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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（四）函数
考点1. 变量与常量
变量：在某一变化过程中，数值可以发生变化的量。通常用字母 等表示。
常量：在变化过程中，数值始终保持不变的量。
关系：一个变量的变化往往会引起另一个变量的变化。
1．圆周长公式中，下列说法错误的是（ ）
A．C、、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，是常量
C．r是自变量，C是因变量 D．当自变量时，因变量
2．某品牌的护眼灯的成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：
定价／元 100 110 120 130 140 150
销量／个 80 100 110 100 80 60
下列关于定价与销量的说法中，正确的是（ ）
A．定价是常量，销量是变量
B．定价是变量，销量是常量
C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
3．指出下列问题中的变量和常量：
(1)每本书的厚度为，现有n本书，把这些书摞在一起的总厚度为；
(2)李明用100元到餐饮店里买每碗价格为6元的小吃，买了x碗，还剩下y元．
考点2. 函数的定义（核心）
在一个变化过程中，如果有两个变量x和y ，并且对于 的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应。那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
关键理解：这种对应关系必须是“唯一确定”的，即一个 只能对应一个 。
4．判断是否表示是的函数．
5．下面表格表示在个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系．
月龄x/月 1 2 3 4 5
体重 4200 4900 5600 6300 7000
(1)如表反映的变化过程中，______是自变量，______是因变量；
(2)利用表中数据直接写出该婴儿体重y（g）和月龄x（月）之间的关系式为______；
(3)假设该变化规律不变，请计算这个婴儿第8个月时体重是多少？
6．“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示，每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底层）杯子的个数x变化而变化．
如图2，小明从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．问题解决：
(1)写出y与x的关系式，判断它是否为函数．
(2)现有36个杯子，按图1中的方式叠放，求第一层杯子的个数．
考点3. 函数值
当自变量x=a时，对应的y值叫做函数值。
7．如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门．
(1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式；
(2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？
8．如图所示的是小华利用“”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答下列问题
(1)完成下表：
图n 图1 图2 图3 图4 图5 …
的个数m 4 7 ______ ______ ______ …
(2)写出m与n的函数关系式，并求当时，m的值．
9．已知函数，当时，求对应的值，并用列表法表示．
考点.4 解析式法（公式法）
用含有自变量的数学式子来表示函数关系。
优点：简单明了，能准确反映整个变化过程中变量间的数量关系。
缺点：求对应值时需要计算，不够直观。
10．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．
x 0 1 2 3 4 5
y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式；
(2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？
11．在一次实验中，小华把一根弹簧上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧挂上物体后的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系如下表：
所挂物体的质量x（） 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y（） 15 18 21 24 27 30
观察表中的数据，回答下列问题：
(1)用关系式表示出弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系．
(2)当所挂物体质量为3千克时弹簧的长度为多少？没挂物体时呢？
(3)如果在允许范围内，弹簧的长度为36时，所挂物体的质量应为多少？
12．数学兴趣小组探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度y（单位：）随碗的数量x（单位：个）的变化规律．如表是该小组成员经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4 …
10 12 14 16 …
(1)当时，______；
(2)由题意可以得到______；（用含x的代数式表示）
(3)y的值可能是35厘米吗？为什么？（请用方程的知识解释）
考点5. 列表法
通过列出表格来表示自变量与函数值的对应关系。
优点：能具体体现自变量与函数值的对应关系，无需计算即可查得函数值。
缺点：只能列出部分对应值，难以反映函数全貌。
13．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的几组对应值．
所挂物体质量
弹簧长度
(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式．
(3)若弹簧的长度为时，此时所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内）
14．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量的变化而变化，如表格所示：
碗的数量（只） 1 2 3 4 5 ……
高度（） 5 6.3 7.6 8.9 10.2 ……
(1)上述两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)用表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h．
(3)若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量．
考点6. 图象法
在平面直角坐标系中，用描出的点来表示函数关系。
优点：非常直观，能清晰地显示函数的变化趋势和性质。
缺点：由图象确定的函数值往往是近似的。
15．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________．
(2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒．
(3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离．
16．【图象问题】已知动点P 以每秒的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程）
17．甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答：
(1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________；
(2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度：
(3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由．
考点7. 使函数解析式有意义
整式：自变量取全体实数
分式：分母不能等于零
二次根式：被开方数必须大于或等于零
综合型：需同时满足所有条件
符合实际问题的要求
自变量所代表的数量往往具有实际意义。
18．求下列函数中自变量x的取值范围．
(1)；
(2)；
(3)．
19．（1）已知一个正方形的边长为5cm，它的边长减少后，得到的新正方形的周长为．试写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（2）已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数关系式．
20．已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为．
(1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________；
(2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形．
21．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为．
(1)______；
(2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围；
(3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
考点8. 描点法画图象的一般步骤
列表：给出一些自变量的值及其对应的函数值。
描点：在平面直角坐标系中，以每一对对应值为坐标描出相应的点。
连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
22．请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
… 0 1 2 3 4 5 6 7 …
… 5 1 1 3 7 …
(1)表格中：，．
(2)在直角坐标系中画出该函数图像．
(3)观察图象：
①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ；
②观察函数的图像，写出该图像的一条性质．
23．画出函数的图象．
考点9. 从函数图象获取信息
变化趋势：图象从左向右是上升还是下降，反映了函数值随自变量的增减情况。
关键点：
与横轴（x轴）的交点：表示函数值为0时的自变量值。
与纵轴（y轴）的交点：表示自变量为0时的函数值。
最高点或最低点：可能代表函数的最大值或最小值。
24．“五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
(1)小明全家在旅游景点游玩了多少小时？
(2)小明全家到家是什么时间？
(3)若出发时汽车油箱中存油15升，汽车每行驶1千米耗油升．则需在几点前至少加一次油？加油总量至少为多少升？（加油所用时间忽略不计）
25．一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题：
(1)解释点C的实际意义；
(2)若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值；
(3)在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长．
26．如图，在等腰中，，，点为边上的中点，连接，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，到达点时停止运动．设点运动的时间为秒（），的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积大于6时，的取值范围．
27．如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为．
(1)求的度数．
(2)若，求的值．
28．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中．
输入x … 0 1 …
输出y … m 1 7 …
(1)______；
(2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______；
(3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（四）函数（解析版）
考点1. 变量与常量
变量：在某一变化过程中，数值可以发生变化的量。通常用字母 等表示。
常量：在变化过程中，数值始终保持不变的量。
关系：一个变量的变化往往会引起另一个变量的变化。
1．圆周长公式中，下列说法错误的是（ ）
A．C、、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，是常量
C．r是自变量，C是因变量 D．当自变量时，因变量
【答案】A
【分析】在变化过程中，数值不变的量是常量，数值改变的量是变量，据此判断选项即可．
【详解】解：根据常量与变量的定义，在圆周长公式中，是固定不变的常数，属于常量，不是变量，2也是常量，和是变化的量，是变量；故A选项的说法是错误的，符合题意；
是固定不变的常量，、可以发生变化是变量，故B选项说法正确，不符合题意；
随的变化而变化，且是自变量，是因变量，故C选项说法正确，不符合题意；
将代入公式，得，故D选项说法正确，不符合题意．
2．某品牌的护眼灯的成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：
定价／元 100 110 120 130 140 150
销量／个 80 100 110 100 80 60
下列关于定价与销量的说法中，正确的是（ ）
A．定价是常量，销量是变量
B．定价是变量，销量是常量
C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
【答案】C
【分析】本题主要考查常量、变量、自变量和因变量的概念，在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，可以取不同数值的量叫作变量；一般地，在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于变量的每一个确定的值，变量都有唯一确定的值与其对应，我们就称是的函数，其中叫作自变量，叫作因变量．
【详解】因为定价和销量的数值都发生变化，
所以定价与销量都是变量．
因为销量随定价的变化而变化，所以定价是自变量，销量是因变量．
故选：C
3．指出下列问题中的变量和常量：
(1)每本书的厚度为，现有n本书，把这些书摞在一起的总厚度为；
(2)李明用100元到餐饮店里买每碗价格为6元的小吃，买了x碗，还剩下y元．
【答案】(1)变量是h，n，常量是
(2)变量是x，y，常量是100，6
【分析】本题主要考查了变量与常量的概念：
（1）根据变量与常量的概念解答即可；
（2）根据变量与常量的概念解答即可
【详解】（1）解：（1）变量是h，n，常量是；
（2）解：（2）变量是x，y，常量是100，6
考点2. 函数的定义（核心）
在一个变化过程中，如果有两个变量x和y ，并且对于 的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应。那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
关键理解：这种对应关系必须是“唯一确定”的，即一个 只能对应一个 。
4．判断是否表示是的函数．
【答案】不是的函数
【分析】根据初中函数的定义，判断对x的任意确定值，是否存在唯一确定的y与之对应，即可判断该命题正误．
【详解】解 根据函数的定义：在一个变化过程中，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．
对于等式，取x的一个确定正值，例如，可得，解得或．
即一个确定的x对应了两个不同的y值，不满足函数的定义，因此不表示y是x的函数，原说法错误．
5．下面表格表示在个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系．
月龄x/月 1 2 3 4 5
体重 4200 4900 5600 6300 7000
(1)如表反映的变化过程中，______是自变量，______是因变量；
(2)利用表中数据直接写出该婴儿体重y（g）和月龄x（月）之间的关系式为______；
(3)假设该变化规律不变，请计算这个婴儿第8个月时体重是多少？
【答案】(1)月龄x，体重y
(2)
(3)
【分析】本题考查了变量的概念以及探究变量之间的关系，确定变量之间的关系是解题的关键．
（1）根据自变量和因变量的定义，结合题意，进行判断即可；
（2）结合表格，根据每个月婴儿体重增加量不变，求得两个变量之间的关系；
（3）根据第二问的结果，将代入函数关系式中，求得y的值即可．
【详解】（1）解：由表可知，体重y随着月龄x的变化而变化，
所以月龄x是自变量，体重y是因变量．
故答案为：月龄x，体重y；
（2）解：．
故答案为：；
（3）解：当时，，
答：这个婴儿第8个月时体重是．
6．“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示，每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底层）杯子的个数x变化而变化．
如图2，小明从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．问题解决：
(1)写出y与x的关系式，判断它是否为函数．
(2)现有36个杯子，按图1中的方式叠放，求第一层杯子的个数．
【答案】(1)y，它是函数
(2)8个
【分析】本题考查了规律探索、函数定义．通过转换的思想方法探究杯子的数量是解题的关键．
（1）由图2第一层1黑4白，第二层2黑3白，第三层3黑2白，第4层4黑1白即可推出关系，由此可以判断出它是函数；
（2）当时，代入函数即可求出个数．
【详解】（1）解：依题意得：，它是函数．
（2）解：当时，，解得：（不合题意，舍去），
答：第一层杯子的个数为8．
考点3. 函数值
当自变量x=a时，对应的y值叫做函数值。
7．如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门．
(1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式；
(2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出解析式即可；
（2）代数求值即可．
【详解】（1）解：设矩形的一边为，则另一边长为
y关于x的函数关系式为；
（2）解：将代入得，
，
∴所围苗圃的面积是．
8．如图所示的是小华利用“”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答下列问题
(1)完成下表：
图n 图1 图2 图3 图4 图5 …
的个数m 4 7 ______ ______ ______ …
(2)写出m与n的函数关系式，并求当时，m的值．
【答案】(1)填表见解析
(2)，88
【分析】（1）观察图形变化特点逐个填写即可；
（2）根据（1）图形的变化特点得出规律，即可得出关系式，然后代入求值即可．
【详解】（1）解： 根据题意填表如下：
图n 图1 图2 图3 图4 图5
的个数 4 7 10 13 16
（2）解：第1个图中正六边形的个数有4个；
第2个图中的个数有（个）；
第3个图中的个数有（个）；
第4个图中的个数有（个）；
第5个图中的个数有（个）；
第n个图中的个数有（个）．
当时，．
9．已知函数，当时，求对应的值，并用列表法表示．
【答案】见解析
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，，
1 2 3
1 4 7
考点.4 解析式法（公式法）
用含有自变量的数学式子来表示函数关系。
优点：简单明了，能准确反映整个变化过程中变量间的数量关系。
缺点：求对应值时需要计算，不够直观。
10．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．
x 0 1 2 3 4 5
y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式；
(2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根据函数的概念及待定系数法可进行求解；
（2）由题意易得水位还需上涨系统会发出警报，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由表格可知：水位高度y是时间x的函数，
当x的值每增加1，y的值增加3，
∴这个函数解析式；
（2）解：由题意得：，
∴；
答：再过系统会发出警报．
11．在一次实验中，小华把一根弹簧上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧挂上物体后的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系如下表：
所挂物体的质量x（） 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y（） 15 18 21 24 27 30
观察表中的数据，回答下列问题：
(1)用关系式表示出弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系．
(2)当所挂物体质量为3千克时弹簧的长度为多少？没挂物体时呢？
(3)如果在允许范围内，弹簧的长度为36时，所挂物体的质量应为多少？
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据图表，得到弹簧原来的长度为，每挂1千克质量的物体，弹簧就伸长，弹簧的长度y（）等于弹簧原来的长度加上伸长的长度，得到关系式即可．
（2）根据图表的信息直接求解即可；
（3）根据，计算当时，对应的x值即可；
【详解】（1）解：根据图表，得到弹簧原来的长度为，每挂1千克质量的物体，弹簧就伸长，
根据弹簧的长度y（）等于弹簧原来的长度加上伸长的长度，得到关系式为：．
（2）解：根据图表，得到当所挂物体质量为3千克时弹簧的长度为；
没挂物体时，弹簧的长度为；
（3）解：由，
当时，，
解得；
12．数学兴趣小组探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度y（单位：）随碗的数量x（单位：个）的变化规律．如表是该小组成员经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4 …
10 12 14 16 …
(1)当时，______；
(2)由题意可以得到______；（用含x的代数式表示）
(3)y的值可能是35厘米吗？为什么？（请用方程的知识解释）
【答案】(1)18
(2)
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）由表中的数据知：每增加一个碗，高度增加厘米，据此求解；
（2）由（1）求出一个碗的高度，然后表示出y即可；
（3）将代入列方程求解判断即可．
【详解】（1）解：由表中的数据知：每增加一个碗，高度增加厘米，
∴当时，；
（2）解：由（1）得，增加一个碗的高度为
∴；
（3）解：不可能，理由如下：
当时，得：，
解得：，不是整数
∴y的值不可能是35厘米．
考点5. 列表法
通过列出表格来表示自变量与函数值的对应关系。
优点：能具体体现自变量与函数值的对应关系，无需计算即可查得函数值。
缺点：只能列出部分对应值，难以反映函数全貌。
13．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的几组对应值．
所挂物体质量
弹簧长度
(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式．
(3)若弹簧的长度为时，此时所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内）
【答案】(1)反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系；所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量
(2)
(3)重物的质量是
【分析】（1）根据表格标注的内容解答即可；
（2）由表格可知，物体每增加千克，弹簧长度增加，据此即可写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式；
（3）把代入（2）中关系式，计算即可．
【详解】（1）解：上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量．
（2）解：由表格可知，物体每增加千克，弹簧长度增加，且不挂物体时，弹簧长度是,
∴弹簧长度与所挂物体质量的关系式为．
（3）解：由（2）可知，，
∴当时，，
解得：，
∴重物的质量是．
14．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量的变化而变化，如表格所示：
碗的数量（只） 1 2 3 4 5 ……
高度（） 5 6.3 7.6 8.9 10.2 ……
(1)上述两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)用表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h．
(3)若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量．
【答案】(1)碗的数量是自变量，高度是因变量；
(2)；
(3)碗的数量是只．
【分析】（1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断；
（2）求出每只碗增加的高度即可解答；
（3）根据（2）中和的关系式代入求值即可．
【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，碗的数量是自变量，高度是因变量；
（2）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
；
（3）解：当时，
解得：，
碗的数量是只．
考点6. 图象法
在平面直角坐标系中，用描出的点来表示函数关系。
优点：非常直观，能清晰地显示函数的变化趋势和性质。
缺点：由图象确定的函数值往往是近似的。
15．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________．
(2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒．
(3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离．
【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s
(2)6；
(3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米
【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键．
（1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案；
（2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可；
（3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离．
【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s．
故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s．
（2）解：甲的速度为：（米/秒），
乙的跑步速度为： （米/秒）．
故答案为：6；．
（3）解：设t秒时，甲追上乙，
根据题意得：
解得： ，
则（米），
答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米．
16．【图象问题】已知动点P 以每秒的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程）
【答案】；24；17
【分析】本题考查了从图象获取信息，面积的计算等，从图象获取准确的信息并利用路程等于速度乘时间得到各边的长是解题的关键．根据题意，利用路程速度时间，计算得到、、的长度，即可得到图形的面积和a的值，然后计算得到的长度和在上运动的时间，从而得到的长度和在上运动的时间，即可得到值．
【详解】解：根据题意可知，
动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，得，
动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒，得，
动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒，得，
因为，
所以，
所以上运动的时间为秒，
所以图1中的图形面积为，；
因为，
所以上运动时间为秒，
所以，
故答案为：；24；17．
17．甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答：
(1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________；
(2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度：
(3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由．
【答案】(1)10，2，1
(2)点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度．
(3)不能，理由见详解
【分析】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值．
（2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可．
（3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案．
【详解】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，
∴乙位置坐标为：，
根据关系图可知，
当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，
设乙的速度为：v，
故，
解得：．
根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，
，
故答案为：10，2，1
（2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，
，
解得：，
则，
即甲、乙第二次相距5个单位长度．
（3）解：不能，理由如下：
甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走，
则甲到达乙的位置一共需要，
乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走，
则乙到达甲的位置一共需要，
则甲、乙不能同时到达对方最初的位置．
考点7. 使函数解析式有意义
整式：自变量取全体实数
分式：分母不能等于零
二次根式：被开方数必须大于或等于零
综合型：需同时满足所有条件
符合实际问题的要求
自变量所代表的数量往往具有实际意义。
18．求下列函数中自变量x的取值范围．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)x是任意实数
(2)且
(3)
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解；
（2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围；
（3）根据0的0次幂无意义即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：x为任意实数；
（2）解：根据题意得：，
解得：且；
（3）解：根据题意得：，
解得：．
19．（1）已知一个正方形的边长为5cm，它的边长减少后，得到的新正方形的周长为．试写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（2）已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数关系式．
【答案】（1）与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是（2）
【分析】（1）求出减少了后的边长，再求其周长即可求出函数关系，利用边长为正数，减少量为非负数即可求出自变量取值范围；
（2）设．把，代入求出值即可．
【详解】解：（1）正方形的边长为5cm，它的边长减少后，边长为
又.
与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是．
（2）设．
当时，，
，
，
，
与之间的函数关系式．
【点睛】本题解题的关键是要正确地理解题意，本题的难点是写出自变量的取值范围，要注意的是边长应大于.
20．已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为．
(1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________；
(2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为，即可得出与之间的函数关系式，再由三角形的三边关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围；
（2）根据等边三角形的性质，可得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：由等腰三角形周长公式可得，移项整理得，即，
，
解得：．
与之间的函数关系式为；自变量x的取值范围为；
（2）解：若等腰三角形为等边三角形，则三边长度相等，即底边长等于腰长，
，
将代入周长公式，得，
解得，
所以当时，这个等腰三角形是等边三角形．
21．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为．
(1)______；
(2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围；
(3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【答案】(1)5
(2)时，；时，；
(3)时，；时，
【分析】本题主要考查了勾股定理，列函数关系式和代数式，解题关键是正确应用勾股定理建立函数关系式．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）分点P在上，点P在上两种情况讨论即可；
（3）根据三角形等面积法求出点C到的距离为，再分点P在上，点P在上两种情况讨论即可；
【详解】（1）解：在中，，，，
；
故答案为：．
（2）解：当点P在上，
（秒），
时，；
当点P在上，
（秒），
时，；
（3）解：设点C到直线的距离为h，
，
，
当时，
，
；
当时，
，，
．
考点8. 描点法画图象的一般步骤
列表：给出一些自变量的值及其对应的函数值。
描点：在平面直角坐标系中，以每一对对应值为坐标描出相应的点。
连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
22．请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
… 0 1 2 3 4 5 6 7 …
… 5 1 1 3 7 …
(1)表格中：，．
(2)在直角坐标系中画出该函数图像．
(3)观察图象：
①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ；
②观察函数的图像，写出该图像的一条性质．
【答案】(1)3；5
(2)见解析
(3)①；②见解析
【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答；
（2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可；
（3）直接根据函数图像解答即可．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
∴，；
（2）解：如图函数图像即为所求作：
（3）解：①根据函数图像可得，函数的最小值是；
②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）．
23．画出函数的图象．
【答案】见解析
【详解】解：列表：
0 1 2
0 1 2 3
描点、连线，得到一条过和的直线．
考点9. 从函数图象获取信息
变化趋势：图象从左向右是上升还是下降，反映了函数值随自变量的增减情况。
关键点：
与横轴（x轴）的交点：表示函数值为0时的自变量值。
与纵轴（y轴）的交点：表示自变量为0时的函数值。
最高点或最低点：可能代表函数的最大值或最小值。
24．“五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
(1)小明全家在旅游景点游玩了多少小时？
(2)小明全家到家是什么时间？
(3)若出发时汽车油箱中存油15升，汽车每行驶1千米耗油升．则需在几点前至少加一次油？加油总量至少为多少升？（加油所用时间忽略不计）
【答案】(1)4小时
(2)小明全家当天17时到家
(3)故最晚需在9时30分前加一次油，加油总量至少为25升．
【分析】（1）路程不变的时段为游玩时间，用离开景点时间减去到达景点时间计算．
（2）先求回家段的速度，再算回家总用时，最后用离开景点时间加回家用时得到到家时间．
（3）先由存油量算出可行驶路程/时间，结合去程速度确定最晚加油时间；再算全程总耗油量，减去初始存油得最少加油量．
【详解】（1）解：由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了（小时）；
（2）解：由图可知，回家时的速度为，
则回家所用的时间为，
故到家的时间为（时）．
答∶小明全家当天17时到家．
（3）解：用存油可行驶的路程为，
去景点时的速度为，
用存油可行驶的时间为，
故最晚需在9时30分前加一次油．
全程耗油总量为，
故加油总量至少为．
25．一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题：
(1)解释点C的实际意义；
(2)若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值；
(3)在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长．
【答案】(1)当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米
(2)无人机的爬升速度为25米/分，m的值为2，n的值为14
(3)8分钟
【分析】（1）根据函数图象作答即可；
（2）根据点B、C求出爬升速度，可求m的值，进而求出匀速下降的速度，即可求出n的值；
（3）根据函数图象作答即可．
【详解】（1）解：点C的实际意义是当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米
（2）解：爬升速度（米/分钟）
∴，
∵无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，
∴无人机匀速下降的速度是米/分钟，
∴；
（3）解：由函数图象可知，悬停的总时长（分钟）．
26．如图，在等腰中，，，点为边上的中点，连接，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，到达点时停止运动．设点运动的时间为秒（），的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积大于6时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
(3)
【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据题意进行分类讨论：①当点P在上时，②当点P在上时；
（2）根据（1）中得出的函数表达式，列表，画出图象即可，结合图象即可写出性质；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，，点为边上的中点，
∴，，
∴，
①当点P在上时，即时，
∴，
∴；
②当点P在上时，过点C作于点E，
∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
综上：；
（2）解：列表如下：
x 3 4
6 12
6
函数图象如图所示：
由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
（3）解：由图象可得，当的面积大于6时，的取值范围．
27．如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为．
(1)求的度数．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过题意可知动点在上起始点时，的面积，还可知动点与点重合时，的面积，过点作于点，过点作于点，过点作于点，进而得出在中，，，即可求出的度数；
（2）先求出，再得出，由即可求出的值．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
图象与轴交于点，的长为，
此时，
，
当时，有最大值为，
，，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，
，
，
．
28．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中．
输入x … 0 1 …
输出y … m 1 7 …
(1)______；
(2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______；
(3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式．
【答案】(1)
(2)1，2
(3)
【分析】（1）将代入对应函数关系式，求出对应y的值即可；
（2）根据一次函数的特点，即当自变量均匀变化时，因变量也均匀变化判断即可；
（3）利用待定系数法解答即可．
本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的特点及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：
（2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为
故答案为：1，
（3）将，和，分别代入，
得，
解得，
当时，函数的表达为
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