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广东省深圳市宝安中学实验学校2025-2026学年九年级（下）周测数学试卷（2）
一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九下·宝安月考）下列计算结果正确的是（　　）
A．x4 x2=x8 B．x6÷（-x）3=-x3
C．（a5）2=a7 D．（-3x）2=6x2
2．（2026九下·宝安月考）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九下·宝安月考）下列命题中，假命题的是（　　）
A．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
B．各边对应成比例的两个多边形相似
C．反比例函数的图象既是轴对轴图形，也是中心对称图形
D．已知二次函数y=x2-1，当x＜0时，y随x的增大而减小
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
4．（2026九下·宝安月考）因式分解：4a3-16a2+16a=　 　
5．（2026九下·宝安月考）四条线段a、b、c、d成比例，其中cm、cm、cm，则线段　 　cm．
6．（2026九下·宝安月考）已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为　 　．
7．（2026九下·宝安月考）如图，已知在平面直角坐标系中，OO的半径为2，点A是OO上一动点，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一动点，以AB为斜边作等腰直角△ABC，连结OC，则OC的最小值为　 　．
三、计算题：本大题共3小题，共20分。
8．（2026九下·宝安月考）计算：（π-3020）0-2cos45°-+|1-|.
9．（2026九下·宝安月考）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若CE=BE，tan∠B=，⊙O的半径是3，求EC的长.
10．（2026九下·宝安月考）如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC=8，tan∠BDC=．
（1）求⊙O的直径；
（2）当DG=时，过G作GE∥AD，交BA的延长线于点E，证明GE与⊙O相切．
四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11．（2026九下·宝安月考）先化简，再求值： ，其中 ．
12．（2026九下·宝安月考）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系 ，
（1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
13．（2026九下·宝安月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到最大，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
14．（2026九下·宝安月考）如图，在平面直角坐标系中画一个6×4的网格，一条圆弧经过格点A、B、C.
（1）在图中标出所在圆的圆心P的位置，圆心P的坐标为　 　；
（2）所在圆的半径为　 　，的长度为　 　；
（3）下列各点与点B的连线中，与所在圆相切的是　 　（填序号）.①点（0，4），②点（5，1），③点（5，2），④点（6，1）.
15．（2026九下·宝安月考）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置并写出点M的坐标；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），求证直线CD是⊙M的切线．
16．（2026九下·宝安月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，∠OBC=∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E=∠BOC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC=，求BD的长．
17．（2026九下·宝安月考）在平面直角坐标系中，以C（-4，0）为圆心，为半径画圆交y轴于点A，已知点P（6，0），射线PA交⊙C于点B.
（1）求证：AB=AP；
（2）只利用一把无刻度的直尺画出过点P，且与⊙C相切的一条直线，并说明理由.（保留画图痕迹）
18．（2026九下·宝安月考）已知点E是正方形ABCD内部一点，且∠BEC=90°.

（1）【初步探究】
如图1，延长CE交AD于点P.求证：△BEC∽△CDP；
（2）【深入探究】
如图2，连接DE并延长交BC于点F，当点F是BC的中点时，求的值；
（3）【延伸探究】
连接DE并延长交BC于点F，DF把∠BEC分成两个角，当这两个角的度数之比为1：2时，请直接写出的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：x4 x2=x6，错误，不符合题意；
B：x6÷（-x）3=-x3，正确，符合题意；
C：（a5）2=a10，错误，不符合题意；
D：（-3x）2=9x2，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用配方法求解一元二次方程的方法求解即可。
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；菱形的判定；图形的相似；二次函数y=ax²+bx+c的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形为真命题，不符合题意；
B：各边对应成比例且对应角相等的两个多边形相似，为假命题，符合题意；
C：反比例函数的图象既是轴对轴图形，也是中心对称图形为真命题，不符合题意；
D：已知二次函数y=x2-1，当x＜0时，y随x的增大而减小为真命题，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据菱形的判定定理，相似图形的定义，反比例函数图象的特征，二次函数性质，逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】4a(a-2)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 4a3-16a2+16a
=4a（a2-4a+4）
=4a（a-2）2；
故答案为：4a(a-2)2.
【分析】先提取公因式4a，再运用公式法进行因式分解即可求解.
5．【答案】9
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝3cm，c＝3cm，
∴d＝＝9，
则d＝9cm．
故答案为：9．
【分析】根据比例线段的性质可得ad＝cb，再将数据代入可得d＝＝9。
6．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根
∴
解得：k=1
故答案为：1
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：以OB为底边向上作等腰直角三角形OBF，连接CF
∵△OBF，△ABC都是等腰直角三角形
∴∠OBF=∠ABC=45°，
∴，∠OBA=∠FBC
∴△OBA∽△FBC
∴
∴
∵OC≥OF-CF
∴当OF的值最小时，OC的值最小
∵△OBD是等腰直角三角形
∴当OB最小时，OF的值最小
∵点B在反比例函数y=的图象上
∴点B(2，2)时，OB的值最小，此时，OF=BF=2
∴OC的最小值为
故答案为：
【分析】以OB为底边向上作等腰直角三角形OBF，连接CF，根据等腰直角三角形性质可得∠OBF=∠ABC=45°，，再根据相似三角形判定定理可得△OBA∽△FBC，则，代值计算可得CF，再根据边之间的关系可得OC≥OF-CF，当OF的值最小时，OC的值最小，根据等腰直角三角形性质可得当OB最小时，OF的值最小，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得点B(2，2)时，OB的值最小，此时，OF=BF=2，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】解：原式=1-2×-4+-1
=1--4+-1
=-4．
【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式性质，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
9．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线
（2）解：∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，设EC=EB=x，
在Rt△ABC中，tan∠B=，AB=6，
∴AC=3，
在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，
∴x2=（6-x）2+32 ，
解得x=，
∴CE=．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；切线的判定；解直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得∠ADB=90°，根据三角形内角和定理可得∠B+∠BAD=90°，根据角之间的关系可得∠BAC=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得EC=EB，设EC=EB=x，根据正切定义可得AC，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】（1）解：∵AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，
∵BG与⊙O相切于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BDC+∠BAC=90°，∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BDC=∠ABC，
∵tan∠BDC=，
∴tan∠ABC=．
∵AC=8，
∴
∴，
∴BC=6，
∴由勾股定理得：AB=10，
∴⊙O的直径为10；
（2）解：过点D作DF⊥GE于F，过点O作OH⊥GE于H交AD于M，
GE∥AD，
∴∠G=∠BDC，
∴tan∠G=tan∠BDC=，
∴设DF=4x，FG=3x，
∵DG=，
∴由勾股定理得：（4x）2+（3x）2=，
解得：x=，
∴DF=4x=2，
∵GE∥AD，DF⊥GE，OH⊥GE，
∴DF=MH=2，OM⊥AM，
又∵O为AB中点，
∴OM=BC=3，
∴OH=5，
又∵⊙O的直径为10，从而半径r=5，
∴OH=r，
∴EG与⊙O相切．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得∠ACB=90°，再根据切线性质可得∠ABD=90°，根据角之间的关系可得∠BDC=∠ABC，根据正切定义可得tan∠ABC=，则，代值计算可得BC，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点D作DF⊥GE于F，过点O作OH⊥GE于H交AD于M，根据直线平行性质可得∠G=∠BDC，根据正切定义可得tan∠G=tan∠BDC=，设DF=4x，FG=3x，根据勾股定理建立方程，解方程可得DF，再根据直线平行性质可得DF=MH=2，OM⊥AM，根据线段中点可得OM，根据圆的性质可得OH，再根据切线判定定理即可求出答案.
11．【答案】解：
＝
＝
＝ ．
当 时，原式＝ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
12．【答案】（1）解：设每千克樱桃的售价为 元，则 ，
由题意得： ，
解得 （不符题意，舍去），
答：每千克樱桃的售价应定为30元；
（2）设当每千克樱桃的售价为 元时，日销售利润为 元，
由题意得： ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润是1600元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克樱桃的售价为 元，则 ， 由题意列出方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设当每千克樱桃的售价为 元时，日销售利润为 元，由题意得： ，由二次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，当 时， 取得最大值。
13．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
∴150(1+x)2=216
解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍）
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w
则w=(m-30)[600-5(m-40)]=-5(m-95)2+21125
∵-5<0，
∴当m＝95时，月销售利润最大；
为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
14．【答案】（1）（1，0）
（2）；
（3）③
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，即点P即为所求
由图可得，点P的坐标为(1，0)
故答案为；（1，0）
（2）由题意可得：
∴所在圆的半径为
∵AP2+PC2=AC2
∴∠APC=90°
∴的长度为
故答案为：；
（3）①如图，设点D(0，4)，分别连接BP，BD，DP
∵BD2=12+22=5，BP2=12+32=10，DP2=12+42=17
∴BD2+BP2=15≠ DP2
∴∠PBD≠90°，即PB与BD不垂直，
∴点（0，4)与点B的连线与AC所在圆不相切
∴点(0，4)不符合要求；
②如①图，设点E(5，1)，分别连接BP，BE，EP
∵BE2=22+32=13，BP2=12+32=10，EP2=12+42=17
∴BE2+BP2=23≠EP2
∴∠PBE ≠ 90°，即PB与BE不垂直
∴点(5，1)与点B的连线与AC所在圆不相切，
∴点(5，1)不符合要求；
③如①图，设点F(5，2)，分别连接BP，BF，FP
∵BF2=12+32=10，BP2=12+32=10，FP2=22+42=20
∴BF2+BP2=20=FP2
∴∠PBF=90°，即PB与BE垂直，
∴点(5，2)与点B的连线与AC所在圆相切，
∴点(5，2)符合要求；
④如①图，设点G(6，1)，分别连接BP，BG，GP
∵BG2=22+42=20，BP2=12+32=10，GP2=12+52=26
∴BG2+BP2=30≠GP2
∴∠PBG≠90°，即PB与BG不垂直
∴点（6，1)与点B的连线与AC所在圆不相切
∴点(6，1)不符合要求
【分析】（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，即点P即为所求.
（2）根据勾股定理可得AP，PC，AC，再根据勾股定理逆定理可得∠APC=90°，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据勾股定理及勾股定理，结合切线判定定理逐项进行判断即可求出答案.
15．【答案】（1）解：如图1，连接AB、BC，
作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，
由图形可知：这点的坐标是（2，0），
∴圆弧所在圆的圆心M点的坐标是（2，0）
（2）解：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而可得B（4，4）、C（6，2），
如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，D点的坐标为（7，0），作直线CD．
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC2=ME2+CE2=42+22=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD2=ED2+CE2=12+22=5，
∴MD2=MC2+CD2，
∴∠MCD=90°，
∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AB、BC，作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求.
（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而可得B（4，4）、C（6，2），设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，D点的坐标为（7，0），作直线CD，根据勾股定理可得MC，CD，再根据勾股定理逆定理可得∠MCD=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：∵∠E=∠DOF，∠E=∠BOC，
∴∠DOF=∠BOC，
∵∠C=90°，
∴∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠DOF=90°，
∵∠OBC=∠A，
∴∠A+∠DOF=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AD，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBC=∠A，
∴tan∠OBC=tan∠A=，
∵OD=3，
∴AD=2OD=6，
设 ，则 ，
在 Rt 中， ，
解得 ，
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠DOF=∠BOC，根据三角形内角和定理可得∠OBC+∠BOC=90°，根据角之间的关系可得∠ADO=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正切定义可得tan∠OBC=tan∠A=，根据勾股定理可得OA，设 ，则 ，再根据正切定义建立方程，解方程可得 ，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：如图，连接AC，作CD⊥AB于D．
∵C（-4，0），P（6，0），
∴OC=4，OP=6．
∵∠AOC=90°，AC=，OC=4，
∴AO=2，
又∵∠AOP=90°，OP=6，
∴，
∵CD⊥AB，
∴∠CDP=90°=∠AOP．
又∵∠CPD=∠APO．
∴△CPD∽△APO，
.
.
，
又∵CD⊥AB，C是圆心，
∴AB=2AD=2
∴AB=AP；
（2）解：如图，连接BC并延长交圆C于点E，连接PE，则直线PE为圆C的切线．理由如下：
∵CD=AD=，∠CDA=90°，
∴∠CAD=∠ACD=45°．
又∵AC=BC．
∴∠CAD=∠CBA=45°．
∴∠ACB=90°，
∵AB=AP，EC=BC．
∴AC∥PE，
∴∠PEB=∠ACB=90°．
∴直径BE⊥PE．
∴PE为圆C的切线．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接AC，作CD⊥AB于D，根据两点间距离可得OC=4，OP=6，根据勾股定理可得AO，AP，再根据相似三角形判定定理可得△CPD∽△APO，则，代值计算可得CD，根据勾股定理可得AD，再根据垂径定理即可求出答案.
（2）连接BC并延长交圆C于点E，连接PE，则直线PE为圆C的切线，根据等腰直角三角形性质可得∠CAD=∠ACD=45°，根据等边对等角可得∠CAD=∠CBA=45°，则∠ACB=90°，根据直线平行判定定理可得AC∥PE，则∠PEB=∠ACB=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，AD∥BC，
∴∠CPD=∠BCE，
∵∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠D，
∴△BEC∽△CDP；
（2）解：如图1，作EG⊥BC于G，

∴∠BGE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC，
∴△FGE∽△FCD，
∴，
∵∠BEC=90°，点F是BC的中点，
∴EF=BF=CF=BC，
不妨设EF=BF=CF=1，则CD=BC=2，DF=，
∴，
∴EG=，FG=，
∴CG=CF-FG=1-=，
∵∠EGB=∠EGC=90°，
∴∠CEG+∠ECG=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠CEG+∠BEG=90°，
∴∠BEG=∠ECG，
∴△BGE∽△EGC，
；
（3）解：=或．
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；定点定长辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：如图2，
当∠BEF：∠CEF=1：2时，即∠CEF=60°，
∴∠DEC=120°，
以BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴建立坐标系，设BC=CD=6，E（x，y），
以BC的中点W为圆心，BC为直径作圆W，
∵∠BEC=90°，
∴点E在⊙W上，则W（-3，0），B（-6，0），
∴（x+3）2+y2=32①，
作等边三角形CDG，作△CDG的外接圆V，则点E⊙V上，
则V（，3），CV=2，
∴（x-）2+（y-3）2=（2）2②，
由①②得，
，，
如图3，
当∠BEF：∠CEF=2：1时，即∠BEF=60°，∠CEF=30°，则∠DEC=150°，
同上作⊙W，作等边三角形CDV，设BC=CD=2，则W（-1.0），B（-2，0），V（，1），
以V为圆心，2为半径作⊙V，则点E在⊙V上，
同理上可得：，
∴x2+y2=-2x，x=-，
∴
综上所述：或
【分析】（1）根据正方形性质可得∠D=90°，AD∥BC，则∠CPD=∠BCE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）作EG⊥BC于G，根据正方形性质可得∠BCD=90°，CD=BC，再根据相似三角形判定定理可得△FGE∽△FCD，则，根据直角三角形斜边上的中线性质可得EF=BF=CF=BC，设EF=BF=CF=1，则CD=BC=2，DF=，代入等式可得EG=，FG=，根据边之间的关系可得CG，根据角之间的关系可得∠BEG=∠ECG，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当∠BEF：∠CEF=1：2时，即∠CEF=60°，根据补角可得∠DEC=120°，以BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴建立坐标系，设BC=CD=6，E（x，y），以BC的中点W为圆心，BC为直径作圆W，根据点的坐标可得W（-3，0），B（-6，0），再根据勾股定理建立方程组，解方程组可得，，再根据边之间的关系即可求出答案；当∠BEF：∠CEF=2：1时，即∠BEF=60°，∠CEF=30°，则∠DEC=150°，同上作⊙W，作等边三角形CDV，设BC=CD=2，则W（-1.0），B（-2，0），V（，1），以V为圆心，2为半径作⊙V，则点E在⊙V上，再根据勾股定理建立方程组，解方程组可得x2+y2=-2x，x=-，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市宝安中学实验学校2025-2026学年九年级（下）周测数学试卷（2）
一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九下·宝安月考）下列计算结果正确的是（　　）
A．x4 x2=x8 B．x6÷（-x）3=-x3
C．（a5）2=a7 D．（-3x）2=6x2
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：x4 x2=x6，错误，不符合题意；
B：x6÷（-x）3=-x3，正确，符合题意；
C：（a5）2=a10，错误，不符合题意；
D：（-3x）2=9x2，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
2．（2026九下·宝安月考）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用配方法求解一元二次方程的方法求解即可。
3．（2026九下·宝安月考）下列命题中，假命题的是（　　）
A．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
B．各边对应成比例的两个多边形相似
C．反比例函数的图象既是轴对轴图形，也是中心对称图形
D．已知二次函数y=x2-1，当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；菱形的判定；图形的相似；二次函数y=ax²+bx+c的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形为真命题，不符合题意；
B：各边对应成比例且对应角相等的两个多边形相似，为假命题，符合题意；
C：反比例函数的图象既是轴对轴图形，也是中心对称图形为真命题，不符合题意；
D：已知二次函数y=x2-1，当x＜0时，y随x的增大而减小为真命题，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据菱形的判定定理，相似图形的定义，反比例函数图象的特征，二次函数性质，逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
4．（2026九下·宝安月考）因式分解：4a3-16a2+16a=　 　
【答案】4a(a-2)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 4a3-16a2+16a
=4a（a2-4a+4）
=4a（a-2）2；
故答案为：4a(a-2)2.
【分析】先提取公因式4a，再运用公式法进行因式分解即可求解.
5．（2026九下·宝安月考）四条线段a、b、c、d成比例，其中cm、cm、cm，则线段　 　cm．
【答案】9
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝3cm，c＝3cm，
∴d＝＝9，
则d＝9cm．
故答案为：9．
【分析】根据比例线段的性质可得ad＝cb，再将数据代入可得d＝＝9。
6．（2026九下·宝安月考）已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根
∴
解得：k=1
故答案为：1
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
7．（2026九下·宝安月考）如图，已知在平面直角坐标系中，OO的半径为2，点A是OO上一动点，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一动点，以AB为斜边作等腰直角△ABC，连结OC，则OC的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：以OB为底边向上作等腰直角三角形OBF，连接CF
∵△OBF，△ABC都是等腰直角三角形
∴∠OBF=∠ABC=45°，
∴，∠OBA=∠FBC
∴△OBA∽△FBC
∴
∴
∵OC≥OF-CF
∴当OF的值最小时，OC的值最小
∵△OBD是等腰直角三角形
∴当OB最小时，OF的值最小
∵点B在反比例函数y=的图象上
∴点B(2，2)时，OB的值最小，此时，OF=BF=2
∴OC的最小值为
故答案为：
【分析】以OB为底边向上作等腰直角三角形OBF，连接CF，根据等腰直角三角形性质可得∠OBF=∠ABC=45°，，再根据相似三角形判定定理可得△OBA∽△FBC，则，代值计算可得CF，再根据边之间的关系可得OC≥OF-CF，当OF的值最小时，OC的值最小，根据等腰直角三角形性质可得当OB最小时，OF的值最小，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得点B(2，2)时，OB的值最小，此时，OF=BF=2，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、计算题：本大题共3小题，共20分。
8．（2026九下·宝安月考）计算：（π-3020）0-2cos45°-+|1-|.
【答案】解：原式=1-2×-4+-1
=1--4+-1
=-4．
【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式性质，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
9．（2026九下·宝安月考）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若CE=BE，tan∠B=，⊙O的半径是3，求EC的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线
（2）解：∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，设EC=EB=x，
在Rt△ABC中，tan∠B=，AB=6，
∴AC=3，
在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，
∴x2=（6-x）2+32 ，
解得x=，
∴CE=．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；切线的判定；解直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得∠ADB=90°，根据三角形内角和定理可得∠B+∠BAD=90°，根据角之间的关系可得∠BAC=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得EC=EB，设EC=EB=x，根据正切定义可得AC，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2026九下·宝安月考）如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC=8，tan∠BDC=．
（1）求⊙O的直径；
（2）当DG=时，过G作GE∥AD，交BA的延长线于点E，证明GE与⊙O相切．
【答案】（1）解：∵AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，
∵BG与⊙O相切于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BDC+∠BAC=90°，∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BDC=∠ABC，
∵tan∠BDC=，
∴tan∠ABC=．
∵AC=8，
∴
∴，
∴BC=6，
∴由勾股定理得：AB=10，
∴⊙O的直径为10；
（2）解：过点D作DF⊥GE于F，过点O作OH⊥GE于H交AD于M，
GE∥AD，
∴∠G=∠BDC，
∴tan∠G=tan∠BDC=，
∴设DF=4x，FG=3x，
∵DG=，
∴由勾股定理得：（4x）2+（3x）2=，
解得：x=，
∴DF=4x=2，
∵GE∥AD，DF⊥GE，OH⊥GE，
∴DF=MH=2，OM⊥AM，
又∵O为AB中点，
∴OM=BC=3，
∴OH=5，
又∵⊙O的直径为10，从而半径r=5，
∴OH=r，
∴EG与⊙O相切．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得∠ACB=90°，再根据切线性质可得∠ABD=90°，根据角之间的关系可得∠BDC=∠ABC，根据正切定义可得tan∠ABC=，则，代值计算可得BC，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点D作DF⊥GE于F，过点O作OH⊥GE于H交AD于M，根据直线平行性质可得∠G=∠BDC，根据正切定义可得tan∠G=tan∠BDC=，设DF=4x，FG=3x，根据勾股定理建立方程，解方程可得DF，再根据直线平行性质可得DF=MH=2，OM⊥AM，根据线段中点可得OM，根据圆的性质可得OH，再根据切线判定定理即可求出答案.
四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11．（2026九下·宝安月考）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：
＝
＝
＝ ．
当 时，原式＝ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
12．（2026九下·宝安月考）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系 ，
（1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每千克樱桃的售价为 元，则 ，
由题意得： ，
解得 （不符题意，舍去），
答：每千克樱桃的售价应定为30元；
（2）设当每千克樱桃的售价为 元时，日销售利润为 元，
由题意得： ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润是1600元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克樱桃的售价为 元，则 ， 由题意列出方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设当每千克樱桃的售价为 元时，日销售利润为 元，由题意得： ，由二次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，当 时， 取得最大值。
13．（2026九下·宝安月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到最大，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
∴150(1+x)2=216
解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍）
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w
则w=(m-30)[600-5(m-40)]=-5(m-95)2+21125
∵-5<0，
∴当m＝95时，月销售利润最大；
为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
14．（2026九下·宝安月考）如图，在平面直角坐标系中画一个6×4的网格，一条圆弧经过格点A、B、C.
（1）在图中标出所在圆的圆心P的位置，圆心P的坐标为　 　；
（2）所在圆的半径为　 　，的长度为　 　；
（3）下列各点与点B的连线中，与所在圆相切的是　 　（填序号）.①点（0，4），②点（5，1），③点（5，2），④点（6，1）.
【答案】（1）（1，0）
（2）；
（3）③
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，即点P即为所求
由图可得，点P的坐标为(1，0)
故答案为；（1，0）
（2）由题意可得：
∴所在圆的半径为
∵AP2+PC2=AC2
∴∠APC=90°
∴的长度为
故答案为：；
（3）①如图，设点D(0，4)，分别连接BP，BD，DP
∵BD2=12+22=5，BP2=12+32=10，DP2=12+42=17
∴BD2+BP2=15≠ DP2
∴∠PBD≠90°，即PB与BD不垂直，
∴点（0，4)与点B的连线与AC所在圆不相切
∴点(0，4)不符合要求；
②如①图，设点E(5，1)，分别连接BP，BE，EP
∵BE2=22+32=13，BP2=12+32=10，EP2=12+42=17
∴BE2+BP2=23≠EP2
∴∠PBE ≠ 90°，即PB与BE不垂直
∴点(5，1)与点B的连线与AC所在圆不相切，
∴点(5，1)不符合要求；
③如①图，设点F(5，2)，分别连接BP，BF，FP
∵BF2=12+32=10，BP2=12+32=10，FP2=22+42=20
∴BF2+BP2=20=FP2
∴∠PBF=90°，即PB与BE垂直，
∴点(5，2)与点B的连线与AC所在圆相切，
∴点(5，2)符合要求；
④如①图，设点G(6，1)，分别连接BP，BG，GP
∵BG2=22+42=20，BP2=12+32=10，GP2=12+52=26
∴BG2+BP2=30≠GP2
∴∠PBG≠90°，即PB与BG不垂直
∴点（6，1)与点B的连线与AC所在圆不相切
∴点(6，1)不符合要求
【分析】（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，即点P即为所求.
（2）根据勾股定理可得AP，PC，AC，再根据勾股定理逆定理可得∠APC=90°，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据勾股定理及勾股定理，结合切线判定定理逐项进行判断即可求出答案.
15．（2026九下·宝安月考）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置并写出点M的坐标；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），求证直线CD是⊙M的切线．
【答案】（1）解：如图1，连接AB、BC，
作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，
由图形可知：这点的坐标是（2，0），
∴圆弧所在圆的圆心M点的坐标是（2，0）
（2）解：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而可得B（4，4）、C（6，2），
如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，D点的坐标为（7，0），作直线CD．
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC2=ME2+CE2=42+22=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD2=ED2+CE2=12+22=5，
∴MD2=MC2+CD2，
∴∠MCD=90°，
∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AB、BC，作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求.
（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而可得B（4，4）、C（6，2），设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，D点的坐标为（7，0），作直线CD，根据勾股定理可得MC，CD，再根据勾股定理逆定理可得∠MCD=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
16．（2026九下·宝安月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，∠OBC=∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E=∠BOC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC=，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵∠E=∠DOF，∠E=∠BOC，
∴∠DOF=∠BOC，
∵∠C=90°，
∴∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠DOF=90°，
∵∠OBC=∠A，
∴∠A+∠DOF=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AD，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBC=∠A，
∴tan∠OBC=tan∠A=，
∵OD=3，
∴AD=2OD=6，
设 ，则 ，
在 Rt 中， ，
解得 ，
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠DOF=∠BOC，根据三角形内角和定理可得∠OBC+∠BOC=90°，根据角之间的关系可得∠ADO=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正切定义可得tan∠OBC=tan∠A=，根据勾股定理可得OA，设 ，则 ，再根据正切定义建立方程，解方程可得 ，再根据勾股定理即可求出答案.
17．（2026九下·宝安月考）在平面直角坐标系中，以C（-4，0）为圆心，为半径画圆交y轴于点A，已知点P（6，0），射线PA交⊙C于点B.
（1）求证：AB=AP；
（2）只利用一把无刻度的直尺画出过点P，且与⊙C相切的一条直线，并说明理由.（保留画图痕迹）
【答案】（1）证明：如图，连接AC，作CD⊥AB于D．
∵C（-4，0），P（6，0），
∴OC=4，OP=6．
∵∠AOC=90°，AC=，OC=4，
∴AO=2，
又∵∠AOP=90°，OP=6，
∴，
∵CD⊥AB，
∴∠CDP=90°=∠AOP．
又∵∠CPD=∠APO．
∴△CPD∽△APO，
.
.
，
又∵CD⊥AB，C是圆心，
∴AB=2AD=2
∴AB=AP；
（2）解：如图，连接BC并延长交圆C于点E，连接PE，则直线PE为圆C的切线．理由如下：
∵CD=AD=，∠CDA=90°，
∴∠CAD=∠ACD=45°．
又∵AC=BC．
∴∠CAD=∠CBA=45°．
∴∠ACB=90°，
∵AB=AP，EC=BC．
∴AC∥PE，
∴∠PEB=∠ACB=90°．
∴直径BE⊥PE．
∴PE为圆C的切线．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接AC，作CD⊥AB于D，根据两点间距离可得OC=4，OP=6，根据勾股定理可得AO，AP，再根据相似三角形判定定理可得△CPD∽△APO，则，代值计算可得CD，根据勾股定理可得AD，再根据垂径定理即可求出答案.
（2）连接BC并延长交圆C于点E，连接PE，则直线PE为圆C的切线，根据等腰直角三角形性质可得∠CAD=∠ACD=45°，根据等边对等角可得∠CAD=∠CBA=45°，则∠ACB=90°，根据直线平行判定定理可得AC∥PE，则∠PEB=∠ACB=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
18．（2026九下·宝安月考）已知点E是正方形ABCD内部一点，且∠BEC=90°.

（1）【初步探究】
如图1，延长CE交AD于点P.求证：△BEC∽△CDP；
（2）【深入探究】
如图2，连接DE并延长交BC于点F，当点F是BC的中点时，求的值；
（3）【延伸探究】
连接DE并延长交BC于点F，DF把∠BEC分成两个角，当这两个角的度数之比为1：2时，请直接写出的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，AD∥BC，
∴∠CPD=∠BCE，
∵∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠D，
∴△BEC∽△CDP；
（2）解：如图1，作EG⊥BC于G，

∴∠BGE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC，
∴△FGE∽△FCD，
∴，
∵∠BEC=90°，点F是BC的中点，
∴EF=BF=CF=BC，
不妨设EF=BF=CF=1，则CD=BC=2，DF=，
∴，
∴EG=，FG=，
∴CG=CF-FG=1-=，
∵∠EGB=∠EGC=90°，
∴∠CEG+∠ECG=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠CEG+∠BEG=90°，
∴∠BEG=∠ECG，
∴△BGE∽△EGC，
；
（3）解：=或．
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；定点定长辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：如图2，
当∠BEF：∠CEF=1：2时，即∠CEF=60°，
∴∠DEC=120°，
以BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴建立坐标系，设BC=CD=6，E（x，y），
以BC的中点W为圆心，BC为直径作圆W，
∵∠BEC=90°，
∴点E在⊙W上，则W（-3，0），B（-6，0），
∴（x+3）2+y2=32①，
作等边三角形CDG，作△CDG的外接圆V，则点E⊙V上，
则V（，3），CV=2，
∴（x-）2+（y-3）2=（2）2②，
由①②得，
，，
如图3，
当∠BEF：∠CEF=2：1时，即∠BEF=60°，∠CEF=30°，则∠DEC=150°，
同上作⊙W，作等边三角形CDV，设BC=CD=2，则W（-1.0），B（-2，0），V（，1），
以V为圆心，2为半径作⊙V，则点E在⊙V上，
同理上可得：，
∴x2+y2=-2x，x=-，
∴
综上所述：或
【分析】（1）根据正方形性质可得∠D=90°，AD∥BC，则∠CPD=∠BCE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）作EG⊥BC于G，根据正方形性质可得∠BCD=90°，CD=BC，再根据相似三角形判定定理可得△FGE∽△FCD，则，根据直角三角形斜边上的中线性质可得EF=BF=CF=BC，设EF=BF=CF=1，则CD=BC=2，DF=，代入等式可得EG=，FG=，根据边之间的关系可得CG，根据角之间的关系可得∠BEG=∠ECG，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当∠BEF：∠CEF=1：2时，即∠CEF=60°，根据补角可得∠DEC=120°，以BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴建立坐标系，设BC=CD=6，E（x，y），以BC的中点W为圆心，BC为直径作圆W，根据点的坐标可得W（-3，0），B（-6，0），再根据勾股定理建立方程组，解方程组可得，，再根据边之间的关系即可求出答案；当∠BEF：∠CEF=2：1时，即∠BEF=60°，∠CEF=30°，则∠DEC=150°，同上作⊙W，作等边三角形CDV，设BC=CD=2，则W（-1.0），B（-2，0），V（，1），以V为圆心，2为半径作⊙V，则点E在⊙V上，再根据勾股定理建立方程组，解方程组可得x2+y2=-2x，x=-，再根据边之间的关系即可求出答案.
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