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(共21张PPT)
人教·八年级数学下册
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
20.2.2 勾股定理的逆定理的应用
复习导入
A
B
C
a
b
c
勾股定理：
在 Rt△ABC 中，
若∠C = 90°，
则___________
勾股定理的逆定理：
互逆定理
a2 + b2 = c2
在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°.
典例精析
例 2
如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile.
它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
N
Q
R
P
E
1
2
典例精析
路程 = 速度×时间
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
【思考】1.认真读题，找已知是什么？
“远航”号的航向、两艘船的1.5h后的航程及距离已知，如图.
2.需要解决的问题是什么？
要解决的问题是求出两艘船航向所成角.
也就是求∠2 的度数.
∠2 = 两艘轮船的航向所成的角－45°
3.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，
由此你联想到了什么？
勾股定理逆定理
探究新知
1
2
N
E
P
Q
R
实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？
16×1.5=24
12×1.5=18
30
24
18
30
“远航”号沿东北方向
∠1 = 45°
抽象成数学问题
解决实际问题
1
2
N
E
P
Q
R
几何问题：
知______________，
求______________
PQ,PR,QR 的长
∠2 的度数
利用勾股定理逆定理求度数
典例精析
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
解：由题意得，
PQ=16×1.5=24(海里)
PR=12×1.5=18(海里)
QR=30(海里)
∵242+182=576+324=900=302
即“海天”号沿西北方向航行.
∴∠QPR=90°
即PQ2+PR2=QR2
∵∠1=45°
∴∠2=45°
解决实际问题的步骤：
①构建几何模型(从整体到局部)；
②标注有用信息,明确已知和所求；
③应用数学知识求解.
练一练
1.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
解：由图可知：
AB = 12 km，BC = 5 km，AC = 13 km.
∵AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，
AC2 = 132 = 169，
∴AB2 + BC2 = AC2，
∴△ABC 为直角三角形，且 ∠B = 90°.
∵A 地在 B 地的正东方向，
∴C 地在 B 地的正北方向.
【课本第37页 练习 第1题】
练一练
2. 高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a = 6，b = 8，c = 10，
d = 24，e = 26 的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架.
请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形.
解：a2 = 36，b2 = 64，c2 = 100，d2 = 576，e2 = 676，
∴a2 + b2 = c2，c2 + d2 = e2，
∴所有可能的钢条组合有 2 种，长度（单位：dm）分别为 6，8，10 和10，24，26.
【课本第37页 练习 第2题】
典例精析
例 3
如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
5
3
典例精析
解：∵ AC ⊥ BC，∴ ∠ACB = 90°.
5
3
在Rt△ABC 中，
AC2 = AB2－BC2 = 52－32 = 16
∴ AC = 4
在△ACD 中，
∴AC2 + AD2 = CD2.
因此△ACD 是直角三角形，
即 AC ⊥ AD.
应用勾股定理
应用勾股定理的逆定理
练一练
【课本第37页 练习 第3题】
3
4
12
13
分析：
在Rt△ABC中，用勾股定理求出AC=5
△ACD是否是直角三角形？
如图，在四边形ABC中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
练一练
【课本第37页 练习 第3题】
3
4
12
13
如图，在四边形ABC中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵AB = 3，BC = 4，∠B = 90°，
∴由勾股定理，
又 ∵CD = 12，AD = 13，
∴AC2 + CD2 = AD2，
∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD = 90°
四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
课堂小结
勾股定理逆定理的应用
实际问题
数学问题
几何模型
问题解决
抽象
构
建
勾股定理逆定理
勾股定理
形
数
勾股定理逆定理
数
形
数形结合思想
拓展练习
2. 已知三条线段的长分别为 6，10，x，以这三条线段为边，
恰好可以构成一个直角三角形，求 x.
解：分两种情况讨论：
①当 x 为直角边时，62 + x2 = 102，∴ x = 8.
拓展练习
3. 刘伟先向东走了 80 m，然后换了一个方向走了 60 m，再换第三个方向走了 100 m，此时恰好回到原地 .刘伟向哪个方向走了 60 m？请说明理由.
三段路程对应的线段构成三角形.
解：刘伟向北或南走了 60 m. 理由如下：
刘伟的行走路线恰好构成三角形.
∵602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 = 1002 ，
∴ 这个三角形是直角三角形.
∵ 刘伟先向东走了 80 m，∴刘伟向北或南走了 60 m.
拓展练习
4. 在△ABC 中，AB = 13，BC = 10，BC 边上的中线 AD = 12.
求 AC 的长.
A
B
C
D
12
13
10
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169，AB2 = 132 = 169，
∴BD2 + AD2 = AB2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB = 90°.
在△ADC 中，∠ADC = 180°－∠ADB = 90°，
由勾股定理，AC2 = AD2 + CD2 =122 + 52 = 132，∴AC = 13.
拓展练习
如图，在正方形ABCD中，
点E是BC的中点，
点F是CD上一点，且 CF= CD．
求证：∠AEF=90°
证明：设正方形ABCD的边长为 4 个单位长度，
则BE = CE = 2，CF = 1，DF = 3
∵ ∠B =∠C =∠D = 90°
∴ 由勾股定理，得
AE2 = AB2+BE2 = 42+22 = 20，
EF2 = CE2+CF2 = 22+12 = 5，
AF2 = AD2+DF2 = 42+32 = 25，
∴ AE2 +EF2 = AF2 .
∴ ∠AEF = 90°.
拓展练习
5.在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
A
B
C
P
Q
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm.
∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm
∴3x+4x+5x=36
解得x=3
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.
∵AB2+BC 2=AC 2
∴△ABC是直角三角形
过3s时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)
在Rt△PBQ中，
拓展练习
某市夏季经常会出现台风天气，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，且AB＝500 km．根据实测数据，在台风中心半径260 km范围内的地区会受到台风影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
拓展练习
拓展练习
(2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续 8 h，求台风中心的移动速度．

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