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21.3.3正方形
一、单选题
1．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（ ）
A．313 B．225 C．169 D．144
3．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将 ADE沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．2020年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，E，F分别是上的点，相交于点M．N是的中点．若，．则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
二、填空题
8．如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的度数为___________．
9．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________．
10．如图，已知中，，分别以直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，则的长为________．
11．如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________．
12．如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点分别是的中点，连接，则的长度为___________．
三、解答题
13．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形．
14．如图，在 ABC中，，点是的中点，过点作平行于，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当时，求证：四边形是正方形．
15．四边形为矩形，，若点F是上的点，E是延长线上的一点，，于点G，
(1)求证：
(2)求的度数．
16．【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？
（1）请直接判断：______（填“”或“”）；
在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：
（2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论．
17.正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，是对角线上一点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连．
(1)如图①所示，求证：矩形是正方形．
(2)将（1）中正方形顶点沿着平移，顶点落在延长线上时，如图②所示．试探究，，的数量关系，并说明理由．
18.如图，在边长为的正方形中，
(1)如图1，，垂足为点，求证：；
(2)如图2，垂直平分，且，求的长；
(3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长．
参考答案
一、单选题
1．A
解：四边形为正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
．
2．B
解：∵在中，，，
∴．
∵正方形的面积为，正方形的面积为，
∴正方形和正方形的面积和为．
3．D
解：过点作于，于．
则，
四边形是正方形，是对角线，
，，
∴四边形是矩形，
∵，，，
，
∴四边形是正方形，
．
，
，
．
在和中，
，
，
，．
，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
．
．
4．B
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
5．D
解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点B坐标为，
∴，
∵将 ADE沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，则．
6．B
解：∵，，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
在中，由勾股定理，得．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵N是的中点，即为的斜边上的中线，
∴．
7．C
解：连接，
∵，
∴点E是的中点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为8，即，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分四边形的面积为16．
故选：C．
二、填空题
8．
解：如图所示：
四边形是正方形，对角线为、相交于点，
，
，
，，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
9．
解：过点作交于点，交于点，
则，
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．
如图所示，过作交的延长线于，
∵正方形和正方形，
∴，，，
，
又∵，，
∴，
在 ABC和中
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
，
∴．
11.
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴点B与点D关于对称，
∴，
∵，
∴，
即长是最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为．
12．
解：连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
∵点H是的中点，
∴，
，
，
，
，
∴在中，，
点，分别是，的中点，
．
三、解答题
13．证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，，，
即，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
14．（1）证明：点是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
在中，，
，
，
矩形是正方形．
15．（1）证明：∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的度数为．
16．（1）解：∵，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
在和 BCF中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
∵四边形是正方形，
，
∵∵AD∥BC,AN∥GE，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
17．（1）解：证明：如图，过点分别作于点，于点，
则．
∵四边形是正方形，
，平分，
，
∴四边形为正方形，
．
∵四边形为矩形，
，
．
又，，
，
，
∴矩形是正方形．
（2）．理由如下：
由（1）可知，矩形是正方形，
，．
∵四边形是正方形，
，，
，，
，
．
，
．
18.（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵垂直平分，且，
∴，，，
设，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
设，则，
∴，
∴
解得：，即．
（3）解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．

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