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2024-2025学年上海市浦东新区三林中学北校八年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数关系中，是的一次函数的是（　　）
A．、是常数） B．
C． D．
2．下列方程中，是二项方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，若，且，则一次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列关于的方程中，一定有实数解的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在周长为的中，，，相交于点，交于，则△的周长为（　　）
A． B． C． D．
6．一汽船在顺流中航行48千米和逆流中航行32千米，共用去的时间正好等于它在静水中航行85千米用去的时间，已知水流速度是3千米时．若设该汽船在静水中的航行速度为千米时，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）直线在轴上的截距是 　　 ．
8．（2分）已知：点、在函数的图象上，则　 　（在横线上填写“”或“”或“” ．
9．（2分）一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是 　　．
10．（2分）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 　　．
11．（2分）方程的根是 　　．
12．（2分）关于的方程（其中的解是 　　 ．
13．（2分）方程的解为 　　 ．
14．（2分）已知一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的内角和是 　　度．
15．（2分）方程有增根，则的值为 　　．
16．（2分）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，若点在的“逆反函数”的图象上，则　　 ．
17．（2分）在平行四边形中，平分交直线于点，，且，那么这个四边形的周长是 　　．
18．（2分）如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为 　　．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）解方程组：．
22．（6分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米．
四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题7分，第25、26题每题10分，满分34分）
23．（7分）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为3.2万元．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
（2）为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
24．（7分）如图，平行四边形中，，为的中点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
25．（10分）如图5，在平面直角坐标系中，，，，．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为（秒．
（1）设△面积为，求与之间的函数关系式；
（2）当为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时、两点的坐标；
（3）当为何值时，△是以为腰的等腰三角形？
26．（10分）如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，，矩形沿直线翻折点落在边上的处，、分别在、上，且点的坐标是，．
（1）求点坐标；
（2）求直线的解析式．
（3）点在直线上，轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数关系中，是的一次函数的是（　　）
A．、是常数） B．
C． D．
解：根据一次函数的定义（形如，其中逐一判断可得：
、是常数），当时，不是一次函数，故不符合；
分母含，不是一次函数，故不符合；
，即，它是一次函数，故符合；
中的次数为2，不是一次函数，故不符合，
故选：．
2．下列方程中，是二项方程的是（　　）
A． B． C． D．
解：根据二项方程的定义，形如，为正整数）的方程称为二项方程，需逐一验证选项是否符合该形式可得：
，含两个未知数和，属于二元一次方程，不符合二项方程的单变量要求，排除，不符合题意；
，可整理为，符合的形式，，，是二项方程，符合题意；
，等价于，虽为单变量方程，但仅含一项，不符合二项方程必须有两项的要求，排除，不符合题意；
，含和两个不同次数的项，无法整理为的形式，排除，不符合题意；
故选：．
3．如图，若，且，则一次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
解：，且，
，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：．
4．下列关于的方程中，一定有实数解的是（　　）
A． B． C． D．
解：，无解，故选项错误；
，得，，则△，故此方程无解，故选项错误；
，△，一定有两个不相等的实数根，故选项正确；
，解得，，而时，，故此分式方程无解，故选项错误；
故选：．
5．如图，在周长为的中，，，相交于点，交于，则△的周长为（　　）
A． B． C． D．
解：，相交于点，
为的中点，
，
，
△的周长，
△的周长为．
故选：．
6．一汽船在顺流中航行48千米和逆流中航行32千米，共用去的时间正好等于它在静水中航行85千米用去的时间，已知水流速度是3千米时．若设该汽船在静水中的航行速度为千米时，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：汽船在顺流中航行48千米和逆流中航行32千米，共用去的时间正好等于它在静水中航行85千米用去的时间，已知水流速度是3千米时．
设汽船在静水中的速度为千米时，依题意可得：
，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）直线在轴上的截距是 ．
解：当时，，
直线在轴上的截距为，
故答案为：．
8．（2分）已知：点、在函数的图象上，则　　（在横线上填写“”或“”或“” ．
【解答】解；，
将随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
9．（2分）一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是 　　．
解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
10．（2分）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 　　．
解：由函数图象可知，当时，，即．
故答案为：．
11．（2分）方程的根是 　3　．
解：原方程可化为：，即，
．
故答案为：3．
12．（2分）关于的方程（其中的解是 ．
解：原方程去括号得，
移项合并得，
解得，
故答案为：．
13．（2分）方程的解为 ．
解：，
或，
解得：，，
检验：分别代入原方程检验得时根号内的数为负数不成立，为增根舍去，
原方程的根是．
故答案为：．
14．（2分）已知一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的内角和是 　1800　度．
解：一个多边形的每一个外角都是，
它的边数为，
这个多边形的内角和是，
故答案为：1800．
15．（2分）方程有增根，则的值为 　2　．
解：，
，
解得：，
方程有增根，
，
把代入中，
，
解得：，
故答案为：2．
16．（2分）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，若点在的“逆反函数”的图象上，则 ．
解：根据题意，的“逆反函数”为，
由条件可得，
解得，
故答案为：．
17．（2分）在平行四边形中，平分交直线于点，，且，那么这个四边形的周长是 　28或20　 ．
解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
如图1，，
，
，，
这个四边形的周长是：；
如图2，，
，
，，
这个四边形的周长是：；
这个四边形的周长是：28或20．
故答案为：28或20．
18．（2分）如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为 　或　．
解：直线和轴、轴分别交于点、点，
，，，
，，，
等腰中，，
，
当点在第二象限内时，连接，
，，
，
即，
解得．
当点在第一象限内时，连接，
，，
，
即，
解得．
的值为或．
故答案为：或．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：．
解：原分式方程去分母得，，
整理得，，
解得，，
经检验，，是原方程的解，
所以，分式方程的解为，．
20．（6分）解方程：．
解：两边平方，得．
整理，得．
解得，．（2分）
经检验：是增根，是原方程的根．（1分）
原方程的根是．
21．（6分）解方程组：．
解：解方程组：．则：
，
由①得，
或，
把这两个方程与②组成方程组得：，，
解得，，
故原方程组的解为，．
22．（6分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米．
解：（1）货车的速度为（千米小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段对应的函数表达式是，由条件可得：
，
解得，
即线段对应的函数表达式是；
（3）当时，两车之间的距离为：，
，
在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间，
，
，
解得或，
轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时），
在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题7分，第25、26题每题10分，满分34分）
23．（7分）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为3.2万元．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
（2）为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
解：（1）设乙工程队每天修建米，则甲工程队每天修建米．（1分）
根据题意，得．（4分）
整理，得．（2分）
解得，．（1分）
经检验：，都是原方程的根，但不符合题意，舍去．
．（1分）
答：甲、乙两个工程队每天各修建12，18米
（2）甲工程队修建时间为：（天，需花费：（万元）．
乙工程队修建时间为：（天，需花费：（万元）．（2分）
答：甲工程队每天修建12米，乙工程队每天修建18米．甲、乙两工程队都能在规定的35天时间内完成任务，但甲工程队所需的费用较少，所以根据题意，应请甲工程队修建这段高速公路．（1分）
24．（7分）如图，平行四边形中，，为的中点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【解答】（1）证明为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
又，
，
．
25．（10分）如图5，在平面直角坐标系中，，，，．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为（秒．
（1）设△面积为，求与之间的函数关系式；
（2）当为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时、两点的坐标；
（3）当为何值时，△是以为腰的等腰三角形？
解：（1）动点从点出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，设运动时间为（秒，
，
，
，
，，动点从点出发，在线段上移动，
，点纵坐标为12，，
；
（2）由题意得：，，
，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
，；
（3）①当时，过作，
由题意得：，
解得：；
②当时，过作轴，
由题意得：，，
，
解得：，
综上所述，或时，△是以为腰的等腰三角形．
26．（10分）如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，，矩形沿直线翻折点落在边上的处，、分别在、上，且点的坐标是，．
（1）求点坐标；
（2）求直线的解析式．
（3）点在直线上，轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）四边形为矩形，
，，
，，
，
点坐标是，，点的坐标是，．
，，，
矩形沿直线翻折点落在边上的处，
，
，
，；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
矩形沿直线翻折点落在边上的处，
，
，
，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
把点，． 代入解析式中，得，
直线的解析式：；
（3）由（1）知，直线的解析式：，
根据题意设点，，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
①当为平行四边形的边时，
Ⅰ、当和是对角线时，与互相平分，
，，，，
，，
，，
，．
Ⅱ、当与是对角线时，
，，，，
，，
，，
，．
②当为对角线时，即：与互相平分，
，，，，
，，，，
，．
即：满足条件的点的坐标为，或，．

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