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广西南宁市第三十三中学2025-2026学年下学期高二年级数学3月份月考试卷
一、单选题
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，若，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．6 B．12 C．18 D．48
5．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式
A．9 B．12 C．14 D．16
6．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆的左 右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（ ）
A．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种
B．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种
C．5名同学排成一排，甲乙丙按从左到右的顺序，则不同排法共有20种
D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案
10．数列的前项和，且，则（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．若有3个零点，则a的范围为
B．时，是的极值点
C．时.有唯一零点且
D．时，恒成立
三、填空题
12．的展开式的常数项为___________．
13．已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则______.
14．已知函数．则的最小值为___________．
四、解答题
15．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)求角B；
(2)若，，求边c和的面积.
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处有极大值，求的值.
17．已知为等差数列，为等比数列，的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
18．如图，在三棱柱中，，，．
(1)证明：；
(2)若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．已知是曲线上不同的三点．若点的横坐标成等比数列，且曲线在点处的切线的斜率小于直线的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”．已知．
(1)讨论的极值点个数；
(2)若，证明：是上的“等比左偏函数”；
(3)当时，数列满足，，证明：．
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．B
5．D
6．D
7．A
8．D
9．ACD
10．BD
11．AC
12．135
13．5
14．
15．（1）已知，由余弦定理得：，
所以，
化简可得：.
又，故
（2），
由正弦定理，代入，，：
所以.
因为，
所以.
16．（1）由题意，函数定义域为,
当时，函数，则导函数为，
故函数在点处的斜率，
则由直线的点斜式得，
即.
（2）函数的导函数为，
因为函数在处有极大值，
所以，即，解得或.
当时，则，
令，则或，即函数在单调递增；
令，则，即函数在单调递减；
所以函数在处取极小值，不成立.
当时，则，
令，则或，即函数在单调递增；
令，则，即函数在单调递减；
所以函数在处取极大值.
综上所述，.
17．（1）解：设的公差为的公比为，
由已知可得，
，
，
，
，
又，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
……①
……②
①-②，得.
.
18．（1）取的中点，连接，如图：
因为，是的中点，所以，
在中，，，所以是等边三角形，
因为是的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）因为，易得，且有，则，
即，则两两垂直，
以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：
易得，
在线段上取点，设，即，
则，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则有，不妨设，则，
由题意得，解得或（舍），
故存在点满足条件，且.
19．（1）由，，，
①当时，，在上单调递减，
函数没有极小值点，也没有极大值点，函数的极值点个数为0；
②当时，令，可得，令，可得，
故在上单调递增，上单调递减．
∴在处取得极大值，无极小值，的极值点个数为1．
综上，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1．
（2）时，，设，，不妨设，令
∵，∴曲线在点处切线的斜率，
又，
要证是上的“等比左偏函数”，
只需证，
令，则，即证，
即证，令，即证．
令，则，
∴在上单调递减，∴，所以是上的“等比左偏函数”．
（3）当时，，，
令，，则，
仅当时，，∴在上单调递增，
∵，，∴，
从而，，…，故．
由（2）知时，，故，
又因为，所以，
∴，
即，从而，∴，．
即，．
∴当时，
，
又当时，，符合上式，
∴．

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