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2024-2025学年上海实验学校南校八年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共18分）
1．正五边形一个外角的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．对于一次函数与正比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．的图象向下平移3个单位长度可得到的图象
B．的图象经过第一、二、三象限
C．两个函数中，的值均随着值的增大而增大
D．的图象经过点
4．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点和．有下列结论：①将其图象沿轴向下平移3个单位，可得到直线；
②关于的方程的解为；
③当时，；
④图象经过点．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．方程组有实数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．．
6．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（　　）
A． B．且 C． D．且
二、填空题（共24分）
7．直线向下平移6个单位得到直线 　　．
8．解分式方程时，去分母后得 　　．
9．已知点，都在直线上，则与的大小关系是 　　．
10．方程的解是　　 ．
11．已知是二元二次方程的一个解，那么 　　 ．
12．已知函数，则当函数值时，自变量的值是 　　．
13．在平面直角坐标系中，点为原点，直线交轴于点，交轴上半轴于点．若△的面积为4，则点的坐标为 　　．
14．用换元法解无理方程，若设，则原方程可化为整式方程：　　 ．
15．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，为半径画弧，交轴负半轴于点，则点坐标为　　 ．
16．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 　　 ．
17．如图，小明从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 　　．
18．点沿着动点运动的方向平移个单位长度到点，则点的坐标为 　　．
三、解答题
19．（6分）解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）解方程：．
22．（8分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限的交点分别为，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
23．（8分）如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
24．（8分）某批发商欲将一批水产品委托货运公司由 地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是．货运公司的收费项目及收费标准如下表：
运输量单价元（吨千米） 冷藏费单价元（吨时） 过路过桥费（元
2 5 200
（1）若该批发商有 水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式．
（2）如果该批发商想运送水产品，支付运费1500元，货运公司愿意运送这批水产品吗？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式；
（2）点是轴上的一个动点，过点与轴垂直的直线与直线、分别相交于点、，且点和点关于轴对称，求点的坐标；
（3）若直线与线段有交点（包括线段的两个端点），直接写出的取值范围．
26．（8分）综合运用
（1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：△△；
（2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为：　　 ；将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为　　 ．（直接写出答案）
（3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为　　 ．（直接写出答案）
（4）将函数的图象先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为　　 ．（直接写出答案）
参考答案
一、选择题（共18分）
1．正五边形一个外角的度数是（　　）
A． B． C． D．
解：正五边形的一个外角为，
故选：．
2．下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：（1）是正比例函数也是一次函数；
（2）是一次函数；
（3）不是一次函数；
（4）是一次函数；
（5）不是一次函数；
是一次函数的有：（1）（2）（4）．
故选：．
3．对于一次函数与正比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．的图象向下平移3个单位长度可得到的图象
B．的图象经过第一、二、三象限
C．两个函数中，的值均随着值的增大而增大
D．的图象经过点
解：．的图象向下平移3个单位长度可得到，即的图象，故此选项符合题意；
．对于一次函数
，，
的图象经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
．对于一次函数与正比例函数，
，
两个函数中，的值均随着值的增大而减小，故此选项不符合题意；
．对于一次函数，
当时，，
的图象不经过点，故此选项不符合题意．
故选：．
4．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点和．有下列结论：①将其图象沿轴向下平移3个单位，可得到直线；
②关于的方程的解为；
③当时，；
④图象经过点．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
解：把和分别代入得，
解得，
一次函数解析式为，
将直线沿轴向下平移3个单位，可得到直线，所以①符合题意；
一次函数的图象经过．
关于的方程的解为；所以②符合题意；
当时，函数图象在轴的下面，；所以③符合题意；
当时，，故图象不经过点．所以④不符合题意；
故选：．
5．方程组有实数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．．
解：，
由②得，③，
把③代入①，得
，
，
△，
解得，
故选：．
6．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（　　）
A． B．且 C． D．且
解：原分式方程整理得：
，
，
，
检验，当，即方程无意义，故，
关于的方程的解为正数，
，即．
综上，的取值范围为且．
故选：．
二、填空题（共24分）
7．直线向下平移6个单位得到直线 　　．
解：由上加下减的原则可知，向下平移6个单位，所得直线解析式是：，即．
故答案为：．
8．解分式方程时，去分母后得 　　．
解：方程整理得：，
去分母得：．
故答案为：．
9．已知点，都在直线上，则与的大小关系是 　　．
解：直线，
随的增大而减小，
点，都在直线上，，
，
故答案为：．
10．方程的解是 ．
解：原方程两边同时平方得：，
则，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，，
经检验，不是原方程的解，是原方程的解，
故答案为：．
11．已知是二元二次方程的一个解，那么 　43　 ．
解：由条件可得：，
解得：；
故答案为：43．
12．已知函数，则当函数值时，自变量的值是 　4　．
解：分类讨论：当时，，
解得：．
，
此时不符合，舍去；
当时，，
解得：．
，
此时符合．
综上可知自变量的值是4．
故答案为：4．
13．在平面直角坐标系中，点为原点，直线交轴于点，交轴上半轴于点．若△的面积为4，则点的坐标为 　　．
解：点为原点，直线交轴于点，
，
一次函数交轴上半轴于点．若△的面积为4，
，
，
．
故答案为：．
14．用换元法解无理方程，若设，则原方程可化为整式方程： ．
解：用换元法解无理方程，
设，
原方程为，
故答案为：．
15．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，为半径画弧，交轴负半轴于点，则点坐标为 ．
解：当时，，解得，则；
当时，，则，
所以，
因为以点为圆心，为半径画弧，交轴于点，
所以，
所以．
即可得点坐标为．
故答案为：．
16．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是且 ．
解：去分母得：，
化简得：，
，
分式方程的解为非负数，
，
，
又，
，
故答案为：且．
17．如图，小明从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 　72　 ．
解：小明从点出发第一次回到点，他走的路线是正多边形，
正多边形的每个外角是，
正多边形的边数：，
小明走的路程：
故答案为：72．
18．点沿着动点运动的方向平移个单位长度到点，则点的坐标为 　或　．
解：当时，，当时，与点重合，
设点沿着直线运动，
则，
解得：，
，
点、点都在直线上运动，
设，
，
解得或，
当时，，
当时，．
故答案为：或．
三、解答题
19．（6分）解下列方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
，
，解得，，
检验，当时，原分式方程无意义，
原分式方程无解．
（2）解：，
，
，
，
，
检验，当时，原分式方程有意义，
原分式方程的解为：．
20．（6分）解方程组：．
解：，
由②，得，
即或，
故原方程组可化为或，
解得，．
21．（6分）解方程：．
解：，
移项得：，
则，
即，
那么
则或（舍去），
因此．
22．（8分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限的交点分别为，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）设直线与轴的交点为，
则，即，解得，
，
．
23．（8分）如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
解：（1）正五边形的内角和为：，
；
（2），
，
，
，
．
24．（8分）某批发商欲将一批水产品委托货运公司由 地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是．货运公司的收费项目及收费标准如下表：
运输量单价元（吨千米） 冷藏费单价元（吨时） 过路过桥费（元
2 5 200
（1）若该批发商有 水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式．
（2）如果该批发商想运送水产品，支付运费1500元，货运公司愿意运送这批水产品吗？
解：（1）货运车辆行驶的时间（小时），
；
（2）当时，，
因为，
所以货运公司愿意运送这批水产品．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式；
（2）点是轴上的一个动点，过点与轴垂直的直线与直线、分别相交于点、，且点和点关于轴对称，求点的坐标；
（3）若直线与线段有交点（包括线段的两个端点），直接写出的取值范围．
解：（1）当时，，
点的坐标为．
将、代入，
，解得，
直线的解析式为；
（2）点，直线，直线的解析式为，
与，
，，与关于轴对称，
，
解得，
点的坐标为；
（3）一次函数与轴交于点，
．
直线经过时，
，解得，
直线经过时，，
直线与线段有交点时，的取值范围为．
26．（8分）综合运用
（1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：△△；
（2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为： ；将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为　　 ．（直接写出答案）
（3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为　　 ．（直接写出答案）
（4）将函数的图象先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为　　 ．（直接写出答案）
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：如图1，过点作轴于，过点作轴于，
，
，，
同（1）的方法知，△△，
，，
，
同求点的方法得，，
故答案为：，；
（3）解：如图2，
令，则，
，
，令，则，
，
，
，
将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，
过点作轴于，
同（2）的方法得，△△，
，，
，
点绕点逆时针旋转的对应点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
故答案为：；
（4）解：如图3，
直线先向上平移1个单位的解析式为，再向左平移2个单位的解析式为，得到直线解析式为，
取直线的两点、，
绕着坐标原点逆时针旋转，
同（2）的方法得，点绕原点逆时针旋转的对应，
点绕原点逆时针旋转的对应，
设旋转后的直线的解析式为，
则有，
解得，
直线的解析式为，
故答案为：．

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