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广西壮族自治区来宾市兴宾区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025七下·兴宾期中）下列实数中，为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·兴宾期中）用不等式表示a的2倍大于的数量关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·兴宾期中）16的平方根是（　　）．
A．4 B． C． D．
4．（2025七下·兴宾期中）估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（2025七下·兴宾期中）解不等式，它的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·兴宾期中）已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·兴宾期中）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
8．（2025七下·兴宾期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·兴宾期中）不等式组的整数解共有（　　）
A．4个 B．3个 C．无数个 D．5个
10．（2025七下·兴宾期中）某超市花费1140元购进苹果100千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为多少元/千克？设售价为元/千克，根据题意所列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·兴宾期中）已知a、b均为常数，若的乘积不含x的一次项，则a与b的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025七下·兴宾期中）在东汉许慎所著的《说文解字·序》里记载：“神农氏结绳为治，而统其事．”想象在遥远的神农氏时代，有一位聪慧的村民，为了准确记录每次狩猎所获猎物的数量，采用了结绳计数的方法．他计数时遵循“从右往左，满五进一”的规则（具体示意如图所示）．已知这位村民某次一共狩猎到了43只动物，那么在他所结的绳中，第二根绳子上的打结个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．（2025七下·兴宾期中）比较实数的大小：　 　2．
14．（2025七下·兴宾期中）计算：　 　．
15．（2025七下·兴宾期中）数学课上在学习乘法公式应用时，王老师和同学们一起应用乘法公式计算：
请借鉴以上方法计算：　 　．
16．（2025七下·兴宾期中）关于的不等式有正数解，的值可以是　 　（写出一个即可）．
三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·兴宾期中）计算题
（1）
（2）
18．（2025七下·兴宾期中）（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
19．（2025七下·兴宾期中）先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中，．
20．（2025七下·兴宾期中）（1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）若关于x的不等式组的解集为，求a，b的值．
21．（2025七下·兴宾期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们又知道，所以我们把1叫作的整数部分，把叫作的小数部分．请解答：
（1）的整数部分是________，小数部分________．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的算术平方根；
（3）已知：其中x是整数部分，y是小数部分，求的相反数．
22．（2025七下·兴宾期中）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价．
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”．
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）．
①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元；
②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元．
[迁移类比]
（2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价．
[拓展探究]
（3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？
23．（2025七下·兴宾期中）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，请你写出之间的等量关系：__________；
（2）根据（1）中的结论，若，求的值；
（3）请求解下面实际问题：
如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
根据无理数的定义得：、、是有理数，是无理数，
故Ａ、Ｂ、Ｃ错误，Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据无理数的定义得：、、是有理数，是无理数，即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：
a的2倍大于的数量关系是：，
故答案为：B．
【分析】根据题目情境列出不等式即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：（±4）2=16
16的平方根是4．
故答案为：B．
【分析】根据平方根的定义可得答案。
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据被开方数越大，其算术平方根就越大，可以确定
的值在3和4之间.
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
故答案为：C．
【分析】先把 去括号，移项，合并同类项，系数化为1解出，再在数轴上表示即可.
6．【答案】D
【知识点】科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：；
故选D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
7．【答案】A
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故答案为：A．
【分析】先求出不等式的解集，再利用不等式的性质可得a﹣1＜0，最后求出a的取值范围即可.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ正确.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据，，，即可得答案.
9．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解有，共4个，
故答案为：A．
【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，求出不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解的个数.
10．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题目情境得：
故答案为：A.
【分析】根据题目情境得，总售价≥总成本，可列出不等式，即可得答案.
11．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
∵的乘积不含一次项，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】把利用多项式乘以多项式的计算法则计算得，再根据
结果中不含x的一次项，即可得，进一步即可得.
12．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设第二根绳子上的打结个数为x个，由题意得：，解得，
∴第二根绳子上的打结个数为3个.
故答案为：C．
【分析】设第二根绳子上的打结个数为x个，根据题目情境列方程，解出即可得答案.
13．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据可得.
14．【答案】2
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：2．
【分析】根据同底数幂乘法的逆用将改写成，即可得，进一步计算即可得答案.
15．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据题目情境的方法得：
=
=
故答案为：.
【分析】根据材料中的方法把先乘以，再除以，根据平方差公式计算即可得答案.
16．【答案】0
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：不等式移项合并同类项得，，
系数化为得，，
∵不等式有正数解，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案为：．
【分析】先求出不等式的解集，再结合“不等式有正数解”可得，再求出m的取值范围即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先计算的乘方，绝对值，算术平方根，再进一步合并即可得答案.
（2）先计算的算术平方根，立方根，再进一步合并即可得答案.
（1）解：
；
（2）解：
.
18．【答案】解：（1）当，时，
；
（2），
，即，
，解得：．
【知识点】积的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）先将代数式变形为，再将，代入计算即可；
（2）利用积的乘方的逆运算可得，再求出x的值即可.
19．【答案】（1）解：原式
，
当时，
原式 .
（2）解：原式
，
当，时，
原式 ．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项的方法把化简后，把代入即可.
（2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式，合并同类项的方法对化简后，把，代入即可.
（1）解：原式
，
当时，原式 ；
（2）解：原式
，
当，时，原式 ．
20．【答案】解：（1）
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：.
∴不等式组的解集在数轴上如图所示：
（2）解：
由①得：
由②得：
不等式组的解集为：
整理得： 解得：
∴a的值为，b的值为1．
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集，在数轴上表示出来，即可确定不等式组的解集.
（2）分别求出不等式组中各个不等式的解集，在数轴上表示出来，求出不等式组的解集，再结合题目所给的解集，得出方程组，解出即可.
21．【答案】（1）4；
（2）解：，，
，，
，
的算术平方根是2，
的算术数平方根是2．
（3）解：，
，
，其中x是整数部分，y是小数部分，
，，
，
的相反数为．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分为，
故答案为：4；.
【分析】（1）根据得，即可得的整数部分是，小数部分为.
（2）根据，， 可得，，代入计算，即可求出其算术平方根.
（3）根据，可得，结合题目情境可得，，再进一步即可求出的相反数.
（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分为；
（2）解：，，
，，
，
的算术平方根是2，
的算术数平方根是2．
（3）解：，
，
，其中x是整数部分，y是小数部分，
，，
，
的相反数为．
22．【答案】（1）②
（2）解：根据题意得
解得
答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元；
（3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，
依题意得：
解得：，
又为正整数，
可以为23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；
方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；
方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（1）根据方程可知，表示的是品牌足球的单价，
∵种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元，
∴例题中被覆盖的条件是②，
故答案为：②；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个，共花费元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，根据“购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴

（3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，，
∴，，，
∵长方形的面积是，
∴，
设，，即，则，
∴阴影部分面积
，
∵，
∴（负值舍去），
∴，
即阴影部分面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形，
∴图的长方形面积为：，
∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等式；
（2）利用（1）的表达式可得，再将数据代入求解即可；
（3）设，，即，则，利用割补法可得阴影部分面积，再结合，最后求解即可.
（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形，
∴图的长方形面积为：，
∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，
∴，
即，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，，
∴，，，
∵长方形的面积是，
∴，
设，，即，则，
∴阴影部分面积
，
∵，
∴（负值舍去），
∴，
即阴影部分面积为．
1 / 1广西壮族自治区来宾市兴宾区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025七下·兴宾期中）下列实数中，为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
根据无理数的定义得：、、是有理数，是无理数，
故Ａ、Ｂ、Ｃ错误，Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据无理数的定义得：、、是有理数，是无理数，即可得答案.
2．（2025七下·兴宾期中）用不等式表示a的2倍大于的数量关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：
a的2倍大于的数量关系是：，
故答案为：B．
【分析】根据题目情境列出不等式即可得答案.
3．（2025七下·兴宾期中）16的平方根是（　　）．
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：（±4）2=16
16的平方根是4．
故答案为：B．
【分析】根据平方根的定义可得答案。
4．（2025七下·兴宾期中）估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据被开方数越大，其算术平方根就越大，可以确定
的值在3和4之间.
5．（2025七下·兴宾期中）解不等式，它的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
故答案为：C．
【分析】先把 去括号，移项，合并同类项，系数化为1解出，再在数轴上表示即可.
6．（2025七下·兴宾期中）已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：；
故选D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
7．（2025七下·兴宾期中）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故答案为：A．
【分析】先求出不等式的解集，再利用不等式的性质可得a﹣1＜0，最后求出a的取值范围即可.
8．（2025七下·兴宾期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ正确.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据，，，即可得答案.
9．（2025七下·兴宾期中）不等式组的整数解共有（　　）
A．4个 B．3个 C．无数个 D．5个
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解有，共4个，
故答案为：A．
【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，求出不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解的个数.
10．（2025七下·兴宾期中）某超市花费1140元购进苹果100千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为多少元/千克？设售价为元/千克，根据题意所列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题目情境得：
故答案为：A.
【分析】根据题目情境得，总售价≥总成本，可列出不等式，即可得答案.
11．（2025七下·兴宾期中）已知a、b均为常数，若的乘积不含x的一次项，则a与b的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
∵的乘积不含一次项，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】把利用多项式乘以多项式的计算法则计算得，再根据
结果中不含x的一次项，即可得，进一步即可得.
12．（2025七下·兴宾期中）在东汉许慎所著的《说文解字·序》里记载：“神农氏结绳为治，而统其事．”想象在遥远的神农氏时代，有一位聪慧的村民，为了准确记录每次狩猎所获猎物的数量，采用了结绳计数的方法．他计数时遵循“从右往左，满五进一”的规则（具体示意如图所示）．已知这位村民某次一共狩猎到了43只动物，那么在他所结的绳中，第二根绳子上的打结个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设第二根绳子上的打结个数为x个，由题意得：，解得，
∴第二根绳子上的打结个数为3个.
故答案为：C．
【分析】设第二根绳子上的打结个数为x个，根据题目情境列方程，解出即可得答案.
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．（2025七下·兴宾期中）比较实数的大小：　 　2．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据可得.
14．（2025七下·兴宾期中）计算：　 　．
【答案】2
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：2．
【分析】根据同底数幂乘法的逆用将改写成，即可得，进一步计算即可得答案.
15．（2025七下·兴宾期中）数学课上在学习乘法公式应用时，王老师和同学们一起应用乘法公式计算：
请借鉴以上方法计算：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据题目情境的方法得：
=
=
故答案为：.
【分析】根据材料中的方法把先乘以，再除以，根据平方差公式计算即可得答案.
16．（2025七下·兴宾期中）关于的不等式有正数解，的值可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】0
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：不等式移项合并同类项得，，
系数化为得，，
∵不等式有正数解，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案为：．
【分析】先求出不等式的解集，再结合“不等式有正数解”可得，再求出m的取值范围即可.
三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·兴宾期中）计算题
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先计算的乘方，绝对值，算术平方根，再进一步合并即可得答案.
（2）先计算的算术平方根，立方根，再进一步合并即可得答案.
（1）解：
；
（2）解：
.
18．（2025七下·兴宾期中）（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）当，时，
；
（2），
，即，
，解得：．
【知识点】积的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）先将代数式变形为，再将，代入计算即可；
（2）利用积的乘方的逆运算可得，再求出x的值即可.
19．（2025七下·兴宾期中）先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中，．
【答案】（1）解：原式
，
当时，
原式 .
（2）解：原式
，
当，时，
原式 ．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项的方法把化简后，把代入即可.
（2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式，合并同类项的方法对化简后，把，代入即可.
（1）解：原式
，
当时，原式 ；
（2）解：原式
，
当，时，原式 ．
20．（2025七下·兴宾期中）（1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）若关于x的不等式组的解集为，求a，b的值．
【答案】解：（1）
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：.
∴不等式组的解集在数轴上如图所示：
（2）解：
由①得：
由②得：
不等式组的解集为：
整理得： 解得：
∴a的值为，b的值为1．
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集，在数轴上表示出来，即可确定不等式组的解集.
（2）分别求出不等式组中各个不等式的解集，在数轴上表示出来，求出不等式组的解集，再结合题目所给的解集，得出方程组，解出即可.
21．（2025七下·兴宾期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们又知道，所以我们把1叫作的整数部分，把叫作的小数部分．请解答：
（1）的整数部分是________，小数部分________．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的算术平方根；
（3）已知：其中x是整数部分，y是小数部分，求的相反数．
【答案】（1）4；
（2）解：，，
，，
，
的算术平方根是2，
的算术数平方根是2．
（3）解：，
，
，其中x是整数部分，y是小数部分，
，，
，
的相反数为．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分为，
故答案为：4；.
【分析】（1）根据得，即可得的整数部分是，小数部分为.
（2）根据，， 可得，，代入计算，即可求出其算术平方根.
（3）根据，可得，结合题目情境可得，，再进一步即可求出的相反数.
（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分为；
（2）解：，，
，，
，
的算术平方根是2，
的算术数平方根是2．
（3）解：，
，
，其中x是整数部分，y是小数部分，
，，
，
的相反数为．
22．（2025七下·兴宾期中）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价．
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”．
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）．
①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元；
②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元．
[迁移类比]
（2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价．
[拓展探究]
（3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？
【答案】（1）②
（2）解：根据题意得
解得
答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元；
（3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，
依题意得：
解得：，
又为正整数，
可以为23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；
方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；
方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（1）根据方程可知，表示的是品牌足球的单价，
∵种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元，
∴例题中被覆盖的条件是②，
故答案为：②；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个，共花费元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，根据“购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出答案.
23．（2025七下·兴宾期中）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，请你写出之间的等量关系：__________；
（2）根据（1）中的结论，若，求的值；
（3）请求解下面实际问题：
如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴

（3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，，
∴，，，
∵长方形的面积是，
∴，
设，，即，则，
∴阴影部分面积
，
∵，
∴（负值舍去），
∴，
即阴影部分面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形，
∴图的长方形面积为：，
∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等式；
（2）利用（1）的表达式可得，再将数据代入求解即可；
（3）设，，即，则，利用割补法可得阴影部分面积，再结合，最后求解即可.
（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形，
∴图的长方形面积为：，
∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，
∴，
即，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，，
∴，，，
∵长方形的面积是，
∴，
设，，即，则，
∴阴影部分面积
，
∵，
∴（负值舍去），
∴，
即阴影部分面积为．
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