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2024-2025学年上海市青浦实验中学八年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．下列方程中，属于无理方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，一定是轴对称图形的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
3．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可以化为（　　）
A． B． C． D．
4．下列方程有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
5．在梯形中，，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（　　）
A． B． C． D．
6．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图，，则图2中对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（2分）方程的根是　　 ．
8．（2分）关于的方程的根是　　．
9．（2分）一辆汽车．新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为．如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是 　　（列出方程即可，无需求解）
10．（2分）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 　　边形．
11．（2分）若关于的分式方程有增根，则的值是 　　．
12．（2分）方程的解是 　　．
13．（2分）方程无实数根，则的取值范围为　 　．
14．（2分）如图，在四边形中，，且，的长为16，则的长为 　　．
15．（2分）如图，在梯形中，，，，那么边的长为 　　．
16．（2分）七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，有一块边长为4的正方形厚纸板，做成如图①所示的一套七巧板（点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，，，将图①所示七巧板拼成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾” 的长为 　　．
17．（2分）如图，菱形的边长为2，，联结，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，联结，那么的面积是 　　．
18．（2分）已知矩形，，将沿着直线翻折，点落在点处，如果点到直线的距离是6，那么的长是 　　．
三、解答题：（本大题共8题，19-20题每题5分，21-22题每题6分，23-25题每题8分，第26题12分，满分58分）
19．（5分）解方程：
20．（5分）解方程：．
21．（6分）解方程组：．
22．（6分）如图，在中，点，分别是，的中点，点是延长线上的一点，且，连接，．若，，．
（1）求证：；
（2）求四边形的周长．
23．（8分）松江区于4月22日，举办“”上海余山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由厂家完成．已知厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求厂家在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对，求原计划每天生产多少对护膝．
24．（8分）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求证：四边形为矩形．
25．（8分）已知直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，过点作轴，交轴于点，再过作，交轴于点，
（1）求直线的解析式；
（2）已知点的横坐标为4，求四边形的面积；
（3）联结、，当点在线段上移动时，问与是否有可能互相垂直？如有可能，试求出点的坐标；如不可能，请简要说明理由．
26．（12分）如图，已知梯形中，，，，点是射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；
（3）若△是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）.
1．下列方程中，属于无理方程的是（　　）
A． B． C． D．
解：选项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，
选项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，
选项的根号内含有未知数，所以是无理方程，故本选项正确，
选项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，
故选：．
2．下列图形中，一定是轴对称图形的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
解：．等腰三角形或等边三角形是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
．平行四边形，不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
．菱形是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；
．等腰梯形是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
3．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可以化为（　　）
A． B． C． D．
解：设，则原方程化为，去分母得，．
故选：．
4．下列方程有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，对于，去分母得，，又时，分母无意义，
此时原方程无解，故不合题意．
对于，方程左边是非负数，不可能为0，故此时方程无解，不合题意．
对于，由，且，故，方程左边右边，故此时方程无解，不合题意．
对于，由题意，或，又，故，不合题意，舍去），故此时方程有实数根．
故选：．
5．在梯形中，，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，，
梯形是等腰梯形，故本选项错误；
、根据，不能推出四边形是等腰梯形，故本选项正确；
、，
，
四边形是等腰梯形，故本选项错误；
、，
，
四边形是等腰梯形，故本选项错误．
故选：．
6．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图，，则图2中对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
解：如图1，四边形是正方形，，
，
在图2中，连接交于，
，，
△是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（2分）方程的根是　　 ．
解：，
，
，
故答案为：．
8．（2分）关于的方程的根是　　．
解：移项，得：，
即，
时，
方程的解为：．
故答案为：．
9．（2分）一辆汽车．新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为．如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是 　　 （列出方程即可，无需求解）
解：设每年的年折旧率为，
．
故答案为：．
10．（2分）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 　六　边形．
解：设这个多边形的边数是，
则，
解得：，
即这个多边形是六边形，
故答案为：六．
11．（2分）若关于的分式方程有增根，则的值是 　　．
解：去分母得：，
关于的分式方程有增根，
增根是，
把代入，
解得：，
故答案为：．
12．（2分）方程的解是 　　．
解：根据题意可得：或，
或，
或．
由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
13．（2分）方程无实数根，则的取值范围为　　．
解：由方程无实数根，得
．
解得，
则的取值范围为，
故答案为：．
14．（2分）如图，在四边形中，，且，的长为16，则的长为 　8　．
解：，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：8．
15．（2分）如图，在梯形中，，，，那么边的长为 　8　．
解：如图，过点作，交于，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故答案为：8．
16．（2分）七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，有一块边长为4的正方形厚纸板，做成如图①所示的一套七巧板（点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，，，将图①所示七巧板拼成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾” 的长为 　　．
解：在等腰直角三角形中，
，
，
点、分别为、的中点，
，
又，
，
．
故答案为：．
17．（2分）如图，菱形的边长为2，，联结，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，联结，那么的面积是 　　．
解：连接交于点，
四边形是菱形，
，，，平分，
，
，
在中，，，
，
由旋转得：，
，
的面积
，
故答案为：．
18．（2分）已知矩形，，将沿着直线翻折，点落在点处，如果点到直线的距离是6，那么的长是 　5或20　．
解：①如图1，当时，交于点，过点作交于点，则，
四边形是矩形，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
，，
设，
，即．
，
在中，，即，
解得：，
；
②如图2，时，过点作交的延长线于点，过点作交于点，则，
四边形是矩形，
．，
四边形是矩形，
，，
，
根据折叠的性质得，，，，
在中，，
设，，
在中，，即，
解得：，
，
综上，或20；
故答案为：5或20．
三、解答题：（本大题共8题，19-20题每题5分，21-22题每题6分，23-25题每题8分，第26题12分，满分58分）
19．（5分）解方程：
解：去分母得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为．
20．（5分）解方程：．
解： 移项得：，
，
，
，，
经检验：是原方程的根，是增根，
所以原方程的根是：．
21．（6分）解方程组：．
解：由得：或，
联立得：或，
解得：或．
22．（6分）如图，在中，点，分别是，的中点，点是延长线上的一点，且，连接，．若，，．
（1）求证：；
（2）求四边形的周长．
【解答】（1）证明：点，分别是，的中点，
为的中位线，
，，
，
，
；
（2）解：点是的中点，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，
四边形为平行四边形，
四边形的周长．
23．（8分）松江区于4月22日，举办“”上海余山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由厂家完成．已知厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求厂家在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对，求原计划每天生产多少对护膝．
解：设原计划每天生产对护膝，则实际每天生产对护膝，
根据题意，可列方程 ，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
经检验，当时，，是原方程的解，
答：原计划每天生产100对护膝．
24．（8分）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求证：四边形为矩形．
【解答】证明：（1），
，
平分，
，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2），，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
四边形为矩形．
25．（8分）已知直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，过点作轴，交轴于点，再过作，交轴于点，
（1）求直线的解析式；
（2）已知点的横坐标为4，求四边形的面积；
（3）联结、，当点在线段上移动时，问与是否有可能互相垂直？如有可能，试求出点的坐标；如不可能，请简要说明理由．
解：（1）已知直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，
得，
解得：，
；
（2）联结、，当点在线段上移动时，
当时，，
点的坐标为，
轴，，
四边形为平行四边形，且，
则四边形的面积为；
（3）当点的坐标为时，与互相垂直，理由如下：
，
，
设点的坐标为，其中，
由（2）可知四边形为平行四边形，
，，，
当时，四边形为菱形，此时与互相垂直，
在△中，，即，
解得：舍去），
则，
此时点的坐标为，
综上，当点的坐标为时，与互相垂直．
26．（12分）如图，已知梯形中，，，，点是射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；
（3）若△是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．
【解答】（1）解：，
，又，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，，
，
；
（2）如图，过点作，交于点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
又，，
△△，
，
，
，
（3）由（2）知，，
即：，
当时，，
，
，
，
，
当时，，
在△中，，
，
，
△是以为腰的等腰三角形，的长为5或11.9．

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