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广西贵港市平南县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2025七下·平南期中）下列实数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025七下·平南期中）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·平南期中）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6
C．（2a）3＝6a3 D．（a2）3＝a6
4．（2025七下·平南期中）下列各数中，没有平方根的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·平南期中）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·平南期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·平南期中）若，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·平南期中）若，，则的值是（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．（2025七下·平南期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025七下·平南期中）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为．如果3万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·平南期中）如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025七下·平南期中）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是(　　)
A．②③④ B．①②④ C．①③④⑤ D．①③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·平南期中）计算：　 　．
14．（2025七下·平南期中）比较大小：　 　．（填“>”“=”或“<”）
15．（2025七下·平南期中）不等式的最小整数解为　 　．
16．（2025七下·平南期中）若，是从0，1，2，三个数中取值的一列数．已知，，则在，，，中取值为2的个数为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·平南期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·平南期中）求不等式的正整数解．
19．（2025七下·平南期中）已知，，求的值．
20．（2025七下·平南期中） 已知一个正数m的两个平方根是和，求m的值．
21．（2025七下·平南期中）（一）【知识探究】求一个图形的面积，通过采用不同的计算方法可以得到一些数学等式，利用这些等式可以方便地解决某些数学问题．
①如图1，两个正方形、两个大小和形状相同的长方形拼成一个大正方形．如果能用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，那么可以得到的数学等式是______；
②如图2，三边长分别为的四个直角三角形（为直角边）和一个小正方形拼成一个大正方形，利用两种不同的方法表示大正方形的面积可得一个数学等式为：．
（二）【知识应用】当直角三角形两直角边满足，时，利用①②中得到的数学等式，求斜边的值．
22．（2025七下·平南期中）下面是一位同学的学习与发现．请认真阅读，解答问题．
【发现问题】该同学把两个完全平方公式，相减得到．发现，，中任意知道两个式子的值，就能求出第三个式子的值．
【拓展应用】请利用以上该同学的发现，解决如下问题：
（1）若一个长方形的周长为12，面积为5，长方形的长比宽多了多少？（长大于宽）
（2）已知，利用该同学的发现，求出的值．
23．（2025七下·平南期中）为了让学生体验生活，学校计划把篮球的采购和销售的任务交给学生会去执行．学生会经过调查了解到：若采购3个排球和2个篮球需要220元；若采购1个排球和4个篮球需要290元．
（1）求购买1个篮球和1个排球的价格．
（2）学生会打算用2550元去采购篮球和排球共50个，最多可采购多少个篮球？
（3）在（2）的条件下，若学生会以排球58元/个和篮球98元/个的价格销售给大家，能否实现利润不少于1540元的目标？如果能，请给出相应的采购方案；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴最小的数是.
故答案为：A．
【分析】根据正实数比较大小的方法分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的数据进行比较即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：∵不等式“”可以表示“不超过3的数”，
∴，
∴被墨迹覆盖的不等号是：，
故答案为：A
【分析】不超过表示小于或等于，结合不等式“”可以表示“不超过3的数”可得答案．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，故A错误.
B、a2 a3＝a2＋3＝a5，故B错误.
C、，故C错误.
D、(a2)3＝a2×3＝a6，故D正确.
故答案为：．
【分析】根据a2与a3不是同类项，不能合并，a2 a3＝a2＋3＝a5，，(a2)3＝a2×3＝a6，即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵负数没有平方根，
∴-1没有平方根，
故答案为：．
【分析】根据负数没有平方根即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：依题意得：，，
，、异号，且．
A，D错误，不符合题意；
；
C正确，符合题意；
∵；
B错误，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据a和b在数轴上的位置，可知，，可知、异号，，且，然后再根据有理数加减法法则，可得的符号；由，根据不等式的基本性质：不等式两边同时减去b，即可判断。
6．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】解：A.，符合完全平方公式，不符合平方差公式，故Ａ错误.
B.，符合完全平方公式，不符合平方差公式，故Ｂ错误.
C.，第一个括号为和的和，第二个括号为和的差．由于两括号中的变量不同（前者含，后者含），无法构成同一对数的和与差，故Ｃ错误.
D.为和的和乘以和的差，符合平方差公式，故Ｄ正确.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式的结构特点，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】求算术平方根；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
又，
，
当，时，，
当，时，，
∴的值是为或.
故答案为：B．
【分析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再分类讨论代入计算即可得答案.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
．
在数轴上表示为：
，
故答案为：B．
【分析】
先解一元一次不等式得，将不等式的解集在数轴上表示出来小于向左，x取得到2则x在该点是实心的，即可解答．
10．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：.
∴总污染面积用科学记数法表示为.
故答案为：C．
【分析】根据题目已知条件求出总污染面积，科学记数法的形式为，确定a、n的值，即可得答案.
11．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】如图，
设小正方形的边长为，根据图形得：，解得.∴小正方形的边长为：，
∴
∴图2中阴影部分的面积为.
故答案为：A．
【分析】设小正方形的边长为，根据题目情境，结合图形得：，即可得小正方形的边长为：，进一步即可得阴影部分的面积为，计算即可得答案.
12．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确；
对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确；
对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确；
对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确；
对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2；
当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1；
a=0时，[1+a]+[1-a]=0；
当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1．
故[1+a]-[1-a]的值为-1或0或1或-2，故⑤不正确．
综上所述，正确的是①③④
故答案为：D．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解并逐项分析判断即可.
13．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先计算中，进一步根据同底数幂的运算法则计算即可得答案.
14．【答案】<
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由于两数分母相同，故比较两个分子的大小即可，从而用估算无理数大小的方法及不等式性质求出的范围，即可比较得出答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∴不等式的最小整数解为，
故答案为：
【分析】先求出不等式的解集，再结合题意求出最小整数解即可求出答案.
16．【答案】500
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，，，是从0，1，2，三个数中取的一列数，且，
∵，，，
，，，中为1的个数是，
，
的个数是，
故答案为：500．
【分析】根据题意得到，，，中为1的个数是，然后结合求解即可得答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可.
（2）根据完全平方公式计算即可.
（1）解：
；
（2）．
18．【答案】解：，
，
，
，
，
，
该不等式的正整数解：2，1．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】根据一元一次不等式的步骤解出，再求正整数解即可.
19．【答案】解：∵，，
∴
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】把变形得，把，代入计算即可.
20．【答案】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解一元一次方程；平方根的性质
【解析】【分析】根据平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数）建立方程求出a的值，进而求出m的值．
21．【答案】解：（一）动手探究：②如图，
观察图形发现：
∴，
∴，
∴，
（二）知识应用：
，，
，
，
∴斜边的值为5.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（一）动手探究：①如图，
方法一：如图1，根据图形发现，，
方法二：如图2，根据图形发现，
由面积相等得，
故答案为：.
【分析】（一）动手探究：①观察图形1发现，，观察图形2发现，再根据面积相等得即可.
②观察图形发现：，代入数据即可得.
（二）把，代入即可得答案.
22．【答案】（1）解：设长方形的长为、宽为，则．根据题意得：
，，
．
，
．
．
长方形的长比宽多4.
（2）解：，
．
．
．
，解得或1．
∴的值为5或1.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）设长方形的长为、宽为，则，根据长方形的周长为12，面积为5即可得，，进一步推理得，即可得长方形的长比宽多4.
（2）把根据完全平方差公式变形得到，进而得，解出即可得答案.
（1）设长方形的长为、宽为，则．
根据题意，得，，
．
，
．
．
长方形的长比宽多4；
（2），
．
．
．
．
解得或1．
23．【答案】（1）解：设购买1个排球需要元，1个篮球需要元．
根据题意，得，解得.
∴购买1个排球需要30元，购买1个篮球需要65元．
（2）解：设采购篮球个，则采购排球个．根据题意得：
，解得：．
∴的最大值为30．
∴最多可采购30个篮球．
（3）解：根据题意得：，解得：．
∵，且为正整数，
∴可取28，29，30．
∴能实现利润不少于1540元的目标，学生会共有3种采购方案．
方案1：采购排球22个，篮球28个；
方案2：采购排球21个，篮球29个；
方案3：采购排球20个，篮球30个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买1个排球需要元，1个篮球需要元，根据题目情境列出二元一次方程组，解出即可得答案.
（2）设采购篮球个，则采购排球个，根据题目情境列出一元一次不等式，解出即可得答案.
（3）根据题目情境列出，解出，然后根据，且为正整数求解即可．
（1）解：设购买1个排球需要元，1个篮球需要元．
根据题意，得
解得
答：购买1个排球需要30元，购买1个篮球需要65元．
（2）设采购篮球个，则采购排球个．
根据题意，得．
解得．所以的最大值为30．
答：最多可采购30个篮球．
（3）根据题意，得．
解得．
又因为，且为正整数，
所以可取28，29，30．
所以能实现利润不少于1540元的目标，学生会共有3种采购方案．
方案1：采购排球22个，篮球28个；
方案2：采购排球21个，篮球29个；
方案3：采购排球20个，篮球30个．
1 / 1广西贵港市平南县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2025七下·平南期中）下列实数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴最小的数是.
故答案为：A．
【分析】根据正实数比较大小的方法分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的数据进行比较即可得答案.
2．（2025七下·平南期中）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：∵不等式“”可以表示“不超过3的数”，
∴，
∴被墨迹覆盖的不等号是：，
故答案为：A
【分析】不超过表示小于或等于，结合不等式“”可以表示“不超过3的数”可得答案．
3．（2025七下·平南期中）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6
C．（2a）3＝6a3 D．（a2）3＝a6
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，故A错误.
B、a2 a3＝a2＋3＝a5，故B错误.
C、，故C错误.
D、(a2)3＝a2×3＝a6，故D正确.
故答案为：．
【分析】根据a2与a3不是同类项，不能合并，a2 a3＝a2＋3＝a5，，(a2)3＝a2×3＝a6，即可得答案.
4．（2025七下·平南期中）下列各数中，没有平方根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵负数没有平方根，
∴-1没有平方根，
故答案为：．
【分析】根据负数没有平方根即可得答案.
5．（2025七下·平南期中）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：依题意得：，，
，、异号，且．
A，D错误，不符合题意；
；
C正确，符合题意；
∵；
B错误，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据a和b在数轴上的位置，可知，，可知、异号，，且，然后再根据有理数加减法法则，可得的符号；由，根据不等式的基本性质：不等式两边同时减去b，即可判断。
6．（2025七下·平南期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】解：A.，符合完全平方公式，不符合平方差公式，故Ａ错误.
B.，符合完全平方公式，不符合平方差公式，故Ｂ错误.
C.，第一个括号为和的和，第二个括号为和的差．由于两括号中的变量不同（前者含，后者含），无法构成同一对数的和与差，故Ｃ错误.
D.为和的和乘以和的差，符合平方差公式，故Ｄ正确.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式的结构特点，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
7．（2025七下·平南期中）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
8．（2025七下·平南期中）若，，则的值是（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【知识点】求算术平方根；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
又，
，
当，时，，
当，时，，
∴的值是为或.
故答案为：B．
【分析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再分类讨论代入计算即可得答案.
9．（2025七下·平南期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
．
在数轴上表示为：
，
故答案为：B．
【分析】
先解一元一次不等式得，将不等式的解集在数轴上表示出来小于向左，x取得到2则x在该点是实心的，即可解答．
10．（2025七下·平南期中）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为．如果3万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：.
∴总污染面积用科学记数法表示为.
故答案为：C．
【分析】根据题目已知条件求出总污染面积，科学记数法的形式为，确定a、n的值，即可得答案.
11．（2025七下·平南期中）如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】如图，
设小正方形的边长为，根据图形得：，解得.∴小正方形的边长为：，
∴
∴图2中阴影部分的面积为.
故答案为：A．
【分析】设小正方形的边长为，根据题目情境，结合图形得：，即可得小正方形的边长为：，进一步即可得阴影部分的面积为，计算即可得答案.
12．（2025七下·平南期中）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是(　　)
A．②③④ B．①②④ C．①③④⑤ D．①③④
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确；
对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确；
对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确；
对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确；
对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2；
当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1；
a=0时，[1+a]+[1-a]=0；
当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1．
故[1+a]-[1-a]的值为-1或0或1或-2，故⑤不正确．
综上所述，正确的是①③④
故答案为：D．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解并逐项分析判断即可.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·平南期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先计算中，进一步根据同底数幂的运算法则计算即可得答案.
14．（2025七下·平南期中）比较大小：　 　．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由于两数分母相同，故比较两个分子的大小即可，从而用估算无理数大小的方法及不等式性质求出的范围，即可比较得出答案.
15．（2025七下·平南期中）不等式的最小整数解为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∴不等式的最小整数解为，
故答案为：
【分析】先求出不等式的解集，再结合题意求出最小整数解即可求出答案.
16．（2025七下·平南期中）若，是从0，1，2，三个数中取值的一列数．已知，，则在，，，中取值为2的个数为　 　．
【答案】500
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，，，是从0，1，2，三个数中取的一列数，且，
∵，，，
，，，中为1的个数是，
，
的个数是，
故答案为：500．
【分析】根据题意得到，，，中为1的个数是，然后结合求解即可得答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·平南期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可.
（2）根据完全平方公式计算即可.
（1）解：
；
（2）．
18．（2025七下·平南期中）求不等式的正整数解．
【答案】解：，
，
，
，
，
，
该不等式的正整数解：2，1．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】根据一元一次不等式的步骤解出，再求正整数解即可.
19．（2025七下·平南期中）已知，，求的值．
【答案】解：∵，，
∴
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】把变形得，把，代入计算即可.
20．（2025七下·平南期中） 已知一个正数m的两个平方根是和，求m的值．
【答案】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解一元一次方程；平方根的性质
【解析】【分析】根据平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数）建立方程求出a的值，进而求出m的值．
21．（2025七下·平南期中）（一）【知识探究】求一个图形的面积，通过采用不同的计算方法可以得到一些数学等式，利用这些等式可以方便地解决某些数学问题．
①如图1，两个正方形、两个大小和形状相同的长方形拼成一个大正方形．如果能用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，那么可以得到的数学等式是______；
②如图2，三边长分别为的四个直角三角形（为直角边）和一个小正方形拼成一个大正方形，利用两种不同的方法表示大正方形的面积可得一个数学等式为：．
（二）【知识应用】当直角三角形两直角边满足，时，利用①②中得到的数学等式，求斜边的值．
【答案】解：（一）动手探究：②如图，
观察图形发现：
∴，
∴，
∴，
（二）知识应用：
，，
，
，
∴斜边的值为5.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（一）动手探究：①如图，
方法一：如图1，根据图形发现，，
方法二：如图2，根据图形发现，
由面积相等得，
故答案为：.
【分析】（一）动手探究：①观察图形1发现，，观察图形2发现，再根据面积相等得即可.
②观察图形发现：，代入数据即可得.
（二）把，代入即可得答案.
22．（2025七下·平南期中）下面是一位同学的学习与发现．请认真阅读，解答问题．
【发现问题】该同学把两个完全平方公式，相减得到．发现，，中任意知道两个式子的值，就能求出第三个式子的值．
【拓展应用】请利用以上该同学的发现，解决如下问题：
（1）若一个长方形的周长为12，面积为5，长方形的长比宽多了多少？（长大于宽）
（2）已知，利用该同学的发现，求出的值．
【答案】（1）解：设长方形的长为、宽为，则．根据题意得：
，，
．
，
．
．
长方形的长比宽多4.
（2）解：，
．
．
．
，解得或1．
∴的值为5或1.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）设长方形的长为、宽为，则，根据长方形的周长为12，面积为5即可得，，进一步推理得，即可得长方形的长比宽多4.
（2）把根据完全平方差公式变形得到，进而得，解出即可得答案.
（1）设长方形的长为、宽为，则．
根据题意，得，，
．
，
．
．
长方形的长比宽多4；
（2），
．
．
．
．
解得或1．
23．（2025七下·平南期中）为了让学生体验生活，学校计划把篮球的采购和销售的任务交给学生会去执行．学生会经过调查了解到：若采购3个排球和2个篮球需要220元；若采购1个排球和4个篮球需要290元．
（1）求购买1个篮球和1个排球的价格．
（2）学生会打算用2550元去采购篮球和排球共50个，最多可采购多少个篮球？
（3）在（2）的条件下，若学生会以排球58元/个和篮球98元/个的价格销售给大家，能否实现利润不少于1540元的目标？如果能，请给出相应的采购方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设购买1个排球需要元，1个篮球需要元．
根据题意，得，解得.
∴购买1个排球需要30元，购买1个篮球需要65元．
（2）解：设采购篮球个，则采购排球个．根据题意得：
，解得：．
∴的最大值为30．
∴最多可采购30个篮球．
（3）解：根据题意得：，解得：．
∵，且为正整数，
∴可取28，29，30．
∴能实现利润不少于1540元的目标，学生会共有3种采购方案．
方案1：采购排球22个，篮球28个；
方案2：采购排球21个，篮球29个；
方案3：采购排球20个，篮球30个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买1个排球需要元，1个篮球需要元，根据题目情境列出二元一次方程组，解出即可得答案.
（2）设采购篮球个，则采购排球个，根据题目情境列出一元一次不等式，解出即可得答案.
（3）根据题目情境列出，解出，然后根据，且为正整数求解即可．
（1）解：设购买1个排球需要元，1个篮球需要元．
根据题意，得
解得
答：购买1个排球需要30元，购买1个篮球需要65元．
（2）设采购篮球个，则采购排球个．
根据题意，得．
解得．所以的最大值为30．
答：最多可采购30个篮球．
（3）根据题意，得．
解得．
又因为，且为正整数，
所以可取28，29，30．
所以能实现利润不少于1540元的目标，学生会共有3种采购方案．
方案1：采购排球22个，篮球28个；
方案2：采购排球21个，篮球29个；
方案3：采购排球20个，篮球30个．
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