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2024-2025学年上海市长宁区西延安中学八年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．是二元二次方程 B．是二项方程
C．是分式方程 D．是无理方程
2．下列函数中，是一次函数的是（　　）
A． B．
C． D．、是常数）
3．如果关于的方程无解，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．任意实数
4．下列关于的方程中，一定有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
5．，、，是一次函数图象上的不同的两点，则（　　）
A．
B．
C．
D．的符号无法判断
6．下列条件中不能确定一个四边形一定是菱形的是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线平分一组内角的平行四边形
D．对角线垂直且互相平分的四边形
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．直线的截距是　　 ．
8．已知平行四边形中，已知，则　　度．
9．方程的根是　　 ．
10．若一次函数中随的增大而减小，则的取值范围是　　 ．
11．将直线向下平移3个单位所得直线的解析式为　 　．
12．方程的解是　　 ．
13．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是　　 ．
14．菱形的边长为12.5，一条对角线为24，它的面积是　　 ．
15．一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的不等式的解集为 　　 ．
16．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，设实际每天铺设管道米，则可得方程，那么题中用“”表示的缺失的条件为 　　．
17．一次函数，当时，函数值的范围是，那么代数式的值是　　 ．
18．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，点落在点处，当为直角三角形时，　　．
三、计算题：（本大题共4题，每题5分，满分20分）
19．（5分）解方程：．
20．（5分）解方程：．
21．（5分）解方程组：．
22．（5分）解方程组：．
四、简答题：（本大题共2题，第23题7分，第24题8分，满分15分）
23．（7分）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，联结、．
（1）求证：；
（2）延长至点，使得，联结．如果，求证：四边形是矩形．
24．（8分）如图，直线与轴交于点，点也在该直线上，点关于轴的对称点为点，直线交轴于点，点坐标为．
（1）的值为 　　，点的坐标为 　　；
（2）求直线的函数表达式；
（3）晶晶有个想法：“设由点与点关于轴对称易得，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积．”但经反复演算，发现，请通过计算解释她的想法错在哪里？
五、解答题：（第25题8分，第26题9分，满分17分）
25．（8分）请根据以下素材，探索完成任务．
买新能源车到底划不划算
素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的款燃油车和款新能源车对比调查．其中、两款车的有关数据如下： 购车费用万元购置税万元年均保养费用万元年均保险费用万元预计10年后的车价万元款燃油车303.00.200.809.6款新能源车3600.101.04.0
素材2 总费用（以使用10年为例）购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用油费或电费
素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多1.2元，当油费和电费均为400元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍
问题解决
任务1 款燃油车每公里油费是多少元；
任务2 设平均每年的行驶路程为万公里，款燃油车使用年的总费用为万元，款新能源车使用10年的总费用为万元，分别求出和关于的表达式；
任务3 每年行驶里程至少为多少万公里时，购买款新能源车更划算（以使用10年为例）．
26．（9分）如图1，已知四边形是由直角三角形和矩形组成的，点在的延长线上，，，作线段的垂直平分线，交于点，交边于点，并交射线于点．
（1）如图2，当点与点重合时，求的长；
（2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域；
（3）如图3，联结，当△是等腰三角形时，请直接写出的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．是二元二次方程 B．是二项方程
C．是分式方程 D．是无理方程
解：利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断可得：
．含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，故是二元二次方程，故正确；
、是二次方程，不是二项方程，故错误；
、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误；
、被开方数不含未知数，不是无理方程，故错误．
故选：．
2．下列函数中，是一次函数的是（　　）
A． B．
C． D．、是常数）
解：选项的分母中有未知数，不是整式，故该选项不符合题意；
选项符合的形式，故该选项符合题意；
选项是二次函数，故该选项不符合题意；
选项没有强调，故该选项不符合题意；
故选：．
3．如果关于的方程无解，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．任意实数
解：关于的方程无解，
，
解得：，
的取值范围是．
故选：．
4．下列关于的方程中，一定有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
解：，则无意义，则不符合题意，
，解得，当时，，那么是该方程的增根，则不符合题意，
，整理得无意义，则不符合题意，
，那么△，它有两个不相等的实数根，则符合题意，
故选：．
5．，、，是一次函数图象上的不同的两点，则（　　）
A．
B．
C．
D．的符号无法判断
解：，、，是一次函数图象上的不同的两点
，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
与异号，
，
故选：．
6．下列条件中不能确定一个四边形一定是菱形的是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线平分一组内角的平行四边形
D．对角线垂直且互相平分的四边形
解：．一组邻边相等的平行四边形是菱形，能确定一个四边形一定是菱形，故不符合题意；
．对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故符合题意；
．对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，能确定一个四边形一定是菱形，故不符合题意；
．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，能确定一个四边形一定是菱形，故不符合题意；
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．直线的截距是 ．
解：当时，，
故答案为：．
8．已知平行四边形中，已知，则　108　度．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
设，，
，
，
，
，
故答案为：108．
9．方程的根是或 ．
解：，
，
当时，解得：；
当时，解得：，
或．
10．若一次函数中随的增大而减小，则的取值范围是 ．
解：一次函数中随的增大而减小，
，
，
故的取值范围为，
故答案为：．
11．将直线向下平移3个单位所得直线的解析式为　　．
解：将直线向下平移3个单位所得直线的解析式为，即．
故答案为．
12．方程的解是 ．
解：由题意可得：
需满足：或，
解得：或，
当时，代入原方程：，满足方程；
当时，代入原方程：，发现无意义，
因此被舍去，
综上，方程的解为．
故答案为：．
13．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ．
解：设，则原方程化为：，
方程两边都乘，得，
即．
故答案为：．
14．菱形的边长为12.5，一条对角线为24，它的面积是　84　 ．
解：四边形是菱形，
，，，
由勾股定理可得，，
，
它的面积是．
故答案为：84．
15．一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的不等式的解集为 　　 ．
解：由图象可知：当时，次函数的图象位于轴上方，
不等式的解集是．
故答案为：．
16．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，设实际每天铺设管道米，则可得方程，那么题中用“”表示的缺失的条件为 　实际比原计划每天多铺设管道10米，结果提前15天完成　．
解：实际每天铺设管道米，则可得方程，
缺失的条件为实际比原计划每天多铺设管道10米，结果提前15天完成，
故答案为：实际比原计划每天多铺设管道10米，结果提前15天完成．
17．一次函数，当时，函数值的范围是，那么代数式的值是 ．
解：，
随的增大而减小，
由题意可知，当时，可有①，
当时，可有②，
由①②，得，，
．
故答案为：．
18．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，点落在点处，当为直角三角形时，　7或　．
解：①如图，若，
，
四边形是矩形，
将沿着翻折，
，
四边形是正方形，
，
；
②如图，若，
将沿着翻折，
，，，
，
点，点，点三点共线，
，
，
，
，
，
③若，
，
点不可能落在直线上，
不存在，
综上所述：或．
故答案为：7或．
三、计算题：（本大题共4题，每题5分，满分20分）
19．（5分）解方程：．
解：，
，
方程两边都乘，得，
整理得：，
，
解得：，，
经检验：是分式方程的解，不是分式方程的解，
所以分式方程的解是．
20．（5分）解方程：．
解：整理得：，
两边平方得：，
，
解得或．
经检验是原方程的解．
21．（5分）解方程组：．
解：，
由①，得：③，
将③代入②，得：，
整理得，，
即，
或，
解得，，
将代入③得，；
将代入③得，；
方程组的解为或．
22．（5分）解方程组：．
解：设，，则原方程组可化为：，
解得，
可得：，
解得，
经检验，是原方程组的解，
则原方程组的解是．
四、简答题：（本大题共2题，第23题7分，第24题8分，满分15分）
23．（7分）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，联结、．
（1）求证：；
（2）延长至点，使得，联结．如果，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
点、分别为、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是矩形．
24．（8分）如图，直线与轴交于点，点也在该直线上，点关于轴的对称点为点，直线交轴于点，点坐标为．
（1）的值为 　　，点的坐标为 　　；
（2）求直线的函数表达式；
（3）晶晶有个想法：“设由点与点关于轴对称易得，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积．”但经反复演算，发现，请通过计算解释她的想法错在哪里？
解：（1）点在直线上，
；
，
点关于轴的对称点为点，
．
故答案为：，；
（2）直线与轴交于点，
，
设直线的函数关系式为，
由题意得，，
解得．
直线的函数表达式为：．
（3）由（2）直线的函数表达式为．
令，得．
直线与轴的交点坐标为．
而点坐标为，
点不在直线上，即点、、不在同一条直线上．
．
五、解答题：（第25题8分，第26题9分，满分17分）
25．（8分）请根据以下素材，探索完成任务．
买新能源车到底划不划算
素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的款燃油车和款新能源车对比调查．其中、两款车的有关数据如下： 购车费用万元购置税万元年均保养费用万元年均保险费用万元预计10年后的车价万元款燃油车303.00.200.809.6款新能源车3600.101.04.0
素材2 总费用（以使用10年为例）购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用油费或电费
素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多1.2元，当油费和电费均为400元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍
问题解决
任务1 款燃油车每公里油费是多少元；
任务2 设平均每年的行驶路程为万公里，款燃油车使用年的总费用为万元，款新能源车使用10年的总费用为万元，分别求出和关于的表达式；
任务3 每年行驶里程至少为多少万公里时，购买款新能源车更划算（以使用10年为例）．
解：（1）设款新能源车平均每公里的充电费用为元，根据题意可得：
，
解得，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
（元，
答：款燃油车平均每公里油费用为1.6元；
（2）由条件可得，
；
（3）要使购买款新能源车更划算，即，
即，
解得，
答：当每年行驶里程至少为0.8万公里，购买款新能源车更划算．
26．（9分）如图1，已知四边形是由直角三角形和矩形组成的，点在的延长线上，，，作线段的垂直平分线，交于点，交边于点，并交射线于点．
（1）如图2，当点与点重合时，求的长；
（2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域；
（3）如图3，联结，当△是等腰三角形时，请直接写出的长．
解：（1）四边形是由直角三角形和矩形组成的，点在的延长线上，
，，，，
四边形是直角梯形，
垂直平分，
，
在直角三角形中中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
；
（2）如图2，垂直平分，连接，
，，
在直角三角形中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，；
（3）或或．理由如下：
当时，如图3，取的中点，连接，
由（1）得四边形是直角梯形，
作线段的垂直平分线，交于点，交边于点，并交射线于点，
点是的中点，
是的中点，
是直角梯形的中位线，
，
，
，
，
此时与点重合，
与（1）同理得；
当时，如图4，连接，
，
，
，
；
当时，如图5，过点作，垂足为，作，垂足为，
点是的中点，，
△△，
，，
，，，
四边形是矩形，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：（不合题意，舍去），或，
；
综上所述，或或．

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