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山西太原师范学院附属中学2025-2026学年高二下学期4月过程性评价反馈数学试卷
一、单选题
1．已知函数的导函数为，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．观察，由归纳推理得：定义在上的函数满足，记为的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的是十进制．通常我们用函数表示在进制下表达个数字的效率，则下列选项中表达个数字的效率最高的是（ ）
A．二进制 B．三进制 C．十进制 D．十六进制
7．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A． B．当时，
C．在上单调递增 D．的最小值为
10．已知，函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称 B．恰有2个零点
C．恰有2个极值点 D．在上单调递增
11．已知函数的导函数为，与的定义域都是，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于中心对称 B．是奇函数
C．为周期函数 D．
三、填空题
12．我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则______．
13．已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________．
14．已知实数，满足，，则________．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值．
16．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求函数在的最大值与最小值．
17．对于正数，，当时，定义为，的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明：
（ⅰ）不妨设，则等价于，
即证：，令，即证：对一切恒成立．
记，则，
所以在上单调递增，从而有证毕．
(1)请参照以上方法证明：；
(2)已知函数
①若有两个极值点，，求的取值范围；
②在①的条件下利用“对数平均不等式”证明：．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的最小值．
19．若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中，称为在上的中值点．
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，，存在，使得，且是上的“双中值函数”，，是在上的中值点．
①求的取值范围；
②证明：
参考答案
1．B
2．D
3．C
4．A
5．A
6．B
7．C
8．D
9．BD
10．ACD
11．ACD
12．2
13．或
14．4
15．（1）由，得，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）由（1）知，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以是的极小值，无极大值.
16．（1）易得，
由得或；得；
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
故函数在上的最大值为，最小值为.
17．(1）不妨设 ，则 等价于 ，
即 ，令 ，即证 ，
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 成立;
（2）①由 得，，
因为函数 有两个极值点 ，所以 有两个相异正根，即 有两个相异正根，由韦达定理可知两根之积为
即 ，解得 ，即 的取值范围为 ;
②由①知: 满足 ，所以 ，
不妨设 ，则 ，
要证 ，即证 ，
即证 .
由对数平均不等式 ，
又 ，故 ，所以 成立，
因此 ，得证.
18．（1）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即，因此，即
所以实数的最小值.
19．（1），，
由，解得，，
因为，，
所以函数不是上的“双中值函数”.
（2）①由题意知，，
令，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得，存在，使得在上有两个实数解，
又因为当，，
故需使，解得，
即的取值范围为；
②不妨设，
令，
设，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以当时，即在上单调递减，
又，所以当时，当时，
即，，
又因为，所以，
即，
即，
因为，所以.

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