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河南南阳市第二十一学校2026年春期七年级第一次学情自测
数学试卷
一、单选题
1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若、、为有理数，则下列推理错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
①②③④
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
5．对于方程组下列变形中错误的是（　　）
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得
6．已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
7．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．根据下面两人的对话，若设哥哥买手机的预算为元，则可列方程为（ ）
弟弟：哥哥你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在的售价比我的预算多1200元． 弟弟：元旦这台手机会打8折促销． 哥哥：如果这样就比我的预算少200元．
A． B．
C． D．
10．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．请写出一个含有未知数的一元一次方程：________．
12．已知是方程的解，则___________．
13．已知方程组的解满足x－y=2，则k的值是_______．
14．学校向同学们征集校园便道地砖铺设的图形设计，琳琳用学校提供的完全相同的小长方形模具（如图1）拼出一个大长方形和一个正方形（如图2、图3），其中所拼正方形中间留下一个小正方形的空白，如果所拼图形中空白的小正方形边长等于3cm，依据题意，列出关于a、b的方程组为：__．
15．要用总长为m的篱笆靠墙（墙足够长）围一个长方形的鸡舍，除墙这一边外，其他三边都用篱笆围成，且长方形的长是宽的2倍，则鸡舍的长可能为___________．
三、解答题
16．解方程
(1)．
(2)．
17．解下列方程组：
(1)；
(2)．
18．下面是小颖同学解一元一次方程的过程：
解：，……第一步
，……第二步
，……第三步
，……第四步
．……第五步
(1)小颖的解答过程从第__________步开始出错，错误的原因是___________；
(2)请写出正确的解答过程．
19．解方程组的应用：
(1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________．
(2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解．
20．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________；
(2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解．
21．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②①，得，所以，③
③14，得，④
①④，得，从而得．
所以原方程组的解是
(1)运用上述方法解方程组
(2)直接写出方程组的解是___________；
(3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出．
22．列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米．
(1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？
(2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？
23．某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表：
1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器
长方形铁片的数量 4张 3张
正方形铁片的数量 1张 2张
(1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？
(2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？
参考答案
1．C
2．C
3．D
4．B
5．D
6．B
7．B
8．B
9．B
10．C
11．（答案不唯一）
12．/
13．1
14．
15．或
16．（1）解：
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
17．（1）解：，
由②①得；
将代入①得；
原方程组的解为；
（2）解：，
整理得，
由①②得；
将代入①得；
原方程组的解为．
18．（1）解：小颖的解答过程从第一步开始出错，错误的原因是去分母时，方程右边的常数1没有乘最简公分母6；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
19．（1）解：∵两个方程组有相同的解，
∴x、y满足方程组，解得，
将，代入，
得，解得，
∴．
（2）解：将代入方程②，得：，解得，
将代入方程①，得：，解得，
把，代入原方程组，得到，
解得，
∴原方程组的正确解为．
20．（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程与方程是“集团方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n，
∴另一个解是，
∵两个解的差是6，
∴，即，
∴或，
解得或．
（3）解：∵，
∴，
∵和是“集团方程”，
∴的解为，
∵可化为，
∴，
∴．
21．（1）解：
得：，所以③
③得：④
得：，
把代入③得：，
解得：
原方程组的解是：；
（2）解：，
得：③
③得：④
得：，解得：
把代入③得：，
解得：，
原方程组的解是：；
（3）解：猜测：，
当时，第一个方程：左边右边，
第二个方程：左边右边，
是原方程组的解．
22．（1）解：设甲原计划每天修米．则乙为米．
,
解得：,
乙：,
答：甲原计划每天修，乙原计划每天修．
（2）设甲提高后速度为米/天
解得：
答：甲工程队提高效率后平均每天施工．
23．（1）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，
根据题意得，
解得．
答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器；
（2）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器，
根据题意得，
．
又，n均为正整数，
或．
共有2种方案可供选择，
方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；
方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器．

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