
，，
，
，
即，
综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或．

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