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4.4 利用三角形全等测距离与特殊策略
一、选择题（共8题，每小题4分，合计32分）
1．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
2．如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（ ）
A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m
3．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（ ）
A． B． C． D．
4．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出 ABC，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ）
A． ABC与全等
B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
7．如图所示，小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了步．如果小刚一步大约，估计小刚在点处时他与电线塔的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．要测量池塘两端点A，B间的距离，现有如下两种测量方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
方案Ⅰ：如图1． ①在平地上取一点O； ②连接，并延长到C，D两点，使，； ③连接，测量的长即可． 方案Ⅱ：如图2． ①在平地上取一点O； ②连接，在的延长线上取一点C，使； ③测量的长即可．
Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
二、填空题（共8题，每小题4分，合计32分）
9．如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______．
10．如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______．
11．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________．
12．同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______．
13．如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为______米．
14．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）．
15．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________．
16．如图①是一款折叠凳，图②是该折叠凳撑开后的侧面示意图（凳腿材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是凳腿的中点．为了使该折叠凳撑开后高度舒适，厂家将点到地面的距离设计为，则由以上信息可得撑开后凳面到地面的距离为___________．
三、解答题（共4题，每小题9分，合计36分）
17．岳阳楼位于湖南省岳阳市岳阳楼区，地处岳阳古城西门城墙之上，因范仲淹作《岳阳楼记》著称于世，是古代四大名楼之一，设，两点分别为岳阳楼底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长；
乙：如图②，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，测出的长即可得线段的长；
问：甲、乙两位同学的方案都合理吗？请用所学知识分别论证．
18．如图，某公园有两个直角三角形花园（和），其中，两花园之间有一个水潭，园区工作人员计划在水潭上方修建一座小桥，现需测量水潭两侧D、E两点间的距离．已知围栏，且，．小明设计了如下测量方案：延长DC到点F，使得，连接．小明通过测量米，由此推断D、E两点间的距离为18米，请你说明该方案的原理．
19.为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉和淇淇分别设计出如下两种方案．
课题 测量水池两端、之间的距离
测量示意图
步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量，两点间的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量，两点间的距离即可．
（1）以上两位同学方案可行的是________的方案，并仅对此方案的可行性说明理由；
（2）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由．
20．如图①是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小仁从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如下表所示：
测量
长度/m 15.0 15.0 17.5 17.5 6.0 24.0
小仁将示意图抽象成图②所示的图形．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵，，，
∴ AOB≌ A/OB（SAS）．
∴.
2．B
解：在和中：
∴
∴
∵，
∴．
故选：B．
3．D
解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点，
∴，，
在与中 ，
，
∴
∴，
故选：．
4．C
解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：C．
5．B
在 ABC和中，
，
∴，
∴，
∴河的宽度是米．
故选：B．
6．D
解：由题意可知：，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是 ABC与不全等，
故选：D．
7．A
解：由题意可得，步，
步，
∵一步大约，
，
在与中，
，，，
），
，即小刚在点处时他与电线塔的距离为．
故选：A．
8．A
解：方案Ⅰ：理由：在和中，
，
，
，故Ⅰ可行；
方案Ⅱ：仅和，无法证明三角形全等．
故选：A．
二、填空题
9．
解：如图，连接，设与交于点，
∵为，中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴底部内径的长度为，
故答案为：．
10．
解：∵，，，
∴，
∴判定的理由是．
故答案为：．
11．12
解：由题意可知，，，
∴，
∴，
故答案为12．
12．
解：∵由图可知，和为对顶角，
∴，
∵在 AOB和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．1.5
解：根据题意得法线垂直镜面，且，
，
，，
（米）
故答案为： ．
14．
解：∵，分别为，的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：
16．40
解：如图，作于点M，于点N，
由题意得，，，
∵是凳腿的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴点M、O、N在同一条直线上，
∴，
∴凳面到地面的距离为．
故答案为：40．
三、解答题
17．
解：答：①甲同学的方案合理．
证明：在与中，
，
，
测出的长即可得线段的长．
②乙同学的方案合理：
，
，
在与中，
，
，
．
测量的长即可得线段的长．
18．解：∵，
∴．
在和 CBF中，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴米．
19．
解：（1）解：嘉嘉，理由：在和中，
，
，
，故嘉嘉的方案可行．
（2）解：对淇淇方案增加“使”；
理由：，
，
在和中，
，
∴ ABO≌ CBO（ASA），
．
20．
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴该广角灯的位置符合要求．

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