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四川省达川中学初2026届2026年春第一次月考
数 学 试 题
考试时间120分钟， 满分150分。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.写方方正正中国字，做堂堂正正中国人．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解.如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是( )
A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化
4.为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取30名学生的中长跑成绩满分20分绘制成表：
成绩/分 15 16 17 18 19 20
人数/人 x y 6 8 5 4
关于中长跑成绩的统计量中，一定不随x，y的变化而变化的是( )
A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数
5.小颖按如下步骤作四边形ABCD：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D两点；（3）分别以B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点C；（4）连接BC，CD，若，则的大小是( )
A. B. C. D.
5题图 7题图 10题图
6.《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在正五边形ABCDE中，经过C，D两点的分别与AB，AE相切于点M，N，连接CM，CN，则( )
A. B. C. D.
8．若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程x2﹣10x+9＝0，则此三角形的周长是( )
A．11 B．19 C．20 D．11或19
9.如表是小林填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量孔子像的高度
测量目标及其示意图
相关数据 ，，，
根据以上信息，可求出孔子像AE的高度约为( )
结果精确到，参考数据：，
A. B. C. D.
10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有( )
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算： .
12.据网络平台数据显示，截至2025年3月17日，电影《哪吒之魔童闹海》的全球票房已突破151亿.这部电影自2025年春节档上映以来，表现一直非常出色，持续刷新多项纪录，成为首部跻身全球票房前五的亚洲电影.数据“151亿”用科学记数法可表示为 .
13.如图，电路图上有三个开关，，，和两个小灯泡，，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是 .
14.已知关于x的一元二次方程设该方程的两个根为，，且满足，求k的值是 .
15.若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a,且使关于y的分式方程 =2+ 有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为 .
16.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：
①； ②；
③BE平分； ④
其中正确的结论是______只填写序号
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤。
17.（8分）计算（1） （2）
18.（8分）如图，在菱形ABCD中，于点E，于点
（1）求证：；
（2）若，，求DE的值.
19.（8分）为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯.某校随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生需从“文史类”“社科类”“小说类”“生活类”中选择自己最喜欢的一类.根据调查结果，绘制了如图的统计图未完成，请解答下列问题：
（1）填空：此次共调查了______名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为______度；学校采用的调查方式是______选填“全面调查”或“抽样调查”；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）通过调查发现，文史类书籍最受欢迎.基于此，学校计划从热爱文史类书籍的4名优秀学生两男两女中随机抽取2名学生，担任阅读推广队宣讲员，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生中至少有1名是女生的概率.
20.（10分）在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量一河某处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的D点操控无人机，操纵器距地面距离米，在河对岸安放了一标志物F点，无人机在点D正上方的点A，无人机的飞行速度为7米/秒，无人机匀速水平飞行4秒到达点B，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为，然后无人机又继续以同样的速度水平飞行12秒到达点C，测得点F的俯角为（点A，B，C，D，E，F在同一平面内）.
（1）______米，______；
（2）求无人机的飞行高度；
（3）求河宽的距离．
（参考数据：，，）
21.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，为常数．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集为 ；
（3）点为轴上一点，若的面积为1，请直接写出点的坐标．
22.（10分）如图，AB是的直径，点E在上，的平分线AC交于点C，过点C作直线，交AE的延长线于点
（1）试判断直线CD与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径和阴影部分的面积.
23.（10分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元.经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为x元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润w元.
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
24.（10分）在正方形ABCD中，点E在边CD上运动不与端点重合，作射线AE，将射线AE绕点A顺时针旋转，交射线CB于点
（1）如图1，与线段AE始终相等的线段是______；
（2）如图2，连接EF交AB于点H，过点A作于G，连接DG，试探究点E在运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由；
（3）在的条件下，当时，求的值.
25.（12分）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点不与点B重合，过点M作轴于点N，交直线BC于点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若，求点M的坐标；
（3）若点M在直线BC下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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