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广东省深圳市南山区南外教育集团2025-2026学年中考一模数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的。)
1． 沙头角鱼灯舞是深圳非物质文化遗产。下图是沙头角鱼灯舞中的某款鱼灯，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　)。
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
2． 2026年春节假期九天（2月15日至2月23日)，深圳全市共接待游客约1050万人次，较2025年春节假期（八天)增长17. 9%。数据1050万用科学记数法表示为（　　)。
A． B． C． D．
3． 下列运算正确的是（　　)。
A． B． C． D．
4． 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0. 560 0. 540 0. 530 0. 523 0. 528 0. 527 0. 528 0. 529 0. 530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（　　). （精确到0. 01)
A．0.53 B．0.52 C．0.51 D．0.50
5． 2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《·年年有熊》。从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（　　)。
A． B． C． D．
6．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
7． 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上（即甲是乙的两倍)；乙得甲九只羊，二家之数相当（相等)，两人都在暗思对方有多少只羊。设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　)。
A． B．
C． D．
8． “湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安区滨海文化公园内，是国内首个全天景回转式轿厢摩天轮，共设有28个进口太空舱，其示意图如图所示. 该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离约为71. 5m，摩天轮匀速旋转一圈用时约27min. 某轿厢从点A 出发，9min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB)长度为（　　)m. （结果保留π)。
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9． 若x=1是一元二次方程 的一个根，则m的值为　 　。
10． 如图，在菱形ABCD中， ∠BAD=2∠B， AC=2，则菱形ABCD的周长为　 　。
11． 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB， DC转动到∠BAE=60°， ∠ABC=45°时，点E在DC的延长线上，若AE=10cm，则AB=　 　 cm。
12． 如图，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数 的图象经过OB的中点 D且与边BC交于点 E，连接DE、OE，若△ODE 的面积为3，则k的值为　 　。
13． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， D为AB上一点，连接CD，以CD为直角边向右侧作等腰直角△CDE， ∠CDE=90°， CD=DE， CE与AB交于点F，连接BE，若BE=BF，则 的值为　 　。
三、解答题（本题共7小题，共61分)
14．计算：
15．以下是某同学计算 的部分过程：
第一步
第二步
第三步
=……
老师在批改这道题时，发现了其中的错误。
（1）上述解题过程中，从第　 　步开始出现错误；
（2）请你给出正确的解答过程并求出当a=-3时分式化简后的值.
16． 2026年深圳市深入实施学生体质健康、心理健康、美育浸润、劳动习惯养成计划，推进义务教育阶段学校落实课间10分钟变15分钟，确保中小学每天综合活动时间不少于2小时. 某中学充分利用综合活动时间举行铅球比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示.
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9. 0，8. 9，8. 3.
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数的数据如下.
选手统计量 甲 乙 丙
平均数 8. 9 b 9. 1
中位数 a 9. 2 9. 0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a=　 　， b=　 　；
（2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，选手　 　成绩的稳定性更好（填“甲”或“乙”)；
（3）该校准备推荐一名选手参加市教育局举办的春季运动会，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.
17．如图， AC是⊙O的直径，⊙O交△ABC的边AB于点 D，连接DC，已知∠DOC=2∠BCD， AC=6，CB=3。
（1）求证： CB是⊙O的切线。
（2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交DC于点 F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由。
②在①的条件下，求线段 OF的长。
18．根据以下素材，完成问题一和问题二。
背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相。寓意喜气洋洋，其乐融融。
图片
素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元。
素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900 元购进“乐融融”玩偶的数量相同。
素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个， “乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完。
问题一 “喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个
问题二 若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值.
19．综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计
【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图 19-1)。喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方 0. 5米处。喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内。
【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图19-2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上)。经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为（2，1. 5)，之后落回水面上的C点。
（1）【建立模型】
求该抛物线的函数表达式；
（2）【数据计算】
求音乐喷泉水池的半径OC的长；
（3）【优化设计】
公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好。
①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点 B'的坐标应该如何改变 设B'（m，n)，请求出 m和n的函数关系式。
②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度)成正比。原方案的最高点高度为1. 5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同。请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍 根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议
20．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。
（1）【理解定义】如图1，在△ABC中， D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD （填“是”或“不是”) 的“奇妙分割线”.
（2）【运用定义】
如图2，在平行四边形ABCD中， 连接AC，若 E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F。求证：线段CF是 的“奇妙分割线”。
（3）【拓展提升】
如图3，在△ABC中， 点 D 是线段 BC上的动点（点D不与B、C重合)，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE的“奇妙分割线”时，求线段BD的长。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
鱼灯的三种视图都不相同
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1050万=10500000用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示出a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项法则，单项式除以单项式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可得：
盖面朝上的频率稳定在0.53附近
∴“盖面朝上”的概率约为0.53
故答案为：A
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选到《飞驰人生3》的概率是
故答案为：C
【分析】根据概率公式即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： ∵AO=CO，BO=DO，
∴△AOB△COD(SAS)
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得到，再结合AO=CO，BO=DO，即可利用SAS判定两个三角形全等，解答即可.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意建立方程组即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵最高点离水面平台MN的距离为128m，圆心O到MN的距离为71.5m
∴摩天轮的半径为128-71.5=56.5m
∵摩天轮匀速旋转一圈用时约27min. 某轿厢从点A 出发，9min后到达点B
∴
∴该轿厢所经过的路径长度为m
故答案为：A
【分析】由题意可得摩天轮的半径为128-71.5=56.5m，根据旋转性质可得，再根据弧长公式即可求出答案.
9．【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程可得：
12-m+3=0
解得：m=4
故答案为：4
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
10．【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形
∴∠B+∠BAD=180°，AB=BC
∵ ∠BAD=2∠B
∴∠B+2∠B=180°
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC=2
∴菱形ABCD的周长为4AB=8
故答案为：8
【分析】根据菱形性质可得∠B+∠BAD=180°，AB=BC，再根据角之间的关系可得∠B=60°，再根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则AB=BC=AC=2，再根据菱形周长即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F
∴∠AFE=∠BGE=90°
∵∠BAE=60°
∴∠AEF=90°-∠BAE=30°
∵AE=10cm
∴
∵∠ABC=45°
∴∠BEF=90°-∠ABC=45°
∴∠ABC=∠BEF=45°
∴
∴
故答案为：
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据直角三角形两锐角互余可得∠AEF，再根据含30°角的直角三角形性质可得AF，EF，根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设B(a，b)，则
∵比例函数 的图象经过OB的中点 D且与边BC交于点E，四边形OABC为矩形
∴
∴ab=4k
∵△ODE的面积为3
∴△BOE的面积为6
∴
解得：|k|=4
由图象可得，k<0
∴k=-4
故答案为：-4
【分析】设B(a，b)，则，根据反比例函数k的几何意义可得，则ab=4k，由题意可得△BOE的面积为6，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°， AC=BC， ∠CDE=90°， CD=DE
∴∠A=∠CBA=45°，∠DCE=∠DEC=45°
∴∠DEF=∠CBF
∵∠DFE=∠CFB
∴△DFE∽△CFB
∴，即
∵∠DFC=∠EFB
∴△DCF∽△EBF
∴∠EBF=∠DCF=45°
∵BE=BF
∴∠BEF=∠BFE=67.5°
∴∠BCE=∠BFE-∠CBA=22.5°
∴∠BCD=∠BCE+∠DCE=67.5°
∴∠BDC=180°-∠ABC-∠BCD=67.5°=∠BCD
∴BD=BC
过F作FG⊥BF交BC于点G，则∠BFG=90°
∵∠ABC=45°
∴∠BGF=45°
∴BF=GF
∴∠CFG=∠BGF-∠BCE=22.5°=∠BCE
∴FG=CG
∴BE=BF=FG=CG
设BE=BF=FG=CF=a，则，
∴
∴
故答案为：
【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠A=∠CBA=45°，∠DCE=∠DEC=45°，则∠DEF=∠CBF，再根据相似三角形判定定理可得△DFE∽△CFB，则，即，再根据相似三角形判定定理可得△DCF∽△EBF，则∠EBF=∠DCF=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BEF=∠BFE=67.5°，根据角之间的关系可得∠BCE，∠BCD，根据三角形内角和定理可得∠BDC，则BD=BC，过F作FG⊥BF交BC于点G，则∠BFG=90°，根据等腰直角三角形性质可得BF=GF，根据边之间的关系可得BE=BF=FG=CG，设BE=BF=FG=CF=a，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：原式
=2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）二
（2）解：原式
当a=-3时 原式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将a值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）9.1；9.1
（2）乙
（3）解：推荐乙，理由如下：
因为乙和丙的平均数相同且比甲高，但乙的中位数比丙高，方差比丙小，乙成绩的稳定性更好，所以推荐乙.
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）将甲选手的得分从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4
∴中位数a=9.1
∴
故答案为：9.1；9.1
【分析】（1）根据中位数，平均数的定义即可求出答案.
（2）由统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，则乙成绩的稳定性更好.
（3）根据各统计图的意义进行分析即可求出答案.
17．【答案】（1）证明： ∵OA=OD
∴∠OAD=∠ADO
∵∠DOC 是△ADO 的外角
∴∠DOC =∠OAD+∠ADO=2∠OAD
∵∠DOC=2∠BCD
∴∠OAD=∠BCD
∵AC是⊙O 的直径
∴∠ADC=90°
∴∠OAD+∠DCA=90°
∴∠BCD+∠DCA=90°
∴CB⊥AC
又∵AC是⊙O 的直径
∴CB是⊙O 的切线
（2）解：①如图，射线OF 即为所求；
方法1：作∠DOC 的角平分线
方法2：作线段DC 的垂直平分线
②∵AC=6，CB=3， ∠ACB=90°， ∴AB= 2+62=3
解法1： ∵OC=OD，OF平分∠DOC，
∴OF⊥DC，∠COF= ∠DOC
∴∠OFC=90°
∵∠DOC=2∠OAB
∴∠FOC=∠OAB
∵CD⊥AC
∴∠ACD=90°=∠OFC
∴△OFC∽△ACD
即
解法2： ∵∠A=∠A， ∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB
∵OC=OD，OF平分∠DOC，
∴DF=CF
解法3： ∵OC=OD，OF平分∠DOC，
∴∠COF= ∠DOC=∠A， ∠OFC=90°
∴cos∠COF=cos∠A，即
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠OAD=∠ADO，再根据三角形外角性质可得∠DOC =∠OAD+∠ADO=2∠OAD，根据角之间的关系可得∠OAD=∠BCD，再根据圆周角定理的推论可得 ∠ADC=90°，根据角之间的关系可得∠BCD+∠DCA=90°，则CB⊥AC，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2） ①根据角平分线定义作图即可.
②根据角平分线定义，结合相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．【答案】解：问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，
则
解得： x=70，
经检验x=70是分式方程的解，且符合题意
x+20=70+20=90，
答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元。
问题二：W= （80-70) a+（105-90)（200-a) =-5a+3000
根据题意可得： 70a+90（200-a)≤16800
解不等式得： a≥60，
∵k=-5<0，
∴W随着a的增大而减小，
∴当a=60时，才能使总利润最大，
最少费用是W=-5a+3000=-5×60+3000=2700（元)，
此时200-a=200-60=140（套)，
答：“喜洋洋”玩偶买了60个，“乐融融”玩偶买了140个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为2700元。
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
问题二：根据题意建立不等式，解不等式求出a的取值范围，再求出关于w的函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：由题意，抛物线的顶点为 B（2，1. 5) ， A（0. 0. 5)
设抛物线解析式为
将A（0. 0. 5)代入解析式，得解得a=-0. 25
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：令y=0，则
解得 （舍)
即音乐喷泉的水池半径为（）m
（3）解：①设新最高点 B'（m，n)。
设新抛物线解析式为 将A（0， 0. 5) ，C（5，0)
代入得
化简得
②由题意得m=2， n=0. 9
∴ 功率比为 0. 9/1. 5 =0. 6 即新方案功率是原方案的0. 6倍。
建议：虽然新方案的落点更远（5米>4. 45米)，但所需的功率反而降低了（因为喷得更低，能量更多用于水平推进)。建议公园管理者采用新方案，不仅视觉效果更开阔，而且更节能环保。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为 ，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案.
（3）①设新最高点 B'（m，n)，设新抛物线解析式为 ，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
②由题意得m=2， n=0. 9 ，求出功率比，再结合题意分析即可求出答案.
20．【答案】（1）是
（2）解：∵平行四边形ABCD
∴AD//BC， AB//CD
∵AD//BC
∴∠ADF=∠CEF， ∠DAF=∠ECF
∴△ADF~△CEF
∵EC=3， AD=BC=5
是等腰三角形。
∴CF是△DCE的“奇妙分割线”。
（3）解：由翻折可知， BD=DE， AE=AB=5， ∠ADB=∠ADE.
∵DE是△BCE的“奇妙分割线”
∴△DCE为直角三角形
①当∠EDC=90°时， ∠BDE=90°，
∵∠ADB+∠ADE+∠BDE=360°
∴∠ADB=∠ADE=135°
∴∠ADC=45°
如图3， 过A作AF⊥BC交BC 的延长线于F，则∠AFB=90°
∵∠ADC=45°
∴DF=AF=3， BD=BF=CF=1
②当∠DCE=90°时，如图4，作AF⊥BC交BC的延长线于F，过E作 交AF的延长线于G ，
由①可知，AF=3，BF=4，CF=1=EG，
设BD=x=DE， 则CD=3-x， 在Rt△DCE中，
即
解得：
③当 时，结论不成立，舍。
综上，BD的长为1或
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵AD=BD
∴∠BAD=∠B=30°
∴∠DAC=90°，即△ADC为直角三角形
∵AD=BD
∴△ABD为等腰三角形
∴AD是△ADC的“奇妙分割线”
故答案为：是
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B=∠C=30°，根据等边对等角可得∠BAD=∠B=30°，则∠DAC=90°，即△ADC为直角三角形，再根据等腰三角形判定定理可得△ABD为等腰三角形，再根据奇妙分割线定义即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得AD//BC， AB//CD，根据勾股定理可得AD，再根据直线平行性质可得∠ADF=∠CEF， ∠DAF=∠ECF，根据相似三角形判定定理可得△ADF~△CEF，则，代值计算可得AF，CF，根据勾股定理可得DF，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据奇妙分割线定义即可求出答案.
（3）由翻折可知， BD=DE， AE=AB=5， ∠ADB=∠ADE，根据奇妙分割线定义可得△DCE为直角三角形，分情况讨论：①当∠EDC=90°时， 根据角之间的关系可得∠ADC，过A作AF⊥BC交BC 的延长线于F，则∠AFB=90° ，根据正弦定义可得AF，BF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当∠DCE=90°时，作AF⊥BC交BC 的延长线于F，过E作 交AF的延长线于G，由①可知，AF=3，BF=4，CF=1=EG，根据勾股定理可得AG，根据边之间的关系可得CE，设BD=x=DE，则CD=3-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③当 时，结论不成立，舍，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山区南外教育集团2025-2026学年中考一模数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的。)
1． 沙头角鱼灯舞是深圳非物质文化遗产。下图是沙头角鱼灯舞中的某款鱼灯，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　)。
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
鱼灯的三种视图都不相同
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2． 2026年春节假期九天（2月15日至2月23日)，深圳全市共接待游客约1050万人次，较2025年春节假期（八天)增长17. 9%。数据1050万用科学记数法表示为（　　)。
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1050万=10500000用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示出a与10的n次幂相乘的形式.
3． 下列运算正确的是（　　)。
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项法则，单项式除以单项式逐项进行判断即可求出答案.
4． 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0. 560 0. 540 0. 530 0. 523 0. 528 0. 527 0. 528 0. 529 0. 530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（　　). （精确到0. 01)
A．0.53 B．0.52 C．0.51 D．0.50
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可得：
盖面朝上的频率稳定在0.53附近
∴“盖面朝上”的概率约为0.53
故答案为：A
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
5． 2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《·年年有熊》。从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（　　)。
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选到《飞驰人生3》的概率是
故答案为：C
【分析】根据概率公式即可求出答案.
6．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： ∵AO=CO，BO=DO，
∴△AOB△COD(SAS)
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得到，再结合AO=CO，BO=DO，即可利用SAS判定两个三角形全等，解答即可.
7． 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上（即甲是乙的两倍)；乙得甲九只羊，二家之数相当（相等)，两人都在暗思对方有多少只羊。设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　)。
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意建立方程组即可求出答案.
8． “湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安区滨海文化公园内，是国内首个全天景回转式轿厢摩天轮，共设有28个进口太空舱，其示意图如图所示. 该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离约为71. 5m，摩天轮匀速旋转一圈用时约27min. 某轿厢从点A 出发，9min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB)长度为（　　)m. （结果保留π)。
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵最高点离水面平台MN的距离为128m，圆心O到MN的距离为71.5m
∴摩天轮的半径为128-71.5=56.5m
∵摩天轮匀速旋转一圈用时约27min. 某轿厢从点A 出发，9min后到达点B
∴
∴该轿厢所经过的路径长度为m
故答案为：A
【分析】由题意可得摩天轮的半径为128-71.5=56.5m，根据旋转性质可得，再根据弧长公式即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9． 若x=1是一元二次方程 的一个根，则m的值为　 　。
【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程可得：
12-m+3=0
解得：m=4
故答案为：4
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
10． 如图，在菱形ABCD中， ∠BAD=2∠B， AC=2，则菱形ABCD的周长为　 　。
【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形
∴∠B+∠BAD=180°，AB=BC
∵ ∠BAD=2∠B
∴∠B+2∠B=180°
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC=2
∴菱形ABCD的周长为4AB=8
故答案为：8
【分析】根据菱形性质可得∠B+∠BAD=180°，AB=BC，再根据角之间的关系可得∠B=60°，再根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则AB=BC=AC=2，再根据菱形周长即可求出答案.
11． 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB， DC转动到∠BAE=60°， ∠ABC=45°时，点E在DC的延长线上，若AE=10cm，则AB=　 　 cm。
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F
∴∠AFE=∠BGE=90°
∵∠BAE=60°
∴∠AEF=90°-∠BAE=30°
∵AE=10cm
∴
∵∠ABC=45°
∴∠BEF=90°-∠ABC=45°
∴∠ABC=∠BEF=45°
∴
∴
故答案为：
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据直角三角形两锐角互余可得∠AEF，再根据含30°角的直角三角形性质可得AF，EF，根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
12． 如图，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数 的图象经过OB的中点 D且与边BC交于点 E，连接DE、OE，若△ODE 的面积为3，则k的值为　 　。
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设B(a，b)，则
∵比例函数 的图象经过OB的中点 D且与边BC交于点E，四边形OABC为矩形
∴
∴ab=4k
∵△ODE的面积为3
∴△BOE的面积为6
∴
解得：|k|=4
由图象可得，k<0
∴k=-4
故答案为：-4
【分析】设B(a，b)，则，根据反比例函数k的几何意义可得，则ab=4k，由题意可得△BOE的面积为6，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， D为AB上一点，连接CD，以CD为直角边向右侧作等腰直角△CDE， ∠CDE=90°， CD=DE， CE与AB交于点F，连接BE，若BE=BF，则 的值为　 　。
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°， AC=BC， ∠CDE=90°， CD=DE
∴∠A=∠CBA=45°，∠DCE=∠DEC=45°
∴∠DEF=∠CBF
∵∠DFE=∠CFB
∴△DFE∽△CFB
∴，即
∵∠DFC=∠EFB
∴△DCF∽△EBF
∴∠EBF=∠DCF=45°
∵BE=BF
∴∠BEF=∠BFE=67.5°
∴∠BCE=∠BFE-∠CBA=22.5°
∴∠BCD=∠BCE+∠DCE=67.5°
∴∠BDC=180°-∠ABC-∠BCD=67.5°=∠BCD
∴BD=BC
过F作FG⊥BF交BC于点G，则∠BFG=90°
∵∠ABC=45°
∴∠BGF=45°
∴BF=GF
∴∠CFG=∠BGF-∠BCE=22.5°=∠BCE
∴FG=CG
∴BE=BF=FG=CG
设BE=BF=FG=CF=a，则，
∴
∴
故答案为：
【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠A=∠CBA=45°，∠DCE=∠DEC=45°，则∠DEF=∠CBF，再根据相似三角形判定定理可得△DFE∽△CFB，则，即，再根据相似三角形判定定理可得△DCF∽△EBF，则∠EBF=∠DCF=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BEF=∠BFE=67.5°，根据角之间的关系可得∠BCE，∠BCD，根据三角形内角和定理可得∠BDC，则BD=BC，过F作FG⊥BF交BC于点G，则∠BFG=90°，根据等腰直角三角形性质可得BF=GF，根据边之间的关系可得BE=BF=FG=CG，设BE=BF=FG=CF=a，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本题共7小题，共61分)
14．计算：
【答案】解：原式
=2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．以下是某同学计算 的部分过程：
第一步
第二步
第三步
=……
老师在批改这道题时，发现了其中的错误。
（1）上述解题过程中，从第　 　步开始出现错误；
（2）请你给出正确的解答过程并求出当a=-3时分式化简后的值.
【答案】（1）二
（2）解：原式
当a=-3时 原式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将a值代入即可求出答案.
16． 2026年深圳市深入实施学生体质健康、心理健康、美育浸润、劳动习惯养成计划，推进义务教育阶段学校落实课间10分钟变15分钟，确保中小学每天综合活动时间不少于2小时. 某中学充分利用综合活动时间举行铅球比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示.
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9. 0，8. 9，8. 3.
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数的数据如下.
选手统计量 甲 乙 丙
平均数 8. 9 b 9. 1
中位数 a 9. 2 9. 0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a=　 　， b=　 　；
（2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，选手　 　成绩的稳定性更好（填“甲”或“乙”)；
（3）该校准备推荐一名选手参加市教育局举办的春季运动会，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.
【答案】（1）9.1；9.1
（2）乙
（3）解：推荐乙，理由如下：
因为乙和丙的平均数相同且比甲高，但乙的中位数比丙高，方差比丙小，乙成绩的稳定性更好，所以推荐乙.
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）将甲选手的得分从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4
∴中位数a=9.1
∴
故答案为：9.1；9.1
【分析】（1）根据中位数，平均数的定义即可求出答案.
（2）由统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，则乙成绩的稳定性更好.
（3）根据各统计图的意义进行分析即可求出答案.
17．如图， AC是⊙O的直径，⊙O交△ABC的边AB于点 D，连接DC，已知∠DOC=2∠BCD， AC=6，CB=3。
（1）求证： CB是⊙O的切线。
（2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交DC于点 F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由。
②在①的条件下，求线段 OF的长。
【答案】（1）证明： ∵OA=OD
∴∠OAD=∠ADO
∵∠DOC 是△ADO 的外角
∴∠DOC =∠OAD+∠ADO=2∠OAD
∵∠DOC=2∠BCD
∴∠OAD=∠BCD
∵AC是⊙O 的直径
∴∠ADC=90°
∴∠OAD+∠DCA=90°
∴∠BCD+∠DCA=90°
∴CB⊥AC
又∵AC是⊙O 的直径
∴CB是⊙O 的切线
（2）解：①如图，射线OF 即为所求；
方法1：作∠DOC 的角平分线
方法2：作线段DC 的垂直平分线
②∵AC=6，CB=3， ∠ACB=90°， ∴AB= 2+62=3
解法1： ∵OC=OD，OF平分∠DOC，
∴OF⊥DC，∠COF= ∠DOC
∴∠OFC=90°
∵∠DOC=2∠OAB
∴∠FOC=∠OAB
∵CD⊥AC
∴∠ACD=90°=∠OFC
∴△OFC∽△ACD
即
解法2： ∵∠A=∠A， ∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB
∵OC=OD，OF平分∠DOC，
∴DF=CF
解法3： ∵OC=OD，OF平分∠DOC，
∴∠COF= ∠DOC=∠A， ∠OFC=90°
∴cos∠COF=cos∠A，即
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠OAD=∠ADO，再根据三角形外角性质可得∠DOC =∠OAD+∠ADO=2∠OAD，根据角之间的关系可得∠OAD=∠BCD，再根据圆周角定理的推论可得 ∠ADC=90°，根据角之间的关系可得∠BCD+∠DCA=90°，则CB⊥AC，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2） ①根据角平分线定义作图即可.
②根据角平分线定义，结合相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．根据以下素材，完成问题一和问题二。
背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相。寓意喜气洋洋，其乐融融。
图片
素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元。
素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900 元购进“乐融融”玩偶的数量相同。
素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个， “乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完。
问题一 “喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个
问题二 若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值.
【答案】解：问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，
则
解得： x=70，
经检验x=70是分式方程的解，且符合题意
x+20=70+20=90，
答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元。
问题二：W= （80-70) a+（105-90)（200-a) =-5a+3000
根据题意可得： 70a+90（200-a)≤16800
解不等式得： a≥60，
∵k=-5<0，
∴W随着a的增大而减小，
∴当a=60时，才能使总利润最大，
最少费用是W=-5a+3000=-5×60+3000=2700（元)，
此时200-a=200-60=140（套)，
答：“喜洋洋”玩偶买了60个，“乐融融”玩偶买了140个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为2700元。
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
问题二：根据题意建立不等式，解不等式求出a的取值范围，再求出关于w的函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计
【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图 19-1)。喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方 0. 5米处。喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内。
【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图19-2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上)。经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为（2，1. 5)，之后落回水面上的C点。
（1）【建立模型】
求该抛物线的函数表达式；
（2）【数据计算】
求音乐喷泉水池的半径OC的长；
（3）【优化设计】
公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好。
①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点 B'的坐标应该如何改变 设B'（m，n)，请求出 m和n的函数关系式。
②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度)成正比。原方案的最高点高度为1. 5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同。请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍 根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议
【答案】（1）解：由题意，抛物线的顶点为 B（2，1. 5) ， A（0. 0. 5)
设抛物线解析式为
将A（0. 0. 5)代入解析式，得解得a=-0. 25
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：令y=0，则
解得 （舍)
即音乐喷泉的水池半径为（）m
（3）解：①设新最高点 B'（m，n)。
设新抛物线解析式为 将A（0， 0. 5) ，C（5，0)
代入得
化简得
②由题意得m=2， n=0. 9
∴ 功率比为 0. 9/1. 5 =0. 6 即新方案功率是原方案的0. 6倍。
建议：虽然新方案的落点更远（5米>4. 45米)，但所需的功率反而降低了（因为喷得更低，能量更多用于水平推进)。建议公园管理者采用新方案，不仅视觉效果更开阔，而且更节能环保。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为 ，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案.
（3）①设新最高点 B'（m，n)，设新抛物线解析式为 ，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
②由题意得m=2， n=0. 9 ，求出功率比，再结合题意分析即可求出答案.
20．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。
（1）【理解定义】如图1，在△ABC中， D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD （填“是”或“不是”) 的“奇妙分割线”.
（2）【运用定义】
如图2，在平行四边形ABCD中， 连接AC，若 E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F。求证：线段CF是 的“奇妙分割线”。
（3）【拓展提升】
如图3，在△ABC中， 点 D 是线段 BC上的动点（点D不与B、C重合)，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE的“奇妙分割线”时，求线段BD的长。
【答案】（1）是
（2）解：∵平行四边形ABCD
∴AD//BC， AB//CD
∵AD//BC
∴∠ADF=∠CEF， ∠DAF=∠ECF
∴△ADF~△CEF
∵EC=3， AD=BC=5
是等腰三角形。
∴CF是△DCE的“奇妙分割线”。
（3）解：由翻折可知， BD=DE， AE=AB=5， ∠ADB=∠ADE.
∵DE是△BCE的“奇妙分割线”
∴△DCE为直角三角形
①当∠EDC=90°时， ∠BDE=90°，
∵∠ADB+∠ADE+∠BDE=360°
∴∠ADB=∠ADE=135°
∴∠ADC=45°
如图3， 过A作AF⊥BC交BC 的延长线于F，则∠AFB=90°
∵∠ADC=45°
∴DF=AF=3， BD=BF=CF=1
②当∠DCE=90°时，如图4，作AF⊥BC交BC的延长线于F，过E作 交AF的延长线于G ，
由①可知，AF=3，BF=4，CF=1=EG，
设BD=x=DE， 则CD=3-x， 在Rt△DCE中，
即
解得：
③当 时，结论不成立，舍。
综上，BD的长为1或
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵AD=BD
∴∠BAD=∠B=30°
∴∠DAC=90°，即△ADC为直角三角形
∵AD=BD
∴△ABD为等腰三角形
∴AD是△ADC的“奇妙分割线”
故答案为：是
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B=∠C=30°，根据等边对等角可得∠BAD=∠B=30°，则∠DAC=90°，即△ADC为直角三角形，再根据等腰三角形判定定理可得△ABD为等腰三角形，再根据奇妙分割线定义即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得AD//BC， AB//CD，根据勾股定理可得AD，再根据直线平行性质可得∠ADF=∠CEF， ∠DAF=∠ECF，根据相似三角形判定定理可得△ADF~△CEF，则，代值计算可得AF，CF，根据勾股定理可得DF，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据奇妙分割线定义即可求出答案.
（3）由翻折可知， BD=DE， AE=AB=5， ∠ADB=∠ADE，根据奇妙分割线定义可得△DCE为直角三角形，分情况讨论：①当∠EDC=90°时， 根据角之间的关系可得∠ADC，过A作AF⊥BC交BC 的延长线于F，则∠AFB=90° ，根据正弦定义可得AF，BF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当∠DCE=90°时，作AF⊥BC交BC 的延长线于F，过E作 交AF的延长线于G，由①可知，AF=3，BF=4，CF=1=EG，根据勾股定理可得AG，根据边之间的关系可得CE，设BD=x=DE，则CD=3-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③当 时，结论不成立，舍，即可求出答案.
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