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(共49张PPT)
章末复习
数据的分析
分析数据
刻画一组数据集中趋势的指标
平均数
中位数
加权平均数
离差平方和
众数
方差
合理选用统计图
刻画一组数据离散程度的指标
描述数据分布的
箱线图
数据的集中趋势
平均数
加权平均数
x
=
x1 + x2 + … + xn
n
一般地，若 n 个数 x1，x2，…，xn 的权分别为 w1，w2，…，wn，则
x
x1w1 + x2w2 + … + xnwn
w1 + w2 + … + wn
=
权重相同时，加权平均数就是平均数
中位数
一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列.
当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数.
当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数.
众数
一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数.
一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数.
数据的离散程度
离差平方和
先平均，再求差，然后平方，最后求和
离差平方和的计算式就是
已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数.
( x1 － x )2 + ( x2 － x )2 + … + ( xn － x )2
方 差
已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数.
[( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2]
n
σ2 =
1
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小，
通过比较方差的大小来判断数据的稳定性.
借助箱线图描述数据的分布
箱线图
最小值
下四分位数
中位数
上四分位数
最大值
箱线图的特点
（1）直观展示数据分布
（2）便于多组数据比较
四分位数
下四分位数（第一四分位数）：处于总体 25%的位置
中位数：处于总体 50%的位置
上四分位数（第三四分位数）：处于总体 75%的位置
考点 1
平均数与加权平均数
1. 某 4S 店连续 5 个月新能源汽车的销量(单位:辆)分别如下:
25，33，36，31，40．则这组数据的平均数是 ( )
A. 34
B. 33
C. 32.5
D. 31
B
2. 某学校餐厅有 10 元、12 元、15 元三种盒饭供学生选择．
某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用
的平均数是_______元．
10×50% + 12×40% + 15×10%
= 5 + 4.8 + 1.5
= 11.3
11.3
考点 2
中位数与众数
3. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7 位
评委给出的分数分别为: 95，92，96，94，95，88，95．
这组数据的中位数、众数分别是 ( )
A. 92、94
B. 95、95
C. 94、95
D. 95、96
B
4. 一组数据 2、2x、y、12 中，唯一的众数是 12，
平均数是 10，则这组数据的中位数是_____．
2 + 2x + y + 12
4
= 10
① 2x = 12，y = 14.
排序：2，12，12，14
中位数是 12
② y = 12，2x = 14.
排序：2，12，12，14
中位数是 12
2x + y = 26
12
考点 3
方差
5. 在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击 10 次的成绩
（单位:环）如图所示，在这三人中，此次射击成绩
最稳定的是（ ）
甲
B. 乙
C. 丙
D. 无法判断
B
6. 某中学准备从八年级演唱非常好的甲、乙两位同学中选出
一位参加县电视台举办的“庆六一”晚会．为此邀请五位
评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成
下列统计图与统计表．
根据以上信息，解决下列问题:
（1）表格中的 a ＝_____，b ＝______．
9
0.96
（2）你认为选谁更合适？请说明理由．
解: 选甲更合适．理由如下:
因为甲、乙两人平均成绩相等，中位数相同，甲的方差较小，
所以甲的成绩更稳定，所以选甲更合适．
（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉
一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分.
如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适？
请说明理由．
去掉一个最高分和一个最低分之后，选乙更合适. 理由如下:
因为去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为 ，
中位数为 9，而乙的平均数为 9，中位数为 9，且方差为 0，
所以乙的平均数高于乙，且更稳定，故选乙更合适．
考点 4
箱线图
7. 某地一天的气温记录如表所示.
12
10
8
6
4
2
0
气温/℃
（1）请将最小值、下四分位数、中位数、
上四分位数和最大值标记在如图所示
的箱线图中.
解:（1）将表中气温 (单位:℃) 按从小到大的顺序排列为:
2，4，5，5，6，6，7，7，8，9，10，11.
此地气温的最小值为 2，最大值为 11，
三个四分位数分别为:
中位数＝ ＝ 6.5，
下四分位数＝ ＝ 5，
上四分位数＝ ＝ 8.5.
将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在箱线图中如图所示.
12
10
8
6
4
2
0
气温/℃
2
5
6.5
8.5
11
12
10
8
6
4
2
0
气温/℃
2
5
6.5
8.5
11
（2）这一天内有几个时刻的气温小于
下四分位数？分别是哪几个时刻？
这一天内有两个时刻的气温小于下四分位数，分别为 8:00、10:00.
（3）利用所学的统计知识对该地一天的
部分气温进行分析和评价.
12
10
8
6
4
2
0
气温/℃
2
5
6.5
8.5
11
该地一天的部分气温有约一半的气温在 5 ℃ ~ 8.5 ℃ 之间还有约四分之一的气温低于 5 ℃，另有约四分之一的气温高于 8.5 ℃.因为中位数离箱体的下端较近，所以中心偏向较低气温.
复习题
A
组
某班 30 名学生的考试成绩如下：
76，56，80，78，71，78，90，79，92，83，81，93，84，
86，98，61，75，84，90，73，80，86，84，88，81，90，
78，92，89，100．
请计算这次考试全班学生成绩的平均数、中位数、众数和
方差.
解: 平均数是
×(76 + 56 + … + 100) ≈ 82.5；
中位数是 83.5；众数是 78，84，90；
方差为
×[(76－82.5)2 + (56－82.5)2 + … + (100－82.5)2]
≈ 89.5；
2. 有两组数据，第一组数据是：1，3，5，7，9；第二组数据
是：21，23，25，27，29，31，33. 先分别求出这两组数据
的平均数，再将这两组数据合并在一起，求合并后这组数据
的平均数，想一想，它是前两个平均数的平均数吗？
解:第一组数据的平均数为
×(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 5，
第二组数据的平均数为
×(21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33) = 5，
合并后数据的平均数为
×(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 21 + 23 + 25 + 27 +
29 + 31 + 33) ≈ 17.8.
前两个平均数的平均数为
5 + 27
2
= 16 ≠ 17.8
所以合并后这组数据的平均数不等于前两个平均数的平均数.
2. 有两组数据，第一组数据是：1，3，5，7，9；第二组数据
是：21，23，25，27，29，31，33. 先分别求出这两组数据
的平均数，再将这两组数据合并在一起，求合并后这组数据
的平均数，想一想，它是前两个平均数的平均数吗？
3. 判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例.
（1）n 个数的平均数就是把这 n 个数的总和除以 n 所得的数.
（2）n 个数的平均数一定是这 n 个数中的某一个.
（3）将 n 个数由小到大排列后，如果 n 是奇数，位置在正中间
的数就是这 n 个数的中位数；如果 n 是偶数，位置在正中
间的那两个数的平均数才是这 n 个数的中位数.
正确.
错误. 反例：数据 1，2，4 的平均数为 ， 不属于这组数据.
正确.
（4）n 个数的中位数一定是这 n 个数中的某一个.
（5）如果在 n 个数中某个或某几个数出现的频数最大，
那么这个或这几个数就是这 n 个数的众数，如果
找不出这样的数，那么这 n 个数就没有众数.
（6）如果 n 个数中存在众数，那么该众数一定是
这 n 个数中的某一个.
错误. 反例:数据 1，2，3，4 的中位数为 2.5，2.5 不属于这组数据.
正确.
正确.
4. 已知一组数据的平均数等于 7，判断下列说法是否正确，
若不正确，请举出一个反例：
（1）如果这组数据共有三个，且其中一个大于 7，那么
必有一个小于 7；
（2）如果这组数据共有四个，且其中两个小于 7，那么
必有两个大于 7．
解: （1）正确.
（2）错误. 例如: 数据 2，5，7，14 的平均数为 7，
但只有一个大于 7.
5. 某个工程队正在修建道路，有 4 天每天修 5 m，有 2 天
每天修 7 m，有 3 天每天修 10 m，有 1 天修 11 m，
这 10 天中该工程队平均每天修建道路多少米？
解: (4×5 + 2×7 + 3×10 + 1×11)÷10 ＝ 7.5 (m).
所以这 10 天中该工程队平均每天修建道路 7.5 m.
6. 下表给出了某校七年级和九年级部分学生的身高（单位：cm），
在这些学生中，哪个年级的学生平均身高较高？哪个年级的学生
身高的方差较大？请先不计算，试着回答这两个问题；再通过
计算得出答案，与你预期的答案一致吗？
解: 九年级学生的平均身高较高，九年级学生身高的方差较大.
通过计算，七年级学生的平均身高为154 cm，九年级学生的
平均身高为 160.4 cm，所以九年级学生平均身高较高.
七年级学生身高的方差为38，九年级学生身高的方差为 56.54，
所以九年级学生身高的方差较大.
7. 通过 19.2 节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐 2022 年 7 月 1 日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：℃），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴 2021》中给出的 2020 年两地每月的平均气温，请据此回答 2020 年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁.
解: 乌鲁木齐月平均气温为
×[(－9.3) + (－4.8) + … + (－12.3)] = 8.7（℃），
方差为
×[(－9.3－8.7)2 + (－4.8－8.7)2 + … + (－12.3－8.7)2]
= 160.92.
南宁月平均气温为
×[15.4 + 16.5 + 19 + … + 22.1 + 20.2 + 13.4] ≈ 22.1（℃），
方差为
×[(15.4－2.1)2 + (16.5－22.1)2 + … + (13.4－22.1)2]
≈ 28.4.
根据计算可知，2020 年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁.
B
组
8. 下表给出了 2020 年各月杭州的平均相对湿度（%）：
（1）请将最小值、下四分位数、中位数、
上四分位数和最大值标记在如图所示的
箱线图中.
1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月
平均相对湿度 81 73 72 60 72 85
7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月
平均相对湿度 85 64 74 70 73 69
60
55
100
95
90
85
80
75
70
65
平均相对湿度/%
50
解: 数据按从小到大排序为
60，64，69，70，72，72，73，73，74，81，
85，85.
由表格数可知，最小值为 60％ ，最大值为 85％ .
因为 ×(69 + 70)＝ 69.5，下四分位数为 69.5％.
因为 ×(72 + 73)＝ 72.5，所以中位数为 72.5％.
因为 ×(74 + 81)＝ 77.5，上四分位数为 77.5％.
60
55
100
95
90
85
80
75
70
65
平均相对湿度/%
50
60
69.5
72.5
77.5
85
（2）杭州 2020 年有几个月的平均相对湿度小于下四分位数？分别是哪几个月？
1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月
平均相对湿度 81 73 72 60 72 85
7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月
平均相对湿度 85 64 74 70 73 69
杭州 2020 年有三个月的平均相对湿度小于下四分位数，分别是 4 月、8 月和12 月.
60
55
100
95
90
85
80
75
70
65
平均相对湿度/%
50
60
69.5
72.5
77.5
85
（3）平均相对湿度介于 60% 和 69.5% 之间的月份是否比介于 69.5% 和 72.5% 之间的多？
平均相对湿度介于 60％ 和 69.5％ 之间的月份不比介于 69.5％ 和 72.5％ 之间的多.
60
55
100
95
90
85
80
75
70
65
平均相对湿度/%
50
60
69.5
72.5
77.5
85
1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月
平均相对湿度 81 73 72 60 72 85
7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月
平均相对湿度 85 64 74 70 73 69
9. 有一组数据: a，b，c，d，e，f，其中 a = －10， b = 0，
c = 11， d = 17，e = 17，f = 31，问：
（1）增大 a 对平均数、中位数和众数会产生影响吗？
解: 增大 a 对平均数一定会产生影响；若 a > 11，则对中位数会产生影响；若 a 增大到 0 或 11 或 31，对众数会产生影响，这时候就会出现两个众数.
9. 有一组数据: a，b，c，d，e，f，其中 a = －10， b = 0，
c = 11， d = 17，e = 17，f = 31，问：
（2）去掉 b 对平均数、中位数和众数会产生影响吗？
去掉 b 对平均数会产生影响，平均数由原来的 11 变为 13.2，
对中位数会产生影响，中位数由原来的 14 变为 17，对众数
不会产生影响，众数仍是 17.
9. 有一组数据: a，b，c，d，e，f，其中 a = －10， b = 0，
c = 11， d = 17，e = 17，f = 31，问：
（3）去掉 c 对平均数、中位数和众数会产生影响吗？
去掉 c 对平均数不会产生影响，平均数仍是 11，对中位数
会产生影响，中位数由原来的 14 变为 17，对众数不会产生
影响，众数仍是 17.
9. 有一组数据: a，b，c，d，e，f，其中 a = －10， b = 0，
c = 11， d = 17，e = 17，f = 31，问：
（4）去掉 d 对平均数、中位数和众数会产生影响吗？
去掉 d 对平均数会产生影响，平均数由原来的 11 变为 9.8，对中位数会产生影响，中位数由原来的 14 变为 11，对众数会产生影响，众数由原来的 17 变为没有众数.
10. 某同学这学期四次数学测验成绩依次为 93 分、82 分、86 分
和 90 分，期中考试成绩为 77 分，数学老师说这学期的总评
成绩的权重将按平时测验、期中考试和期末考试依次占 40%、
20% 和 40% 计算，这位同学希望总评成绩能够达到或超过
85 分，那么期末考试这位同学至少要考多少分？(取整数)
解: 平时测验的平均分为
× (93 + 82 + 86 + 90) = 87.75（分）.
设期末考试这位同学考了 x 分.
根据题意，得 87.75×40％ + 77×20％ + x·40％ ≥ 85.
解得 x ≥ 86.25. 由题意对 x 取整数，所以 x 的最小值为 87.
答: 期末考试这位同学至少要考 87 分.
C
组
11. 我们曾经按等距分组法，画过“2021年我国 31 个省市自治区
（不含港澳台地区）人均 GDP 的频数分布直方图”（如图）.
如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内
各地的实际数据，请完成下面的频数分布表并估算按此分组
方案，2021 年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均
GDP 的平均数、中位数和众数，结合频数分布直方图，你认为
用什么指标来代表该年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）
人均 GDP 比较合适？
人均 GDP x/万元 组中值/万元 频数
4.1 ≤ x < 5.6 4.85 6
5.6 ≤ x < 7.1 6.35 13
7.1 ≤ x < 8.6 3
8.6 ≤ x < 10.1 3
10.1 ≤ x < 11.6 2
11.6 ≤ x < 13.1 1
13.1 ≤ x < 14.6 1
14.6 ≤ x < 16.1 0
16.1 ≤ x < 17.6 1
17.6 ≤ x < 19.1 1
总计 31
7.85
9.35
10.85
12.35
13.85
15.35
16.85
18.35
估算平均数为
×( 4.85×6 + 6.35×13 +
7.85×3 + 9.35×3 +10.85×2
+ 12.35 +
13.85 + 15.35×0 +
16.85 + 18.35 ) ≈ 7.95 (万元).
中位数为 6.35 万元，
众数为 6.35 万元.
2021 年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均 GDP 的频数分布直方图
结合频数分布直方图，
用中位数或众数来代表
该年我国 31 个省市自
治区(不含港澳台地区)
人均 GDP 比较合适.
12. 在一次业余歌手大奖赛中，三位选手的得分情况如下表所示，
请据此提出一些问题考考你的同学.
13. 某饮食公司为一学校提供午餐，有 12 元、15 元和 18 元三种价格
的饭菜供师生选择（每人限定一份），如图是 5 月份的销售情况
统计图，如果这个月一共销售了 10400 份饭菜，那么师生购买
午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少？
师生购买午餐费用的平均数为
12×20％ +15×65％ + 18×15％
＝14.85 (元)，
中位数为 15 元，众数为 15元.

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