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(共23张PPT)
正方形
仔细观察下列实际生活中的物品，你能发现什么？
都有正方形的形象.
你还能举出其他的例子吗？
我们已经学了矩形和菱形，想一想它们怎么才能变成正方形？
5 cm
8 cm
5 cm
一组邻边相等
矩形
正方形
一个角是直角
菱形
正方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形的定义：
根据定义，你能猜想正方形具有哪些性质？
猜想：1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
2. 正方形对角线相等且互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角.
尝试证明
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四条边都相等，四个角都是直角.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠A = 90°，AB = AD（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，
所以四边形 ABCD 是矩形（矩形的定义），
且四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）.
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AB = BC = CD = AD.
A
B
C
D
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交与点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC ⊥ BD.
证明：在四边形 ABCD 中，
∵正方形是矩形，
∴AO = BO = CO = DO.
又∵正方形是菱形，
∴AC ⊥ BD.
A
B
C
D
O
动手操作
请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？
是轴对称图形， 有 4 条对称轴.
归 纳
边 角 对角线 对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
对角线相等且互相垂直平分
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直平分
对角线相等且互相平分
四个角都是直角
对角相等
对角相等
对边平行，四条边相等
对边平行，四条边相等
对边平行且相等
中心对称
轴对称、
中心对称
轴对称、
中心对称
轴对称、
中心对称
例 1 如图，已知正方形 ABCD . 求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的大小.
A
B
C
D
O
分析：由正方形的特殊性质，
易证△ABO≌△CBO，
从而可得∠ABD = ×90°= 45°，
同理可得∠DAC = 45°.
可知∠DOC = 90°.
老师给学生布置了一项任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形.
小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务.这种检验可信吗？
讨 论
小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形.这种检验对吗？
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线段，发现它们是相等的.按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.
A
B
C
D
O
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.
思 考
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
一个角是直角
平行四边形
矩形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直
D. 对角线平分对角
矩形、正方形
矩形、菱形、正方形
B
菱形、正方形
菱形、正方形
2. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，
E、F 分别为 AC、BD 上的点，且 OE ＝ OF，连结 AF、
BE、EF．若∠AFE ＝25°，则∠CBE 的度数为( )
A. 70°
B. 65°
C. 55°
D. 50°
B
3. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 AD 上一点，P 是对角线 AC 上任意一点(不与点 A 、C 重合)，且∠EPB ＝ 90°，PM ⊥ AD 于点 M ，PN ⊥ AB 于点 N ．求证:（1）四边形 PMAN 是正方形；
证明: ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD ＝ 90°，AC 平分∠BAD．
∵PM ⊥ AD，PN ⊥ AB，
∴∠PMA＝ ∠PNA＝90°，且 PM ＝ PN，
∴∠NAM ＝∠PMA＝∠PNA＝ 90°，
∴四边形 PMAN 是矩形．
又∵PM ＝PN，∴四边形 PMAN 是正方形．
（2）EM ＝ BN ．
证明: ∵四边形 PMAN 是正方形，
∴∠MPN ＝ 90°．
∵∠EPB ＝ 90°，
∴∠MPE + ∠EPN ＝∠NPB + ∠EPN，
∴∠MPE＝∠NPB．
∵PM ⊥ AD，PN ⊥ AB，
∴∠PME＝∠PNB＝90°．
又∵PM ＝PN，∴△EPM≌△BPN (ASA)．
∴EM ＝ BN ．
【选自教材第138页 练习 第1题】
把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片. 为什么？
解：如图，由折叠知 AB = AD，
∠B =∠ADC = 90°.
∵∠BAD = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD，
由正方形是有一组邻边相等的矩形可知，
四边形 ABCD 是正方形.
A
B
D
C
【选自教材第138页 练习 第2题】
2. 判断下列命题是否正确：
（1）正方形有四条对称轴；
（2）正方形的两条对角线将其分成 4 个全等的
等腰直角三角形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形.
正确
正确
正确
正确
【选自教材第139页 练习 第3题】
3. 在下列各方格图中，有多少个正方形？有多少个矩形？
①
②
有 5 个正方形，9 个矩形.
有 14 个正方形，36 个矩形.
4. 已知正方形纸片 ABCD 的边 AB 长 2 cm. 求这个正方形
的周长、对角线长和面积.（长度精确到 0.1 cm）
【选自教材第139页 练习 第4题】
解: 正方形的周长为 4×2 ＝8 (cm)，
对角线 AC ＝BD ＝ ≈ 2.8 (cm)，
正方形的面积为 2×2＝4 (cm2).
A
B
C
D
正方形的定义和性质
定义
性质
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
四个角都是直角
四条边都相等
对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

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