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菱形的判定定理1
菱 形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形
性质
1.具有平行四边形的一般性质.
2.菱形的特殊性质
①四条边都相等.
②两条对角线互相垂直.
③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形.
菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.
可以用定义来判定菱形.
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且 AB = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
你还有其他的判定方法吗？
动手操作
用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
试一试
如图，作一个四条边都相等的四边形.
作法：
A
B
C
D
1. 作两条相等的线段 AB、AD；
2. 分别以点 B 和点 D 为圆心、AB
长为半径作弧，两弧相交于点 C；
3. 连结 BC、CD.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
它是菱形吗，怎么证明？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AB = CD，DA = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 ∵AB = BC，
∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
归 纳
菱形的判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：
∵在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD .
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
思 考
有三条边相等的四边形是菱形吗？画一画.
例 4 如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是四条边的中点. 试问：四边形 EFGH 是什么图形？并说明理由.
A
B
D
C
E
H
F
G
解题思路：
1. 先证明这四个三角形全等.
2. 再利用菱形的判定定理 1.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AD = BC，AB = CD．
∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE = BE = CG = DG．
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG (SAS)，
∴HE = FE = FG = HG.
∴四边形 EFGH 是菱形．
A
B
D
C
E
H
F
G
1. 如图，在 □ ABCD 中，若添加一个条件使得 □ ABCD
是菱形，则这个条件可以是 ( )
A. ∠ABC ＝ 90° B. AB ＝ AD
C. AB ＝ CD D. AB∥CD
B
2. 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、
CD 、AC、BD 的中点，添加下列条件，可以判定
四边形 EHFG 为菱形的是（ ）
A. AC ＝BD
B. AB ∥ CD
C. AD ＝ BC
D. AC ⊥ BD
C
【选自教材第132页 练习 第1题】
你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这是一个特殊的平行四边形——菱形. 现在你能说明其中的理由吗？
解: 如图所示，沿着虚线剪开后，得到四边形的四条边长都等于 AB 的长，所以这个四边形是菱形.
【选自教材第132页 练习 第2题】
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AD // BC，AB = AD，∠BAD
的平分线 AE 交 BC 于点 E，连结 DE .
求证：四边形 ABED 是菱形.
证明：∵ AD∥BC，∴ ∠1 ＝∠3.
∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠1＝∠2，
∴ ∠2＝∠3，∴ AB ＝ BE.
∵ AB ＝ AD，∴ AD ＝ BE.
又∵ AD∥BE，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形.
又∵ AB ＝AD，
∴ 四边形 ABED 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
A
B
E
C
D
1
2
3
解: □ ABCD 是菱形. 理由如下:
∵ PE ⊥ AB，PF ⊥ AD，PE ＝ PF，
∴ AC 是∠DAB 的平分线，
∴ ∠DAC ＝∠BAC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，∴ ∠BAC ＝∠ACD，
∴ ∠DAC ＝∠ACD，∴ AD ＝ DC，
3. 如图，在 □ ABCD 中，点 P 是对角线 AC 上的一点，
PE ⊥ AB，PF ⊥ AD，垂足分别为点 E、F，且 PE = PF.
问：□ ABCD 是菱形吗？为什么？
【选自教材第132页 练习 第3题】
∴ 四边形 ABCD 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
A
B
C
D
P
E
F
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定
菱形的判定定理 1：四条边相等的四边形是菱形.
菱形的判定定理2
菱 形
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质定理 1
菱形的四条边都相等.
性质定理 2
菱形的两条
对角线互相垂直.
可以用来判定菱形
菱形的判定定理1

【动手操作】如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的
中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.
平行四边形
转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形？
试一试
作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
1.作 2 条互相垂直的直线 m、n，记交点为点 O；
2.以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC；
3.以点 O 为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线 n 上截取相等的两条线段 OB、OD；
4.顺次连结所得的四点.
A
B
C
D
m
n
O
它是菱形吗，怎么证明？
尝试证明
已知：四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC ⊥ BD，
求证：平行四边形 ABCD 是菱形.
证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，
又∵AC ⊥ BD,
∴BD 所在直线是线段 AC 的垂直平分线，
∴AB = BC
∴平行四边形 ABCD 是菱形.（菱形的定义）
A
O
C
B
D
归 纳
菱形的判定定理 2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：
∵在 □ ABCD 中，AC ⊥ BD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
O
C
B
D
若四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD，则四边形 ABCD 是不是菱形？
思 考
只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形.
例 5 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
2
A
B
C
D
F
E
O
1
要证四边形 AFCE 是菱形
已知条件可知 EF ⊥ AC
只需要证明四边形 AFCE 是平行四边形
又知 EF 垂直平分 AC
所以只需证明 OE = OF
2
A
B
C
D
F
E
O
1
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠1 = ∠2.
∵EF 平分 AC，
在△AOE 和 △COF 中，
∴△AOE ≌ △COF，∴OE = OF，
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵EF ⊥ AC，
∴四边形 AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形.)
∴ AE ∥ FC，
∴OA = OC.
∵∠1 = ∠2，OA = OC，∠AOE = ∠COF，
∴OE = OF，
1. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，
AB ＝ 3，则四边形 ABCD 的周长为 ( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
A
O
C
B
D
C
2. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB ＝ 5，
OA ＝ 4，OB ＝ 3. 求证: 四边形 ABCD 是菱形．
证明: ∵AB ＝ 5，OA ＝ 4，OB ＝ 3，
∴OA2 + OB2 ＝42 + 32 ＝25＝52＝AB2，
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC ⊥ BD．
又∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴四边形 ABCD 是菱形．
A
O
C
B
D
【选自教材第135页 练习 第1题】
给定一条线段 AC，你能否利用尺规作图作出一个菱形，使 AC 为该菱形的一条对角线？试试看.
提示: 作线段 AC 的垂直平分线，
并以垂足为圆心，任意长为半径
交垂直平分线于 B，D 两点，
连结 AB、CB、AD、CD 即可.
A
C
O
D
B
【选自教材第135页 练习 第2题】
2. 如图，过 □ ABCD 的对角线的交点 O，作互相垂直的两条直线 EG、FH，与 □ ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H.
求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，OB ＝OD，∴ ∠GBO ＝∠EDO.
又∵ ∠BOG ＝∠DOE，
∴ △BOG≌△DOE，∴ OG ＝OE.
同理可证△BOF≌△DOH，∴ OF ＝OH，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
又∵ EG ⊥ FH，
∴ 四边形 EFGH 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
A
B
C
D
E
F
G
H
O
解: 如图，作两条对角线长分别为 6 cm 和 4 cm 的四个菱形，
这个图形就是所设计的花边图案. (答案不唯一)
3. 设计一个由一条对角线在同一条直线上的四个菱形交叉组成
的花边图案，其长为 15 cm，宽为 4 cm，试画出它的图形.
【选自教材第135页 练习 第3题】
判定一个四边形是菱形的思路：
四边形
四条边都相等
平行四边形
有一组邻边相等
对角线互相垂直
菱形
菱形
菱形

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