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2025—2026 学年度第二学期高二第一次月考试题
数 学
（满分150 分，考试时间为120 分钟）
考生注意：
1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，
并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。
2．填涂选择题时，必须使用 2B铅笔；答非选择题时，必须使用 0.5毫米的黑色签
字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书
写无效。写在试卷上无效。
第Ⅰ卷 （选择题，共 58分）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．椭圆 C: x24＋y23＝1的一个焦点 F坐标为（ ）
A．（0, -1） B．（-1, 0） C．（2, 0） D．（-2, 0）
2．已知等差数列 中， ，则 （ ）
A．9 B．6 C．3 D．15
3．某著名学校利用暑假期间组织高二年级学生研学，学生可以从东岳泰山、南岳衡山、
西岳华山、北岳恒山四个景点中任选一处前往，小翟、小云、小韩 3个好朋友每人随
机选择一个目的地，不同选法的种数是（ ）
A．12 B．24 C．64 D．81
4．二项式 的展开式中，第 2项的系数为（ ）
A．4 B． C．6 D．
5．已知函数 ，则这个函数的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说
高二数学 第 1页 （共 4页）
法正确的是（ ）
A．在 上单调递增
B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值
D．在 处取得极大值
7．已知数列 中， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知关于x的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分。
9．下列函数的求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．将 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少得一本，则下列说法正确的是（ ）
A．若甲分得 1本，乙分得 2本，丙分得 3本，则有 60种方案；
B．若每人分得两本，则有 90种方案；
C．若三人分得的书本数互不相同，则有 360种方案，
D．一共有 450种分配方案。
11．关于函数 ， 为 导数，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的单调递减区间为 .
B．令 ，则 .
C．若函数 有两个不同的零点，则 .
D．若函数 的图象与直线 交于 两点，且 ，则
.
第Ⅱ卷 （非选择题，共 92分）
高二数学 第 2页 （共 4页）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．双曲线 x2－2y2＝2的两条渐近线方程是____________．
13．如图，在某城市中， ， 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 ， ， ，
是道路网中位于一条对角线上的 4个交汇处。今在道路网 、 处的甲 乙两人
分别要到 ， 处，他们分别随机地选择一条沿街的
最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 ，
处为止，则甲从 必须经过 到达 处的走法种数
为__________．
14．已知函数 ，函数 的图象在点 和点
的两条切线互相垂直，且分别交 y轴于M，N两点，则 取值范围
是_______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13分）
已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 的极值．
16.（本小题满分 15分）
已知等差数列 中的前 n项和为 ，且 成等比数列， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 为递增数列，记 ，求数列 的前 40项的和 .
17.（本小题满分 15分）
如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，E，
高二数学 第 3页 （共 4页）
F，M分别为 AP，CD，BQ的中点．
（1）求证：EF∥平面 CPM；
（2）若 N为线段 CQ上的点，且直线 DN与平面 PQM
所成的角为 ，求 QN∶NC的值．
18.（本小题满分 17分）
已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，其中O为坐标原点.
（1）求椭圆 C1的方程；
（2）过椭圆 C1的右顶点作直线与抛物线 相交于 A，B两点；
①求证：OA⊥OB；
②设射线 OA，OB分别与椭圆 C1相交于点M，N，求 O到直线MN的距离.
19.（本小题满分 17分）
设函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）当 时, 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： .
高二数学 第 4页 （共 4页）2025—2026 学年度第二学期高二第一次月考答案
数 学
第Ⅰ卷 （选择题，共 58分）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B D D B A
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BC ABC ACD
第Ⅱ卷 （非选择题，共 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．y＝±2)2x 13．9 14．(0 ,1)
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）由题意可知， 的定义域为 .
因为 ，所以 ……2分
令 即 ，解得 ，
令 即 ，解得 或 ， …………4分
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 .
…………6分
（2）由（1）可知，当 变化时， 的变化情况如下表：
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
…………11分
所以 的极小值为 ， …………12分
高二数学第一次月考题参考答案 第 1页 （共 6页）
极大值为 . …………13分
16．解：
（1）设公差为 ，则 ， …………3分
即 …………4分
解得 或 ，所以 或 ； …………7分
（2）因为数列 为递增数列， ， ，…9分
， …………10分
所以 …………11分
…13分
；
所以 . …………15分
17．（1）证明：如图，连接 EM，由 AB∥CD，PQ∥CD，得 AB∥PQ，
又 AB＝PQ，所以四边形 PABQ为平行四边形， …………2分
由 E，M分别为 AP，BQ的中点，
得 EM∥AB且 EM＝AB，
又 AB∥CD，CD＝2AB，F为 CD的中点，
所以 EM∥CF且 EM＝CF，
所以四边形 EFCM为平行四边形，……4分
所以 EF∥MC， ……5分
又 EF 平面 CPM，CM 平面 CPM，
所以 EF∥平面 CPM． ……6分
（2）解：由 PD⊥平面 ABCD，AD⊥CD，得直线 DA，DC，DP两两垂直，
以 D为原点，直线 DA，DC，DP分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M
(1,1,1)，
→ → →
＝(1,1,－1)， ＝(0,1,0)， ＝(0,1,－2)， …………8分
高二数学第一次月考题参考答案 第 2页 （共 6页）
设平面 PQM的法向量为 n＝(x，y，z)，
则 n·\o(PM→)PQ→))＝y＝0，
取 z＝1，得 n＝(1，0，1)， …………10分
→ → →
设 ＝λ (0≤λ≤1)，即 ＝(0，λ，－2λ)，
→
则 N(0，λ＋1，2－2λ)， ＝(0，λ＋1，2－2λ)， …………11分
由直线 DN与平面 PQM所成的角为π6，
→
得 sinπ6＝|cos〈 ，n〉|＝DN→)DN→)，
即 12＝|2－2λ|\r(（λ＋1）2＋（2－2λ）2)×\r(2)，
…………13分
整理，得 3λ2－10λ＋3＝0，
又 0≤λ≤1，解得λ＝13， …………14分
所以 QN∶NC＝1∶2． …………15分
18．解：
（1）由椭圆 的离心率为 ，可得： ，整理得： ，
则椭圆 的方程可化为 .
代入点 得 ， 则椭圆 的方程为 . …………4分
（2）由椭圆 方程为 可得：
该椭圆的右顶点为 .
①设 ，
当直线 的斜率为 0时，
直线 与抛物线 只有一个交点，不满足题意. …………5分
当直线 斜率不为 0时，设直线 的方程为 ， ……6分
高二数学第一次月考题参考答案 第 3页 （共 6页）
联立方程组 ，整理得 ， …………7分
则 为方程 的两不等根，有 …8分
因为 ,
所以 ， …………9分
故 ． …………10分
②法一：设 ，直线 为 .
由联立方程组 ，整理得： （*），
…………12分
由 为方程*的两不等实数根，得 .
…………14分
由①知 ，
则 ，有 .
因为 ，
所以 ，
整理得： ，
则有 . …………16分
则根据点到直线距离公式可得：
高二数学第一次月考题参考答案 第 4页 （共 6页）
点 到直线 的距离为 . ……17分
法二：不妨设 位于 轴的上方，则点 在第一象限，点 在第四象限
设直线 ，则直线 …………11分
联立直线 和椭圆 得方程 ，解得 .
同理可得 …………13分
则
，
，
， …………15分
则根据三角形等面积可得：点 到直线 的距离为：
. …………17分
19．解：
（1） ，
由题意曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 ，解得 ； …………4
分
（2） ， ，
，令 （ ），则 ，
高二数学第一次月考题参考答案 第 5页 （共 6页）
…………5分
①当 ，即 时， ， 即 是 上的增函数，
因此 ，
是增函数，所以 ，不合题意，舍去； …………6
分
②当 即 时， ， 即 是 上的减函数，
所以 ，
所以 是 上的减函数，从而 恒成立； …………8
分
③当 即 时， ，
时， ， 在 单调递增，
时， ， 在 单调递减，
又 ，所以 时， 恒成立，即 恒成立，
此时 在 上单调递增，因此 ，与题意不合，舍去. …
10分
综上 ．（若用分离参数后用洛必达法则求出 a范围，适当扣分）……11分
（3）由（2）知 时， ，即 ，从而 ， ……
13分
所以 ，又 ，
所以 ， …………
15分
此不等式中分别令 得
， ， ， ，
…………16分
将这 个不等式相加得 . …………
17分
高二数学第一次月考题参考答案 第 6页 （共 6页）
高二数学第一次月考题参考答案 第 7页 （共 6页）

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