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吉林地区普通中学2025-2026学年度高中毕业年级第三次调研测试
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若经过，两点的直线的方向向量为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．等比数列中，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．已知函数，对于正实数，定义集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在的展开式中，则（ ）
A．展开式共有7项 B．常数项是第4项
C．各二项式系数的和为 D．各项系数的和为
10．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）
A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为
C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为
11．设等差数列的前n项和为，且，.设，数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知随机变量，若，则______.
13．若双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为________.
14．已知函数存在极值，则实数a的取值范围是_______，若对，恒成立，则实数a的最大值为_______.
四、解答题
15．已知抛物线C：的焦点F到直线的距离为.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线C交于M，N两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程.
16．已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有唯一零点，求实数的取值范围.
17．某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次.
(1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望；
(2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值.
18．在平面四边形中，，.
(1)若.
（i）若A，B，C，D四点共圆M，求；
（ii）求四边形面积S的最大值.
(2)若，，与交于点.记，求当为何值时，.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，点M，N在线段上，，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)若垂直且平分，E是的中点，于点F，且，求三棱锥外接球H的表面积S的最小值.
参考答案及解析
1．D
解析：联立方程，解得，
所以.
2．C
解析：由，，可得直线的斜率为.
由直线方向向量为，可得直线斜率为，
所以.
3．A
解析：因为为等比数列，所以，解得或（舍），
则，设公比为q，则，
所以.
4．B
解析：由题意得，故，，
由椭圆定义得，
故的周长为.
故选：B
5．B
解析：A，由，，则平行或异面，错，
B，由，，根据线面垂直的性质，垂直于任意平行于的直线，故，对，
C，由，，则或，错，
D，由，，则或或相交但不一定垂直，错.
6．D
解析：设样本空间为，则，
对于事件“函数是幂函数”，可知，
则，可得，
对于事件“幂函数在上单调递增”，则，
则，可得，
所以.
7．B
解析：因为方程表示圆，
所以或.
当时，方程可化为，不表示圆；
当时，方程可化为，表示圆的圆心为.
故选项B正确.
8．D
解析：当，且时，此时，
则，解得，不符合题意；
当且时，，
所以，整理得，在且内有根，
则在且内有根，
即与图象在且内有交点，
由图象可得，符合题意；
当，则，此时，
则，解得，不符合题意；
综上，的取值范围是.
9．ABC
解析：由知，其展开式共有7项，且二项式系数的和为，A、C对，
由该二项式的展开式的通项为，
令，则常数项为第四项，B对，
令，则各项系数的和为，D错.
10．AD
解析：由题意底面半径为1，圆锥高，
对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的，
即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确；
对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为，
为母线的中点，，，
椭圆的长轴长，B错误；
对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，
以为x轴，在平面中建立平面直角坐标系，
则，，
设抛物线方程为，则，解得：，
则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误.
对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点到底面的距离相等，

则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为，
设双曲线方程为，
则，将代入双曲线方程得，解得，
所以，
故双曲线的离心率为，D正确.
11．ACD
解析：因为，即，
且，则，
所以等差数列的公差，，故A正确；
所以，故B错误；
因为，则，即，
所以，即，
所以，
所以，故CD正确.
12．/
解析：因为，且，
所以，
所以.
13．或
解析：渐近线变形为，
若焦点在x轴，则，则离心率；
若焦点在y轴，则，则.
14．
解析：空一：由，，则，
当时，，则函数在上单调递增，此时函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在时取得极大值.
综上所述，要使函数存在极值，则实数a的取值范围是.
空二：由，则，
即对恒成立，
设，，
设，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
而函数与在上有一个交点，则方程有解，
则，即，则，
所以实数a的最大值为.
15．(1)
(2)或.
解析：（1）抛物线的焦点坐标为，
所以焦点到直线的距离为：
解得：
所以，抛物线的标准方程为：
（2）由题意设过点的直线方程为，设.
联立方程，消去得：，
所以，，
所以，
由弦长公式，.
原点到直线的距离为.
所以，
化简可得：，解得 ，即.
所以直线方程为：或，
即或.
16．(1)
(2)
解析：（1）当 时，，
求导得： ，
即切线斜率 ，且 ，切点为 ，
切线方程是：，即.
（2）当 时，，，
有唯一零点等价于方程 有唯一实根，
令 ，
求导得： ，
令 ，得 ，
当，，单调递增；
当时，，单调递减；
当，，单调递增，
所以极大值 ，极小值 ；
又 时 ，时 ，恒成立，
画出函数图象，如下：
结合图象可知当或时，
与有一个交点，
故函数有唯一零点，求实数的取值范围是.
17．(1)
0 1 2 3 4
P
(2)6
解析：（1）由题意，每次抽奖抽到奖品的概率为 ，
4位员工抽奖是独立重复试验，因此，
即，
，
，
，
，
，
因此的分布列为：
0 1 2 3 4
P
由二项分布期望公式，数学期望
（2）由题意，，
作商得： ，，
当，即时， ，即，
当，即时，，即 ，数列递减；
因此为最大项，
即.
18．(1)（i）；（ii）
(2)
解析：（1）设，，其中，
在中，由余弦定理可得；
在中，由余弦定理可得；
即，可得.
（i）若A，B，C，D四点共圆M，则，
可得，，
由可得，即，
则，即；
（ii）因为四边形面积，
即，且，
又因为，
当且仅当时，等号成立
即，解得，
所以四边形面积S的最大值为.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，
则，即，
因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，
则，
且，可知，
若，则，
即，可得，
又因为，则，可得，解得，
所以当时，.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）连接，因为，所以，且，
由（1）知，平面，因为平面，
所以，又，
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）由（1）知，，而，，
可得为等腰直角三角形，则，
又E是的中点，则，
因为，，所以，
在平面内，过点作，交于点，
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
所以，整理得，
又垂直且平分，所以的轨迹方程为，且，
且球心在平面内，因为球心在线段的中垂面内，
所以球心在两平面的交线上，
可设三棱锥的外接球球心为，半径为，
则，
所以，
则，
设，则且，
当时，函数单调递减，则；
当时，函数单调递减，则，
而，或，
则时，取得最小值2，
则外接球H的表面积S的最小值为.

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