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2025-2026学年上海市金山实验中学九年级（下）调研数学试卷（3月份）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题
1．下列实数中，是有理数的为（　　）
A． B． C．0 D．
2．下列单项式中，的同类项是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30．那么在这次评比中，被评为优秀（分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数）的调查报告有（　　）
A．18篇 B．24篇 C．25篇 D．27篇
5．已知的半径长为4，点在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
6．分解因式：　　 ．
7．根据电影发行方的数据，截至2025年2月18日12时电影《哪吒2》以120.9亿的票房高居春节档票房冠军，数据120.9亿元用科学记数法表示为　　 元．
8．方程的解为 　　 ．
9．不等式组的解集是　　 ．
10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 ．
11．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的范围是 　　 ．
12．如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是 　　（用向量、表示）．
13．如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为2，那么小正六边形的边心距是　　 ．
14．已知等腰三角形的底边长为8，它的外接圆半径为5，那么圆心到腰的距离为　　 ．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点、．如果线段与抛物线有交点，那么的取值范围是　　 ．
三、解答题（共8小题）
16．（9分）计算：．
17．（9分）解方程：．
18．（9分）如图，在△中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
19．（9分）为了解某一路口汽车流量情况，小明同学在10天的早、晚高峰时间段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果整理如下：
：早高峰：
：晚高峰：192，189，200，190，180，192，185，173，192，181
（1）早高峰10个数据的中位数是 　　；晚高峰10个数据的众数是 　　
（2）若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早晚高峰时段车流量更稳定的是 　　（填“早”或“晚” ；
（3）若早高峰时段该路口通过的汽车数量高于200辆则视为“拥堵”，试估计该路口一个月30天）早高峰时段拥堵的天数为多少天？
20．（9分）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心
【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等．
【实践操作】
如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上；
步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心．
【实践探索】
（1）根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心；
（2）我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数．
21．（9分）如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
22．（9分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点．
（1）求线段的长；
（2）把抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式；
（3）当四边形的面积为9时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标．
23．（12分）已知：为的直径，，点在上．联结、，过点作，交于点．
（1）如图，联结，当时，求证：四边形是菱形；
（2）作，垂足为．
①如图，联结、，交半径于点，当时，求线段的长；
②如图，联结、、，设△的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长．
参考答案
一、选择题
1．下列实数中，是有理数的为（　　）
A． B． C．0 D．
解：、是无理数，故此选项不符合题意；
、是无限不循环小数，属于无理数，故此选项不符合题意；
、0是整数，属于有理数，故此选项符合题意；
、是无理数，故此选项不符合题意；
故选：．
2．下列单项式中，的同类项是（　　）
A． B． C． D．
解：、符合同类项的定义，是同类项；
、相同字母的指数不相同，不是同类项；
、相同字母的指数不相同，不是同类项；
、相同字母的指数不相同，不是同类项；
故选：．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则逐项分析判断如下：
、，计算正确，符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、2 与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
故选：．
4．某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30．那么在这次评比中，被评为优秀（分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数）的调查报告有（　　）
A．18篇 B．24篇 C．25篇 D．27篇
解：根据频率分布直方图得：
分数大于80分的频率为：；
所以这次评比中被评为优秀的调查报告有：（篇．
故选：．
5．已知的半径长为4，点在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：如图，当内切于时，的半径为，
当内切于时，的半径为，
，
故选：．
二、填空题（共10小题）
6．分解因式：　　 ．
解：原式，
故答案为：
7．根据电影发行方的数据，截至2025年2月18日12时电影《哪吒2》以120.9亿的票房高居春节档票房冠军，数据120.9亿元用科学记数法表示为　　 元．
解：120.9亿．
故答案为：．
8．方程的解为 　　 ．
解：，
方程两边平方得：，
，
，
或，
，，
经检验不是原方程的解，是原方程的解．
故答案为：．
9．不等式组的解集是 ．
解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．
故答案为：．
10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且．　 ．
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△且，
解得且．
故答案为：且．
11．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的范围是 　　 ．
解：二次函数中，，
此函数开口向上，
当时，函数值随的增大而减小，
二次函数的对称轴直线，即
解得．
故答案为：．
12．如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是 　　（用向量、表示）．
解：，
．
平分，
．
．
．
如图，过点作交于，则四边形是平行四边形．
．
，
．
，
．
，．
．
故答案为：．
13．如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为2，那么小正六边形的边心距是　　 ．
解：如图，由题意得，在△中，，，
，又，
，
即正六边形的边长为2，
设正六边形的中心为，连接，过点作于点，
则，，
在△中，，，
，
即正六边形的边心距为．
故答案为：．
14．已知等腰三角形的底边长为8，它的外接圆半径为5，那么圆心到腰的距离为　或　 ．
解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，
如图一，假若是锐角，△是锐角三角形，
连接并延长交于，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，
，
，
圆心到腰的距离为；
若是钝角，则△是钝角三角形，
连接交于，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，
，
，
圆心到腰的距离为；
综上所述，圆心到腰的距离为或；
故答案为：或．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点、．如果线段与抛物线有交点，那么的取值范围是　或　 ．
解：抛物线，
抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴的负半轴相交，
把代入得，，
解得或，
点、，
如果线段与抛物线有交点，那么的取值范围是或．
故答案为：或．
三、解答题（共8小题）
16．（9分）计算：．
解：逐项化简：，
，
，
（任何非零数的0次幂为，
，
代入计算：
．
17．（9分）解方程：．
解：去分母得：，
整理得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
检验：当时，，
当时，，
是增根，分式方程的解为．
18．（9分）如图，在△中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
解：（1），
在△中，
．
又，，
，．
又平分，
．
（2），，
．
又，
是△的中位线，
．
同理可得，，
，
即，
．
在△中，
．
19．（9分）为了解某一路口汽车流量情况，小明同学在10天的早、晚高峰时间段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果整理如下：
：早高峰：
：晚高峰：192，189，200，190，180，192，185，173，192，181
（1）早高峰10个数据的中位数是 　196　；晚高峰10个数据的众数是 　　
（2）若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早晚高峰时段车流量更稳定的是 　　（填“早”或“晚” ；
（3）若早高峰时段该路口通过的汽车数量高于200辆则视为“拥堵”，试估计该路口一个月30天）早高峰时段拥堵的天数为多少天？
解：（1）由图可知，早高峰10个数据的中位数是按从小到大的顺序排序第5个和6个数的平均数；晚高峰10个数据出现次数最多的是192，晚高峰10个数据的众数是192，
故答案为：196，192；
（2）早高峰的平均数为：，
早高峰的方差为：；
晚高峰的平均数为：，
晚高峰的方差为：，
，
早晚高峰时段车流量更稳定的是晚；
故答案为：晚；
（3）由题意，得（天，
估计该路口一个月30天，早高峰时段拥堵的天数为12天．
20．（9分）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心
【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等．
【实践操作】
如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上；
步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心．
【实践探索】
（1）根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心；
（2）我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数．
解：（1）延长交于点，则重心即为所求，如图所示，重心即为所求：
（2）解：过点作，垂足为点，延长交于点，
，，
，
为重力作用线，是水平线，
且必过△重心，即为边上的中线，
，
，
，
，
△为等边三角形，
，
，
，
．
21．（9分）如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
是边的中点，
，
，
，
，
在△中，是斜边的中点，
，
，，是边的中点，
，
，
，
；
（2），，
，
又，
△△，
，
即，
，
．
22．（9分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点．
（1）求线段的长；
（2）把抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式；
（3）当四边形的面积为9时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标．
解：（1）令，则或1，
即点、的坐标分别为：、，
则；
（2）由（1）知，点，
则平移后的抛物线表达式为：，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，则，
则函数的表达式为：；
（3）直线的表达式为：，
由抛物线的表达式知，点，
作轴交于点，则，
则四边形的面积，
则，
则抛物线的表达式为：；
则点、，
则，，
点不与点重合且△与△相似，则存在△△，即，
即，则，
则点，．
23．（12分）已知：为的直径，，点在上．联结、，过点作，交于点．
（1）如图，联结，当时，求证：四边形是菱形；
（2）作，垂足为．
①如图，联结、，交半径于点，当时，求线段的长；
②如图，联结、、，设△的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
△为等边三角形，
，
，，
△为等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
解：（2）①，
，
为的直径，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△，△为等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
；
②过点作于点，如图，
由（2）①知：△△，
，
△的面积为，
，
四边形的面积为，如果，
，
，
，
，
，
，，
为的直径，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，，
△△，
，
，
或．
，，
△△，
．
，
或（不合题意，舍去）．
．

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