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安徽省定远中学2026年高考数学模拟试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知，，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.设平面向量，若则( )
A. B. C. D.
7.将，，，按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对若，则恰有个逆序对的数列的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知，是圆上的动点，且，当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，则下列说法正确的是( )
A. 函数在区间上单调递增
B. 若函数，则的值域为
C. 若函数，则的值域为
D. ，
10.如图，在棱长为的正方体中，下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 直线与平面所成角为
C. 二面角的正切值为
D. 四面体的外接球的体积为
11.对于函数和，下列正确的有 ．
A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图像有相同的对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中的常数项为，则 ．
13.已知函数，则 ．
14.已知，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的各项均为正数，前项和为，且，．
证明：是等差数列；
设，数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床
乙机床
合计
甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．


17.本小题分
如图，直四棱柱的底面是菱形，为锐角，，分别为棱，的中点，点在棱上，且，，点在直线上．
证明：平面
若直四棱柱的体积为，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的长．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求的方程
若为坐标原点，直线与交于，两点，且以为直径的圆过点，点是上的一点，满足，求四边形面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的最小值
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
【解析】解：，
所以．
2.【答案】
【解析】解：集合，
集合，
要满足，需集合中的所有元素都属于，
所以，，
故实数的取值范围是．
3.【答案】
解：由题意，得
，当且仅当时取等号．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：取，，满足，但不满足，故A错误；
在上单调递减，所以当时，，故B错误；
在单调递增，当时，，故C正确；
取，，满足，此时，故D错误．
故选：．
5.【答案】
解：因为函数 恰有个零点，
所以 和 有两个交点．
作出函数 的图像如图所示：
因为 时， 和 相交，所以只需 和 再有一个交点．
．
当 时，若 与 相切，则有 的判别式 ，此时 ．
当 时，若 与 相切，则有 的判别式 ，此时 ．
当 时，若 与 相切，设切点为 ．
则有 ，解得： ．
所以要使函数 恰有个零点，
只需 或 或 ，解得：
或 或 ．
故选：
6.【答案】
解：由，得，
故，
则，
即．
故选A．
7.【答案】
【解答】解：由题知，若时，数列有个逆序对，则
令，
则当时，数列的逆序数对为，即数列为，，，；
或当时，数列的逆序数对为，即数列为，，，；
令，
则当时，数列的逆序数对为，即数列为，，，；
或当时，数列的逆序数对为，即数列为，，，；
令，
则当时，数列的逆序数对为，即数列为，，，；
令，则，数列的逆序数对不止个，故不成立．
综上，当，则恰有个逆序对的数列的个数为个．
8.【答案】
【解析】解：因为圆，所以圆心，
由，是圆上的动点，所以，
由，得，
由，得，
将等式两边同时平方，
得
，
所以，所以动点的轨迹方程为，
由椭圆的参数方程可设点的坐标为，，由动点的方程可得圆心坐标为，半径为，则，当时，，此时．
故选：．
9.【答案】
解：当时，，从而，在单调递增，故A正确；
若函数，则，从而的值域不是，故B错误；
若函数，则，
从而，从而的值域为，C正确；
取，则，从而，故D错误．
故选AC．
10.【答案】
解：对于、在棱长为的正方体中，
因为，所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角，
而是正三角形，因此直线与所成角为，
即异面直线与所成的角为，因此A正确；
对于、在棱长为的正方体中，
因为平面平面交于，
设，则，而平面，
所以平面，
因此连接，则是直线在平面内的射影，
即为直线与平面所成角，
而，所以，
即直线与平面成角为，因此不正确；
对于、由知，在棱长为的正方体中，
平面，而平面，因此，又，
所以是二面角的平面角，
因此，
即二面角的正切值为，因此C正确；
对于、因为四面体的外接球就是棱长为的正方体的外接球，
而棱长为的正方体的外接球半径为，
即四面体的外接球半径为，
所以四面体的外接球的体积为，因此D正确．
故选ACD．
11.【答案】
解：对于因为由得，而，所以与没有相同零点，故A错误；
对于因为函数与的最大值都为，所以函数与有相同最大值，故B正确；
对于因为函数与的最小正周期都为，所以函数与有相同的最小正周期，故C正确；
对于因为函数的对称轴为，而，
所以函数与的图像没有相同的对称轴，故D错误．
12.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为，，，，，
当时，，
的展开式有常数项
当时，，
的展开式有常数项
所以，所以．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：因为函数，
所以 ．
故答案为：．
14.【答案】
【解答】解：将两边平方，并结合，得，
．
15.【答案】证明：，
即，
，
，，，
又，数列是以为首项，为公差的等差数列；
解：由可得，则，
时，，满足；
，，
，
，
当为奇数时，；
当为偶数时，，
因为对任意正整数恒成立，，
的取值范围为
16.【答案】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为件，
因为甲的一级品的频数为，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为，所以乙的一级品的频率为；
根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
17.【答案】解：证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，所以，且，
又，且，则，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为，则为的中点，
又为的中点，则，
所以，
因为平面，平面，
所以平面
由于直四棱柱的体积为，
得，得，
由于为锐角，则，
以为原点，分别以直线，为，轴，以的边上的高线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，
，，，
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
由，即
取，，，
则平面的一个法向量为，
则，
，
当时，取得最大值，
此时，
所以的长为．
18.【答案】解：由题意知
解得，，，
所以的方程为．
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
由得，
则，
，．
因为以为直径的圆过点，
所以
，
所以，此时．
，
设线段的中点为，由，所以，
点的坐标为，
因为点在椭圆上，
有，
整理可得，
点到直线的距离为，
所以四边形面积
，
因为，
所以四边形面积的取值范围为．
19.【答案】解： ， ， 令 ，则 ，
当时，；当 时， ．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以

．
记 ，即 恒成立，．
当时，当 ，设，，
所以 在 单调递增，且 ， ，
故存在唯一的 ，使得 ，
当 ， ，所以，此时 ，不合题意．
当 时，
(ⅰ)若 ，则 ，
所以 恒成立，即成立，符合题意．
(ⅱ) ，，
设，单调递增，且 ， ，
所以存在唯一 使 ，
当 时， ，当 ，，
又 ， ，故存在唯一 ，使，
故 ， ， ， ，
又 ， ，
所以 时， ， ，即 恒成立．
综上，．

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