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10.1《二元一次方程组的概念》
一、选择题（共8题，每小题4分，合计32分）
1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列二元一次方程中，有一组解为的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知x，y都是自然数，如果那么（ ）．
A．3 B．24 C．13
6．下列关于二元一次方程的解的说法中，错误的是（ ）
A．是它的解 B．它没有正整数解
C．它有无数个解 D．它只有一个解
7．今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
8．按如图所示的运算程序，能使输出结果为的、的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共8题，每小题4分，合计32分）
9．若是关于x，y的二元一次方程，则_______．
10．已知是二元一次方程的一组解，则______．
11．已知方程组 ，则的值是 ______．
12．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____．
13．在平面直角坐标系中，若第一象限的点满足，且均为整数，则满足条件的点有________个．
14．小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支______元，蓝笔每支______元．
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m，n的二元一次方程组的解为______．
16．综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为______________ （写出一对即可）

三、解答题（共4题，每小题9分，合计36分）
17．方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？
18．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值．
19．已知是二元一次方程的一个解．
（1）求k的值；
（2）用含y的代数式表示x；
（3）检验是不是这个方程的解．
20．阅读下面材料，完成任务．
我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由，得（为正整数），，则有．
又为正整数，为正整数，
为3的正整数倍数，从而，
，的正整数解为
任务：
（1）请你写出方程的正整数解：_____；
（2）若为自然数，则满足条件的整数有_____个；
（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？
参考答案
一、选择题
1．C
解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意；
B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意；
C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意；
D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意；
故选C．
2．C
解：已知是二元一次方程的一组解，
则，
∴
．
3．B
解：将分别代入，
得，A不符合题意，
将分别代入，
得，B符合题意，
将分别代入，
得，C不符合题意，
将分别代入，
得，D不符合题意，
故选：B．
4．D
解：∵将代入，
∴，解得，即方程组的解为，
A. 将代入，左边，不符合题意；
B. 将代入，左边，不符合题意；
C. 将代入，左边，不符合题意；
D. 将代入，左边右边，符合题意．
故选：D．
5．A
解：，
因为，
所以，
因为x，y都是自然数，
所以，，
所以．
故答案为：A
6．D
解：由，
得，
A. 是它的解，正确，不符合题意；
根据题意，得，故，而，矛盾，
故方程没有正整数解，
B. 它没有正整数解，正确，不符合题意；
C. 它有无数个解，正确，不符合题意；
D. 它只有一个解，错误，符合题意；
故选：D．
7．B
解：设购买A型铁锹把，B型铁锹把，则
，
解得，
∵为正整数，
∴是5的倍数，即是5的倍数．
设（为正整数），代入得，
解得，
∵，，
∴，
解得．
为正整数，
可以取，
时，，；
时，，；
时，，；
时，，；
时，，；
时，，；
时，，．
共有7种购买方式．
故选：B．
8.D
解：根据题意得：，
A．当时，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意；
B．当时，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意；
C．当时，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意；
D．当时，左边，右边，左边右边，故此选项符合题意．
故选：D．
二、填空题
9．2
解：由关于，的方程是二元一次方程，
故，，
解得，且，
故，
故答案为：2．
10．
解：将，代入方程，
得，
则
．
故答案为∶
11.34
解：∵，
∴
，
故答案为：34．
12．
解：方程组组的解为，
将，代入得：，即，解得；
将，代入得：，即，解得；
；
故答案为．
13．2
解：将方程变形得：
在第一象限，且均为整数.
为偶数，为偶数.
为奇数.
当时，
即
当时,
，即
即满足条件的点有2个.
故答案为：2．
14． 13 4
解：设红笔单价为x元，蓝笔单价为y元，
根据题意，可得，，
x，y都是正整数，且，
满足条件的解有8个，分别为，
，，，，，，，，
他无论怎样买都不能恰好把35元用完，
x和y不能为35的因数，即不能为1，5或7，
，
如果 x和y 中有一个或两个是18的因数，则存在购买的个数使得费用为18元，
那么每种笔再多买一个即17元，总花费为元，
x和y 不能为18的因数，即不能为1、2、3、6、9，
满足条件的解只有，
验证：设购买红笔a个，蓝笔b个，
根据题意可得，，此方程没有非负整数解，
即当红笔每支13元，蓝笔每支4元时，小张无论怎样买都不能恰好把35元用完．
故答案为：13；4．
15．
解：∵与的形式相同；
∴，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得：，
故答案为：．
16．，（答案不唯一）
解：如图可得，
解得：，
∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，
∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意，
故答案为：，．
三、解答题
17．解：满足，不一定．
∵的解既是方程的解，也满足，
∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程的解有无数组，
如，，不满足方程组．
因此满足的一对的值不一定是方程组的解．
18．解：把代入方程得：，
解得，
把，代入得：，
解得．
19．解：（1）解：代入到方程，得，
解得：，
的值为．
（2）解：由（1）得，，
代入到，得，
，
用含y的代数式表示x为．
（3）解：由（2）得，，
当时，，
不是这个方程的解．
20．（1）解：∵，
∴，
∵方程的解为正整数，
∴，
解得，，
∵是正整数，
∴是的倍数，
∴当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴方程的正整数解为；
（2）解：∵为自然数，且，是的倍数，
∴，
当时，原式的值为，是自然数，符合题意，
∴；
当时，原式的值为，是自然数，符合题意，
∴；
当时，原式的值为，是自然数，符合题意，
∴；
当时，原式的值为，是自然数，符合题意，
∴；
∴满足条件的整数有4个，
故答案为：4；
（3）解：设购买本笔记本，支钢笔，
∴，
，
又均为正整数，
为5的正整数倍数，
或，
故有如下两种购买方案：
方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；
方案二：购买1本笔记本和10支钢笔．

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