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2024-2025学年上海市徐汇区中国中学八年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（每题2分，共12分）
1．直线的截距是（　　）
A． B． C．2 D．3
2．一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．下列四个函数中，一次函数是（　　）
A． B． C． D．
4．下列关于的方程中，一定有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，直线经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
6．如图，已知菱形，，，为的中点，为对角线
上一点，则的最小值等于（　　）
A． B． C． D．8
二、填空题（每题2分，共24分）
7．二项方程在实数范围内的解是　　．
8．用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于的整式方程为　　．
9．如果是关于的方程的增根，那么实数的值为　　．
10．已知一次函数，那么　　．
11．已知函数，当时，函数值的取值范围是　　．
12．将直线向上平移1个单位，那么平移后所得直线的表达式是　　 ．
13．如果，那么关于的方程的解为　 　．
14．某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程　　 ．
15．如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为 　　．
16．如图，在菱形中，，，则菱形的高为　 　．
17．矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为，则较短边的长为　　．
18．已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角的个数为　　．
三、简答题（每题6分，共24分）
19．（6分）解方程：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）解方程组：．
22．（6分）解方程组：．
四、解答题（共40分）
23．（6分）已知一次函数与正比例函数的图象都经过点．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求一次函数图象与轴和轴围成的三角形面积．
24．（6分）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上点出发，以80千米小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）图中的　　，　　；
（2）求提速后关于的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午之前到达目的地？请说明理由．
25．（6分）小丽的叔叔分别用300元和400元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜1元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多40件，如果小丽的叔叔按每件15元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？
26．（11分）如图，在中，为边的中点，过点作，与的延长线相交于点，为延长线上的任一点，联结、．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）当为边的中点，且时，求证：四边形为矩形．
27．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作的平行线交轴于点，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点且在轴的上方，如果以点、、、为顶点的平行四边形的面积等于面积，请求出点的坐标，并直接写出点的坐标．
参考答案
一、选择题（每题2分，共12分）
1．直线的截距是（　　）
A． B． C．2 D．3
解：由一次函数在轴上的截距是可知：
在一次函数中，，
一次函数的截距为．
故选：．
2．一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：一次函数的图象不经过第四象限，
，
解得，
故选：．
3．下列四个函数中，一次函数是（　　）
A． B． C． D．
解：、是二次函数，故本项错误；
、是一次函数，故正确；
、自变量次数不为1，故不是一次函数；
、自变量次数不为1，故不是一次函数，
故选：．
4．下列关于的方程中，一定有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，
，因为非负数的算术平方根是非负数，所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
、，
要使有意义，，
而当时，，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
、方程的解是：或，即此方程有实数根，故本选项符合题意；
、方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
5．在平面直角坐标系中，直线经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
解：由已知，得：，，
故图象经过第一、二、四象限．
故选：．
6．如图，已知菱形，，，为的中点，为对角线
上一点，则的最小值等于（　　）
A． B． C． D．8
解：菱形与关于对称，
连接，即为的最小值；
，，为的中点，
，，
在△中，；
故选：．
二、填空题（每题2分，共24分）
7．二项方程在实数范围内的解是　　．
解：，
，
，
，
故答案为：．
8．用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于的整式方程为　　．
解：设，则原方程可化为：，
去分母，可得，
即，
故答案为：．
9．如果是关于的方程的增根，那么实数的值为　4　．
解：去分母得：，
把代入得：，
故答案为：4．
10．已知一次函数，那么　　．
解：当时，．
故答案为：．
11．已知函数，当时，函数值的取值范围是　　．
解：函数中，，
随着的增大而减小，
当时，，
当时，，
故答案为：．
12．将直线向上平移1个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ．
解：根据“上加下减”的规律可知：
将直线向上平移1个单位，那么平移后所得直线的表达式是，
故答案为：．
13．如果，那么关于的方程的解为　　．
解：关于的方程，
，
．
故答案为：．
14．某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程 ．
解：由题意得：，
故答案为：．
15．如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为 　　．
解：，而，
，
故答案为：．
16．如图，在菱形中，，，则菱形的高为　　．
解：四边形是菱形，
、互相垂直平分，
，，
在中，由勾股定理，可得
，
，
，
即菱形的高为．
故答案为：．
17．矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为，则较短边的长为　9　．
解：如图，矩形中，，，求
矩形
为等边三角形
，
，
故答案为9．
18．已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角的个数为　4　．
解：由折叠知，，，
点是中点，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4
三、简答题（每题6分，共24分）
19．（6分）解方程：．
解：，
最简公分母为，
去分母得：，
整理得：，即，
解得：或，
检验，把与代入得：，
则方程的解为，．
20．（6分）解方程：．
解：．
移项得：，
两边平方得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
是原方程的解．
21．（6分）解方程组：．
解：，
设，
原方程组为，
②得，③，
③①得，，
将代入②得，
，
，，
，，
，，
．
22．（6分）解方程组：．
解：，
由①得，
所以或，
所以原方程可转化为或，
解得或或或，
所以原方程组的解为或或或．
四、解答题（共40分）
23．（6分）已知一次函数与正比例函数的图象都经过点．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求一次函数图象与轴和轴围成的三角形面积．
解：（1）由条件可知，
则函数解析式为：；
把点代入函数得，
，
则函数解析式为：；
（2）令中的，则，
与轴的交点为，
令中的，则，
与轴的交点为，
三角形面积为：．
24．（6分）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上点出发，以80千米小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）图中的　3　，　　；
（2）求提速后关于的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午之前到达目的地？请说明理由．
解：（1），，
故答案为：3，320．
（2）设提速后关于的函数解析式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
提速后关于的函数解析式为．
（3）能．理由如下：
当她们到达目的地时，，
得，
解得，
6.2小时时12分，
她们于分到达目的地．
25．（6分）小丽的叔叔分别用300元和400元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜1元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多40件，如果小丽的叔叔按每件15元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？
解：首先设乙地商品进价为元，则甲地商品进价为元，
根据题意可得：
，
整理得，，
解得：或（舍去），
经检验是方程的解，
，
，
答：小丽的叔叔从甲地购进商品60件，小丽的叔叔可赚1700元．
26．（11分）如图，在中，为边的中点，过点作，与的延长线相交于点，为延长线上的任一点，联结、．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）当为边的中点，且时，求证：四边形为矩形．
【解答】证明：（1），
，，
是的中点，
．
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
又是的中点，
，
即．
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
27．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作的平行线交轴于点，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点且在轴的上方，如果以点、、、为顶点的平行四边形的面积等于面积，请求出点的坐标，并直接写出点的坐标．
解：（1）设直线为，
代入点，，
则，
解得，，
所以直线为；
（2）设过点且平行于直线的直线为，
根据题意得：，
则直线的直线为，
则代入点得，
则直线为，
则点为；
（3）点、点，
直线的解析式为：，
点，
，
，
点是直线上一动点且在轴的上方，
若点在轴上方，
则，且，
此时点，；
若点在轴下方，
则 3，；
，， 3，．

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