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2024-2025学年上海市金山初级中学七年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（每题3分，满分18分）
1．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题是假命题的是（　　）
①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
5．如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　）
A． B． C． D．
6．关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．不等式的解集是　　 ．
8．与3的和的2倍不小于10用不等式表示为　　 ．
9．如图，数轴上所表示的不等式的解集是　　 ．
10．如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段　　 的长可以表示点到直线的距离．
11．某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐弯行驶一段后，第二向右拐弯，如图，经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向　　 （填“平行”或“不平行” ．
12．不等式的非负整数解共有 　　个．
13．如图，已知直线和直线相交于点，且夹角为，现将直线绕点逆时针方向旋转，那么此时直线和直线的夹角为 　　度．
14．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为 　　．
15．如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 　　．
16．如图是一款折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为　　 ．
17．在中，已知点、、分别是边、、上的中点，若的面积是14，则的面积为 　　．
18．如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则　　．
三、简答题（本题共5题，每题6分，满分66分）
19．（6分）当满足什么条件时，的值不小于的值？
20．（6分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
21．（12分）按下列要求画图并填空：
如图，直线和相交于点，是上的一点；
（1）过点画出直线的垂线，交直线于点；
（2）过点画出直线的垂线，垂足为点；
（3）过点画出直线的平行线；
（4）点到点之间的距离是线段　　 的长；
（5）点到直线的距离是线段　　 的长．
22．（36分）（1）问题发现：如图①，已知点，分别在直线，上，且，若，，则的度数为　　 ；
（2）拓展探究：如图①，已知点，分别在直线，上，且，则，，之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
结论：　　 ．
理由：如图②，过点作，
　　 ，
，，
　　 ，
　　 ，
，
　　 ．
23．（6分）如图，在△中，、分别是边、上的点，、相交于点．如果，，，求和的度数．
四、解答题（第24、25题8分，第26题12分，满分0分）
24．把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？
25．如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
26．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．
（1）若三角板如图1摆放时，则　　 ，　　 ；
（2）现固定△位置不变，将△沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数；
（3）将（2）中的△固定，在△绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当△的某条边与△的一条边平行时，请求出符合条件的值．
参考答案
一、选择题（每题3分，满分18分）
1．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
，，，，
观察四个选项，选项符合题意，
故选：．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
解：、，不能组成三角形，故不符合题意；
、，不能组成三角形，故不符合题意；
、，不能组成三角形，故不符合题意；
、，能组成三角形，故符合题意．
故选：．
3．如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
解：
，
，
，
，
故选：．
4．下列命题是假命题的是（　　）
①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
解：根据对顶角相等、点到直线的距离、平行公理、平行线的性质逐项判断如下：
对顶角相等，故①是真命题；
直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故④是假命题．
故选：．
5．如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　）
A． B． C． D．
解：由条件可得，
入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
，
由条件可知，
，
由对顶角相等得：，
故选：．
6．关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：由不等式，可得，
由不等式，可得，
由以上可得不等式组的解集为：，
因为不等式组恰好只有四个整数解，
可得：，
解得，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．不等式的解集是 ．
【解答】解；由题意得，，
，
故答案为：．
8．与3的和的2倍不小于10用不等式表示为 ．
解：根据题意列不等式，
所以“与3的和的2倍不小于10”用不等式表示为．
故答案为：．
9．如图，数轴上所表示的不等式的解集是 ．
解：根据在数轴上表示不等式解集的方法可知：1处是实心圆点且折线向右，
不等式的解集是．
故答案为：．
10．如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段 的长可以表示点到直线的距离．
解：在直角三角形中，，过点作于点，
结合图形，
，
点到的距离是线段的长度，
故答案为：．
11．某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐弯行驶一段后，第二向右拐弯，如图，经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向　平行　 （填“平行”或“不平行” ．
解：根据图意，由平行线的性质：同位角相同，两直线平行可知，第一次向左拐弯行驶一段后，第二向右拐弯，轿车行驶的方向与最初行驶的方向平行．
故答案为：平行．
12．不等式的非负整数解共有 　4　个．
解：，
，
解得，，
非负整数解有0，1，2，3共4个，
故答案为：4．
13．如图，已知直线和直线相交于点，且夹角为，现将直线绕点逆时针方向旋转，那么此时直线和直线的夹角为 　20　度．
解：如图：
由题意得：此时直线和直线的夹角，
此时直线和直线的夹角为，
故答案为：20．
14．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为 　　．
解：由题意可知，
根据三角形外角性质，，
所以的度数为．
故答案为：．
15．如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 　　．
【解答】证明：如图，
，
，
，
．
故答案为：．
16．如图是一款折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．
解：如图，过点作，过点作，
，
，
，
（平行于同一直线的两直线相互平行），
，，，
，，
，
，
，
则的度数为，
故答案为：．
17．在中，已知点、、分别是边、、上的中点，若的面积是14，则的面积为 　2　．
解：连接，，
设的面积为，
是的中点，由三角形中线等分三角形的面积，
，，
点是线段的中点，
，
是的中点，
，，
的面积是14，
，
，
的面积为2．
故答案为：2．
18．如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则　　．
解：延长交于点，如图所示：
，，
，
平分，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，整理得：，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
三、简答题（本题共5题，每题6分，满分66分）
19．（6分）当满足什么条件时，的值不小于的值？
解：由题意得：，
，
，
，
当时，的值不小于的值．
20．（6分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
解：，
由①得，；
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
．
21．（12分）按下列要求画图并填空：
如图，直线和相交于点，是上的一点；
（1）过点画出直线的垂线，交直线于点；
（2）过点画出直线的垂线，垂足为点；
（3）过点画出直线的平行线；
（4）点到点之间的距离是线段 的长；
（5）点到直线的距离是线段　　 的长．
解：（1）直线如图所示；
（2）直线如图所示；
（3）直线如图所示；
（4）点到点之间的距离是线段的长；
故答案为：，
（5）点到直线的距离是线段的长，
故答案为：．
22．（36分）（1）问题发现：如图①，已知点，分别在直线，上，且，若，，则的度数为 ；
（2）拓展探究：如图①，已知点，分别在直线，上，且，则，，之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
结论：　　 ．
理由：如图②，过点作，
　　 ，
，，
　　 ，
　　 ，
，
　　 ．
解：（1）如图，过作，
，
，
，，
（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
故答案为：；
（2）结论：．
理由：如图②，过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，，
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
．
故答案为：；两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；．
23．（6分）如图，在△中，、分别是边、上的点，、相交于点．如果，，，求和的度数．
解：，．
，
，
．
四、解答题（第24、25题8分，第26题12分，满分0分）
24．把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？
解：如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．则：
设学生有名，根据题意得：
，
解得：，
因为为学生人数，只能为正整数，
所以或，则学生最少有5名，
当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个，
答：学生最少有5名，奖品至少有22个．
25．如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【解答】（1）证明：，，
．
；
（2）解：由条件可知，
，
．
．
．
．
26．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．
（1）若三角板如图1摆放时，则　15　 ，　　 ；
（2）现固定△位置不变，将△沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数；
（3）将（2）中的△固定，在△绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当△的某条边与△的一条边平行时，请求出符合条件的值．
解：（1）如图1中，过点作，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：15，150；
（2）如图2中，同法可证．
，
，
，
，
，
，分别平分，，
，，
；
（3）如图，当时，
此时，
，，
；
如图，当时，
此时，
，
；
如图，当时，
此时，，，
．
．
如图中，当时，，．
如图中，当时，，．
综上所述，满足条件的的值为2或5或6或8或11．

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