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2026届吉林通化市梅河口市第五中学高三二模
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．若抛物线的准线过点，则（????）
A．1013 B． C． D．2026
3．已知等差数列满足，则（????）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知单位平面向量，满足，则（????）
A． B． C． D．2
5．已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（????）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
6．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ）
A．4050 B．4051 C．4052 D．4053
7．已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（???）
A． B．
C． D．
8．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A． B．
C． D．

二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79
D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联”
10．在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（???）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．若，角的平分线交于点，则
11．定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（???）
A．当时，
B．的图象在处的切线方程为
C．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10
D．的图象与直线恰有一个公共点，则实数

三、填空题
12．暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答).
13．已知抛物线：的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______.
14．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______.

四、解答题
15．已知 的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值.
16．近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
空气质量 锻炼人次

优良 7 26 37
轻度污染 6 7 8
中度污染 7 2 0
(1)求空气质量优良的概率的估计值；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
空气质量 人次≤400 人次 合计
优良
污染
合计
(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828

17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段AB的长.
18．在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y2=4x的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y3)，N(a，y4)两点.
（1）①；②，其中k1，k2，k3分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（2）若，求实数a的值.
19．定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”；
(3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围．

参考答案
1．C
2．D
3．B
4．A
5．A
6．B
7．D
8．B
9．AC
10．BCD
11．BCD
12．
13．/2.5.
14．/
15．（1）由已知得，由余弦定理得，即.
（2）由，所以，
由正弦定理得，故.
由（1）知 ，
所以，即，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故的面积的最大值为.
16．（1）由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：；
（2）列联表为：
空气质量 人次≤400 人次 合计
优良 33 37 70
污染 22 8 30
合计 55 45 100

（3）零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关．
根据表中数据，得
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
17．（1）证明：在四棱锥中，平面平面，，
又平面，平面平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直
角空间坐标系，设，则，
由，，，，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，得，
取，则
设直线与平面所成角为，则有，
即，化简得：，
解得：或，即或.

18．解：（1）设过点的直线方程为，与联立消去得，
所以
①.
②.
③.
（2）设，则，所以，
即，
令，则，同理：，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
由点的任意性知，且，所以
19．（1）当时，，，
由题意可知，，即在区间上恒成立，
设函数，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，即.
（2）当时，，，
假设在点和点处存在“自公切线”l，
则l的斜率，，
即，
同时，
故，即
不妨设，令，，
则，
所以在区间上单调递减，，故不成立，
所以当时，曲线不存在“自公切线”.
（3）因为，所以为偶函数，
又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”，
所以当时，曲线也不存在“自公切线”．
假设在点和点处存在“自公切线”l，
则和只可能一正一负，不妨设，，
则l的斜率，
即
同时，
所以，
所以或，即或，
①当时，因为，所以，
所以，令，则，
当时，，在上单调递增，，
所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”；
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
因为，且时，，
当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”；
当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”；
当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”．
②当时，，又，所以，
因为，所以，
所以，
设函数，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且，，，
所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”；
当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”；
当或，即或时，无解，即没有“自公切线”．
又因为当时，
在情况①中，，；
在情况②中，，；
所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”．
综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是.2026届吉林通化市梅河口市第五中学高三二模
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线的准线过点，则（ ）
A．1013 B． C． D．2026
3．已知等差数列满足，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知单位平面向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．2
5．已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
6．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ）
A．4050 B．4051 C．4052 D．4053
7．已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79
D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联”
10．在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．若，角的平分线交于点，则
11．定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．的图象在处的切线方程为
C．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10
D．的图象与直线恰有一个公共点，则实数
三、填空题
12．暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答).
13．已知抛物线：的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______.
14．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______.
四、解答题
15．已知 的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值.
16．近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
空气质量 锻炼人次
优良 7 26 37
轻度污染 6 7 8
中度污染 7 2 0
(1)求空气质量优良的概率的估计值；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
空气质量 人次≤400 人次 合计
优良
污染
合计
(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段AB的长.
18．在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y2=4x的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y3)，N(a，y4)两点.
（1）①；②，其中k1，k2，k3分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（2）若，求实数a的值.
19．定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”；
(3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围．
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．A
5．A
6．B
7．D
8．B
9．AC
10．BCD
11．BCD
12．
13．/2.5.
14．/
15．（1）由已知得，由余弦定理得，即.
（2）由，所以，
由正弦定理得，故.
由（1）知 ，
所以，即，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故的面积的最大值为.
16．（1）由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：；
（2）列联表为：
空气质量 人次≤400 人次 合计
优良 33 37 70
污染 22 8 30
合计 55 45 100
（3）零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关．
根据表中数据，得
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
17．（1）证明：在四棱锥中，平面平面，，
又平面，平面平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直
角空间坐标系，设，则，
由，，，，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，得，
取，则
设直线与平面所成角为，则有，
即，化简得：，
解得：或，即或.
18．解：（1）设过点的直线方程为，与联立消去得，
所以
①.
②.
③.
（2）设，则，所以，
即，
令，则，同理：，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
由点的任意性知，且，所以
19．（1）当时，，，
由题意可知，，即在区间上恒成立，
设函数，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，即.
（2）当时，，，
假设在点和点处存在“自公切线”l，
则l的斜率，，
即，
同时，
故，即
不妨设，令，，
则，
所以在区间上单调递减，，故不成立，
所以当时，曲线不存在“自公切线”.
（3）因为，所以为偶函数，
又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”，
所以当时，曲线也不存在“自公切线”．
假设在点和点处存在“自公切线”l，
则和只可能一正一负，不妨设，，
则l的斜率，
即
同时，
所以，
所以或，即或，
①当时，因为，所以，
所以，令，则，
当时，，在上单调递增，，
所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”；
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
因为，且时，，
当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”；
当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”；
当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”．
②当时，，又，所以，
因为，所以，
所以，
设函数，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且，，，
所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”；
当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”；
当或，即或时，无解，即没有“自公切线”．
又因为当时，
在情况①中，，；
在情况②中，，；
所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”．
综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是.

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