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2024-2025学年上海市延安实验中学八年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（每题3分，共18分）
1．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．化简的结果等于（　　）
A． B． C． D．
4．菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
6．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）直线在轴上的截距是　 　．
8．（2分）在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是　　 ．
9．（2分）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形内角和为 　　度．
10．（2分）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为　　 ．
11．（2分）如图，矩形中，对角线、相交于，那么图中的相反向量是　　 ．
12．（2分）某城市出租汽车收费标准为：3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为　　 ．
13．（2分）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为 　　．
14．（2分）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为　　．
15．（2分）如图，是的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是　 　（只要填写一种情况）．
16．（2分）如图，矩形中，，，若将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是　　．
17．（2分）如图，菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，则的值为　　 ．
18．（2分）如图，在△中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将△沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是　　 ．
三、简答题（第19、20、21每题6分，第22、23每题7分，共32分）
19．（6分）如图，在平行四边形中．
（1）作的平分线交于；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）
（2）按（1）作图所示，若，，求的长．
20．（6分）已知，直线与直线平行，且经过点，直线交轴于点．
（1）求直线的表达式．
（2）轴上一点，若△为等腰三角形，求点的坐标．
21．（6分）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，．
（1）试用向量，，表示下列向量：　　 ；　　 ；
（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
22．（7分）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品按原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元．
（1）请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为　　 ；
（2）若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值．
（3）若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围．
23．（7分）如图，已知在四边形中，，，，．
（1）如果，求证：四边形是等腰梯形；
（2）求的长．
四、解答题（24题8分，25题9分，26题9分，共26分）
24．（8分）如图，已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
25．（9分）如图，点的坐标为，点、在轴上，且轴，，直线与轴交于点，是直线上的一个动点．
（1）求直线的表达式；
（2）当点在线段上，联结，如果△的面积是△面积的一半，求点的坐标；
（3）设点是平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．
26．（9分）已知等边△中，，点为射线上一动点，以为边作等边△，且点与点在直线的同侧，过点作，与直线、分别相交于点、．
（1）若在边上时，
①求证：四边形是平行四边形；
②设，，求关于的函数解析式．（不需要写出函数定义域）
（2）当时，求△的面积．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：一次函数的，，
一次函数图象经过第一、三、四象限，
即一次函数图象不经过第二象限．
故选：．
2．如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则（　　）
A． B． C． D．
解：的对角线与相交于点，
，，，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
故选：．
3．化简的结果等于（　　）
A． B． C． D．
解：
，
，
，
故选：．
4．菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：、，则，此时并不能证明菱形是正方形；
、，可得，此时并不能证明菱形是正方形；
、，本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形是正方形；
、，由菱形的性质可得，则，则，能证明菱形是正方形；
故选：．
5．顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
解：如图，四边形的四边，，，中点分别为，，，，且四边形为菱形，连接四边形对角线、，
，，，中点分别为，，，，
，，
四边形为菱形，
，
即原四边形的对角线相等，
故顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是矩形．
故选：．
6．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（　　）
A． B． C． D．
解：如图，一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，
在等腰梯形中，，，，
作于，于，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
梯形的中位线，
这个等腰梯形的纵横比，
故选：．
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）直线在轴上的截距是　　．
解：令，则，
直线在轴上的截距是．
故答案为：．
8．（2分）在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是 ．
解：由题意得，
解得，
故答案为：．
9．（2分）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形内角和为 　1080　度．
解：多边形的边数为：，
多边形的内角和是：．
故答案为：1080．
10．（2分）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为 ．
解：表示的是的图象位于轴的下方，
不等式的解集为，
故答案为：．
11．（2分）如图，矩形中，对角线、相交于，那么图中的相反向量是 ．
解：在矩形中，．则图中与相反向量是．
故答案为：．
12．（2分）某城市出租汽车收费标准为：3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为 ．
解：由题意可知，当行驶路程千米时，车费与行驶路程千米之间的函数关系式为：，
故答案为：．
13．（2分）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为 　10　．
解：解方程得到或5，
菱形的对角线长分别为4和5，
菱形的面积，
故答案为：10．
14．（2分）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为　　．
解：直线与两坐标轴的交点为、，，
则直线与两坐标轴所围成的三角形的面积：，
若，直线经过二、三、四象限，，即 （舍去）；
若，直线经过一、二、三象限，，即 （舍去）；
则的值为：．
故填．
15．（2分）如图，是的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是　等　（只要填写一种情况）．
解：（答案不唯一）．
连接，交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
16．（2分）如图，矩形中，，，若将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是　　．
解：将该矩形沿对角线折叠，
，
而，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
阴影部分的面积．
故答案为：．
17．（2分）如图，菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，则的值为　216　 ．
解：，
，
四边形是菱形，
，，
又顶点在轴的正半轴上，
，即，
反比例函数的图象经过顶点，
，
故答案为：216．
18．（2分）如图，在△中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将△沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是　6　 ．
解：根据题意作图如下，
在△中，，，，
，，
，
折叠，
，，
，
四边形是平行四边形，
，相互平分，交于点，
，
在△中，，，
，
，
，
故答案为：6．
三、简答题（第19、20、21每题6分，第22、23每题7分，共32分）
19．（6分）如图，在平行四边形中．
（1）作的平分线交于；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）
（2）按（1）作图所示，若，，求的长．
解：（1）线段即为所求；
（2）平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
的长是4．
20．（6分）已知，直线与直线平行，且经过点，直线交轴于点．
（1）求直线的表达式．
（2）轴上一点，若△为等腰三角形，求点的坐标．
解：（1）直线与直线平行，
，
，
把代入得：，
解得：，
直线的解析式为；
（2）在中，令得，
，
，
，
设，
，，
当时，，
解得或（此时与重合，舍去），
；
当时，，
解得或，
或；
当时，，
解得，
；
综上所述，的坐标为或或或．
21．（6分）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，．
（1）试用向量，，表示下列向量：， ；　　 ；
（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
解：（1）由题意，设，，，则，
，
如图所示，连接，
，
，
是的中点，
，且．
在△和△中，
，
△△，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）由题意，根据尺规作平行线分别作，的平行线，交于点，如图，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
即为所求．
22．（7分）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品按原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元．
（1）请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为 ；
（2）若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值．
（3）若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围．
解：（1）甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品按原价每满200元减50元．
乙商店所购商品接原价每满200元减50元，购买商品原价为元，，
；
故答案为：；
（2）顾客购买原价在350元以下的商品，
在甲家付款金额为元，在乙家付款金额为元，
，
解得，，
顾客购买原价为250元；
（3）顾客购买原价在600元以下的商品，
在甲家付款金额为元，
当时，在乙家付款金额为元，
当时，在乙家付款金额为元，
当时，在乙家付款金额为元，
①，即在乙家付款大于甲家付款，
，不符合题意；
②当时，，
解得，，
；
③当时，，
解得，，
；
综上所述，当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算．
23．（7分）如图，已知在四边形中，，，，．
（1）如果，求证：四边形是等腰梯形；
（2）求的长．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
四边形是等腰梯形；
（2）解：过作交于，
，
，
，
，
△是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
四、解答题（24题8分，25题9分，26题9分，共26分）
24．（8分）如图，已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
【解答】（1）解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
点、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
△△，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，四边形是平行四边形．
点、分别是、的中点，
．
，
．
是菱形．
25．（9分）如图，点的坐标为，点、在轴上，且轴，，直线与轴交于点，是直线上的一个动点．
（1）求直线的表达式；
（2）当点在线段上，联结，如果△的面积是△面积的一半，求点的坐标；
（3）设点是平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．
解：（1），在轴上，轴，
，，
，
，
所以，
，
设直线表达式为：，过，，
，
解得，
直线表达式为：．
（2）直线与轴交于点，
令，得，
点在直线上，
设，
，
，
解得，
点，．
（3）①当为对角线，为边时，如图，
，
此时当与重合，且四边形为正方形，
；
②当为边，为对角线时，如图，
此时垂直平分，则，
，
，
则；
③当、均为菱形的边时，如图，
此时，
设，
，
解得，
当时，，
此时，，
，
，；
当时，同理可得，；
综上：点或或，或，．
26．（9分）已知等边△中，，点为射线上一动点，以为边作等边△，且点与点在直线的同侧，过点作，与直线、分别相交于点、．
（1）若在边上时，
①求证：四边形是平行四边形；
②设，，求关于的函数解析式．（不需要写出函数定义域）
（2）当时，求△的面积．
【解答】（1）①证明：△和△都是等边三角形，
，，，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
②解：等边△中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
，
，，
；
（2）解：当点在边上时，过点作于点，
则，
由（1）知，，，
，
，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
；
当点在延长线上时，过点作于点，
则，
△和△都是等边三角形，
，，，
，
，
△△，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
，
，，
△是等边三角形，
，
，
．
综上，．

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