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21.3.1矩形
一、单选题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形；
B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形；
C．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形；
D．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形．
2．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知，矩形的对角线交于点O，，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
4．把一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为．若，，则（ ）
A． B． C． D．3
5．如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　）
A．5 B． C． D．
6．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，在中，，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题
8．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___．
9．如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则______．
10．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____．
11．如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______．
三、解答题
12． 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F．
(1)求证：；
(2)求的长．
13．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，；
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
14．如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
15．已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将 EGC沿直线翻折得，连接．

(1)如图（1），若点在上，求证：；
(2)如图（2），若，求的面积；
(3)当为等腰三角形时，求线段的长．
16.如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．
(1)证明：；
(2)当时，求的面积．
17.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
(1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：．
(2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长．
参考答案
一、单选题
1．D
A、有一组对角是直角且一组对边平行，可由平行线的性质得到其余两个角也为直角，四个角都是直角的四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；
B、如图，
，，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为矩形；
故B是真命题，不符合题意；
C、若两个直角是对角，根据B中证明可得四边形是矩形，
如图，若，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为矩形；
如图，若，，
假设，过点作于，
∵∠A=∠B=∠BED=90 ，
∴四边形是矩形，
，
，
，
∵在中，，
这与相互矛盾，
，
，
∴四边形是矩形；
故C是真命题，不符合题意；
D、直角梯形有两个内角是直角，且有一组对边平行，但直角梯形不是矩形，因此该命题是假命题，符合题意．
2．B
解：的垂直平分线经过点，
，
，是的中点，
．
3．A
解：在矩形中，，
∵，
∴ AOB为等边三角形，
，
，
在中，．
4．B
解：根据题意，可知，
由折叠的性质，可得，，
设，则，
∴在中，由勾股定理，可得，
即，解得，
∴．
5．B
解：如图，连接，
∵在矩形中，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴．
6．A
解：如图，连接并延长交于点G，连接
．
∵M，N分别是，的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
，
∴，
，即N是的中点．
∴是的中位线．
．
∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，，
∴，，．
在中，
．
．
7．B
解：过作于，设，
∴，
∴，，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在和中，
∴≌，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
二、填空题
8．
解：∵四边形是矩形
∴，
∵平分
∴
∴
∵
∴．
9．
解：如图，连接，与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．
解：∵四边形是矩形，，是对角线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．
解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
如图所示，连接，
∴，
∴当取最小值时，的值最小，
根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，
∵，
∴，
∴线段长的最小值为．
三、解答题
12．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由翻折的性质得，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得．
13．（1）解：∵垂直平分，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
14．（1）证明：四边形为矩形，
，
又，
为的中位线，
即；
（2）证明：由（1）可知，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
且，
，
四边形是矩形．
15．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵将 EGC沿直线翻折得，
∴，，，
又∵，，
∴，
∵点在上，即，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
同（1）可得，
∴，
∴；
（3）解：当为等腰三角形时，分三种情况讨论，
①当时，
∴，
如图，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在上，
设，则，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
此方程无解，故此情形不存在；
②当时，设，则，
∵折叠，
∴，
在中，，
即，
解得：；
③当时，过点作于点，
∴，
同（1）可得，
∴，
∴；
综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或．
16.（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，，
∴为等边三角形，
在中，设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
17.（1）证明：由折叠可知，，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
（2）解：当时，，此时点与点重合，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴；
如图①，当点与点重合时，，，
在中，，
即，
解得，
∴；
综上，的长为6或；

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