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2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题 6．已知圆锥的顶点在半径为 1的球 O的球面上，底面是球的一个截面，高为 ，则该圆锥的侧
注意事项： 面积为（ ）
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题 A． B． C． D．3π
卡上填写清楚.
7．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y＝f（x）的图象，则
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
（ ）
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟. A．f（x）＝﹣2cosx B．
C．f（x）＝2cosx D．
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项
8．设 f（x）是定义在 R上的奇函数，f（4）＝0，当 x＞0时，有 xf′（x）﹣f（x）＜0恒成立，
中，只有一项是符合题目要求的）
则不等式 xf（x）＞0的解集为（ ）
1．已知复数 ，则 （ ） A．（﹣4，0）∪（0，+∞） B．（﹣4，0）∪（0，4）
A．1+i B． C． D． C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
2．已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{0，2，4}，C＝{x|2lgx＜1}，则（A∪B）∩C＝（ ）
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个
A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{1，2，4}
选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，
3．已知单位向量 ， 满足| |＝| |，则向量 与 的夹角为（ ）
有选错的得 0分）
A． B． C． D． 9．已知样本数据 x1，x2，…，x5的平均数是 3，方差是 2，样本数据 y1，y2，…，y5的平均数是
4 1，方差是 4，则下列结论正确的是（ ）．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A．数据 2x1+1，2x2+1，…，2x5+1的平均数是 7
A． B．y＝±2x C． D．
B．数据 2y1﹣1，2y2﹣1，…，2y5﹣1的方差是 16
5．从 1，2，4，5，7，8这 6个数字中任选 4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的
C．数据 x1，x2，…，x5，y1，y2，…，y5的平均数为 3
四位数中，大于 7000的奇数个数是（ ）
D．数据 x1，x2，…，x5，y1，y2，…，y5的方差为 4
A．24 B．36 C．60 D．120
10．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+2n，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则（ ）
A．a ＝n 2n﹣1n B．an＝n 2n （1）证明：EF∥面 PAD；
C．Sn＝n 2n﹣1 D．Sn＝（n﹣1） 2n+1 （2）求直线 EF与平面 PCD所成角的正弦值．
11．在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ）
A．曲线 x2+y2＝|x|+|y|恰好经过 9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线 x2+y2＝|x|﹣|y|夹在直线 和直线 之间
C．曲线 x2+y2＝3|x|+3|y|所围成区域面积是 x2+y2＝|x|+|y|所围成区域面积的 9倍
D．曲线 x2+y2＝4|x|+|y|上任意两点距离都不超过
三．填空题：每小题 5分，共 15分
17．（15分）已知函数 f（x）＝x2+2ax﹣2．
12．在（3x﹣2y）7的展开式中，最大的二项式系数为 ．（用数字作答）
（1）若 f（x）＞0在 x∈[1，4]上恒成立，求实数 a的取值范围；
13．已知 ，则 ． （2）解关于 x的不等式 f（x）＞（a+3）x+3a﹣2．
14．已知椭圆 ，点 F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象
限内的两点，满足 ，则椭圆 C离心率的取值范围是 ．
18．（17分）已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点 F到直线 y＝x﹣1的距离为 ，不过原点
的直线 l与 C交于 A，B两点．
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（1）求 C的标准方程；
15．（13分）已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 b＝3，cos2B＝cos（A+C）．
（2）若直线 l的方程为 y＝2x﹣1，求|AB|；
（1）求 B；
（3）若 OA垂直于 OB，求证：直线 l过定点．
（2）求△ABC周长的取值范围．
16．（15分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，△
PBD是等边三角形，E，F分别是棱 BP，CD的中点．
19．（17分）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生
活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取 2000名城乡居民进行调查，
并运用数学方法对调查数据进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市 2023﹣2025年各季
度消费者信心指数数据如下：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4
2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7
2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数 t∈[0，100）时，消费者信心处于弱信
心区间，信心指数 t∈[100，200）时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心
指数相互独立．用频率估计概率．
（1）从上述 12个季度中随机抽取 1个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；
（2）从 2024年和 2025年各随机抽取 1个季度，记这 2个季度中消费者信心处于强信心区间
的个数为 X，求 X的分布列和数学期望；
（3）2025年 3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记 2025年第 i季度消费者信心指数较
上一季度的增长率为 xi（i＝1，2，3，4）．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季
度的增长率约等于 x1，x2，x3，x4中的最大值，写出 2026年第一季度消费者信心指数的估计
值．（结论不要求证明）
参考答案 所以△ABC周长的取值范围是（6，9]．
一．选择题
16．解：（1）证明：因为 AD∥BC，AB⊥BC，所以 AB⊥AD，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
因为△PBD是等边三角形，
答案 C B B A C C A B
所以 PB＝BD，又因为 PA＝AD，AB＝AB，
所以△PAB≌△ABD，
二．多选题
所以∠PAD＝∠BAD＝90°，
题号 9 10 11
以 A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
答案 ABD AD AB
，
，
三．填空题
12 35 显然 为平面 PAD的一个法向量，． ．
13．﹣3． 因为 ，且 EF 平面 PAD，
14 所以 EF∥平面 PAD．． ．
（2）设平面 PCD的一个法向量为 ，
四．解答题
则 ，则 ，
15．解：（1）在△ABC中，2cos2B﹣1＝cos（π﹣B），即 2cos2B+cosB﹣1＝0，解得 ，
而 0＜B＜π， 取 x＝1，则 ，
所以 ； 设直线 EF与平面 PCD所成的角为θ，
（ 2） 在 △ ABC中 ， 由 余 弦 定 理 得 ：
则 ．
， 17．解：（1）因为 x∈[1，4]时，x2+2ax﹣2＞0恒成立，
当且仅当 a＝c时取“＝”，即有 0＜a+c≤6，
即 2a x恒成立，即 2a＞（ x）max，
因此，当 a＝c＝3时，（a+c）max＝6，而 a+c＞b＝3，即 3＜a+c≤6，6＜a+b+c≤9，
设 ，则函数 h（x）在[1，4]上单调递减， 解得 ，因此 ；
所以函数 h（x）的最大值 h（x）max＝h（1）＝﹣1+2＝1，
所以 2a＞1，解得 ，
所以实数 a的取值范围为（ ，+∞）；
（2）关于 x的不等式 f（x）＞（a+3）x+3a﹣2，
（3）证明：设直线 l的方程为 y＝kx+t，t≠0，点 ，
整理得 x2+（a﹣3）x﹣3a＞0，
即（x﹣3）（x+a）＞0， 由 消去 y得 x2﹣4kx﹣4t＝0，当Δ＝16k2+16t＞0时，xA xB＝﹣4t，
当 a＜﹣3时，即﹣a＞3，解得 x＜3或 x＞﹣a； 由 OA垂直于 OB，得 ，而 t≠0，解得 t＝4，
当 a＝﹣3时，即﹣a＝3，解得 x≠3；
因此直线 l的方程为 y＝kx+4，因此直线 l过定点（0，4）．
当 a＞﹣3时，即﹣a＜3，解得 x＜﹣a或 x＞3；
综上所述，当 a＜﹣3时，不等式的解集为（﹣∞，3）∪（﹣a，+∞）；
19．解：（1）由表可知，上述 12个季度中消费者信心处于强信心区间（t∈[100，200））的数据有：
当 a＝﹣3时，不等式的解集为（﹣∞，3）∪（3，+∞）；
2023年的 115.1，114.6，109.0，108.4，2024年的 108.4，105.9，2025年的 103.3，共 7个，
当 a＞﹣3时，不等式的解集为（﹣∞，﹣a）∪（3，+∞）．
所以上述 12个季度中随机抽取 1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为
；
18．解：（1）抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点为 ，
（2）由表可知，2024年 4个季度中有 2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间，
根据点到直线的距离公式，焦点 F到直线 y＝ x﹣ 1（即 x﹣ y﹣ 1＝ 0）的距离为：
2025年有 1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间，
， 设从 2024年抽取的季度处于强信心区间为事件 A，则 ，
从 2025年抽取的季度处于强信心区间为事件 B，则 ，
已知该距离为 ，得 ，而 p＞0，解得 p＝2，
2 记这 2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为 X，则 X的可能取值为 0，1，2，因此抛物线 C的标准方程为 x ＝4y；
，
（2）由 消去 y得 x2﹣8x+4＝0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），
，
，
所以 X的分布列为：
X 0 1 2
P
根据离散型随机变量的期望公式可得 ；
（3）记 2025年第 i季度消费者信心指数较上一季度的增长率为 xi（i＝1，2，3，4），
2025年各季度的增长率分别为：
， ，
， ，
因为 0.0783＞0.0465＞0.0052＞﹣0.0383，即 x4＞x1＞x3＞x2，
所以 2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为 0.0783，
所以 2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：103.3×（1+0.0783）≈111.4．

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