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方 差
数据的分析
平均数、中位数和众数都是研究数据的集中趋势.
甲：85、90、92、88、89
乙：80、90、92、88、95
如果我们想知道数据的波动情况，该怎么办呢？
离散程度
甲、乙两位同学最近五次的考试成绩，谁的发挥更稳定一些？
问题 1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温.
8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
天津和新加坡的气温
单位：℃
天津气温高
新加坡气温高
如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢？
8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
计算出两组数据的平均数，你有什么发现？
x天津 =
27 + 30 + … + 24 + 23
8
= 27.25（℃）
x新加坡 =
26 + 27 + … + 27 + 27
8
= 27.25（℃）
平均气温相等
这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢？
观察下图，你感觉它们有没有差异呢？
0
5
10
15
20
25
30
35
8时
11时
14时
17时
20时
23时
2时
5时
气温/℃
0
5
10
15
20
25
30
35
8时
11时
14时
17时
20时
23时
2时
5时
气温/℃
①天津
②新加坡
天津气温波动范围较大，
最大值与最小值相差 9 ℃.
新加坡气温波动范围较小，
最大值与最小值相差 3 ℃.
稳定性：新加坡 > 天津
平均数
问题 2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如下表所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
小明的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____；
小兵的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____.
12.4
14
10
4
12.4
15
11
4
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
体育项目测试成绩图
成绩
小明
小兵
观察成绩图，
你有什么发现？
从图中我们可以看出：
相比之下，小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大.
通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定.
平均数
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
每次成绩－平均成绩
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
每次成绩－平均成绩
思 考
怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？
12.4
－2.4
1.6
0.6
－0.4
0.6
0
－1.4
－1.4
2.6
1.6
－1.4
0
求和的结果都是 0
你有什么更好的方法，说说你的方案.
为了避免求和时正负抵消的问题，统计中通常先进行平方，然后求和.
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
(每次成绩－平均成绩)2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
(每次成绩－平均成绩)2
5.76
2.56
0.36
0.16
0.36
9.2
1.96
1.96
6.76
2.56
1.96
15.2
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和”
所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度.
这个结果称为这组数据的离差平方和.
离差平方和
离差平方和的计算式就是
已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数.
( x1 － x )2 + ( x2 － x )2 + … + ( xn － x )2.
某班参加仰卧起坐测试的一组女生一分钟仰卧起坐次数如下: 44，41，43，48，45，49．
（1）这组数据的平均数
44 + 41 + 43 + 48 + 45 + 49
=____；
6
x =
45
（2）这组数据的离差平方和为______.
46
思 考
如果一共进行了 7 次测试，小明因故缺席了 2 次，怎样比较谁的成绩更稳定？
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次
小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11
他们的测试次数不一样，比较离差平方和合理吗？
方 差
当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为 σ2.
已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数.
[( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2]
n
σ2 =
1
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次
小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11
[( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x5－ x )2]
5
σ2小明 =
1
[( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x7－ x )2]
7
σ2小兵 =
1
动手
算一算
1. 已知一组数据: 2，3，3，4，则这组数据的方差为（ ）
A. 1
B. 0.8
C. 0.6
D. 0.5
D
2. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，
数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 20 株进行
测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别
为 σ2甲＝3.6，σ2乙＝5.8，则这两种小麦长势更整齐
的是_____(填“甲”或“乙”)
方差小
方差越小，数据波动越小，越稳定.
甲
3. 求一组数据方差的算式为:
σ2 ＝ [(6－ x )2 + (8－ x )2 + (8－ x )2 + (6－ x )2 + (7－ x )2].
由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A. n 的值是 5
B. 该组数据的平均数是 7
C. 该组数据的众数是 6
D. 若该组数据加入两个数 7、7，则这组新数据的方差变小
6 和 8
C
【选自教材第172页 练习 第1题】
比较下列两组数据的方差：
A 组: 0，10，5，5，5，5，5，5，5，5；
B 组: 4，6，3，7，2，8，1，9，5，5.
解: xA ＝ ×(0 + 10 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 )＝ 5，
方差 σ2A ＝ ×[(0－5)2 + (10－5)2 + (5－5)2×8] ＝ 5.
由计算结果可知，A 组数据的方差比 B 组数据的方差小.
xB ＝ ×(4 + 6 + 3 + 7 + 2 + 8 + 1 + 9 + 5 + 5 )＝ 5，
方差 σ2B ＝ ×[(4－5)2 + (6－5)2 +…+ (5－5)2] ＝ 6.
【选自教材第172页 练习 第1题】
比较下列两组数据的方差：
A 组: 0，10，5，5，5，5，5，5，5，5；
B 组: 4，6，3，7，2，8，1，9，5，5.
【选自教材第172页 练习 第2题】
2. 算一算，哪个城市该时段气温的离散程度较大？
8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
天津和新加坡的气温
单位：℃
解: 天津该时段气温的平均数为
27 + 30 + 32 + 31 + 26 + 25 + 24 + 23
8
= 27.25（℃）
新加坡该时段气温的平均数为
26 + 27 + 28 + 29 + 27 + 27 + 27 + 27
8
= 27.25（℃）
天津该时段气温的方差为
×[(27－27.25)2 + (30－27.25)2 +…+ (23－27.25)2] ＝ 9.9375.
新加坡该时段气温的方差为
×[(26－27.25)2 + 5×(27－27.25)2 + (28－27.25)2 + (29－27.25)2]
＝ 0.6875.
因为 9.9375 >0.6875，所以天津该时段气温的离散程度较大.
方差是用来衡量一组数据的波动大小的特征量.
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小，
通过比较方差的大小来判断数据的稳定性.
[( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2]
n
σ2 =
1

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