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甘肃省陇南市2025- 2026学年下学期九年级学情监测
数学试卷
一、单选题
1．如图，数轴上点表示的数的倒数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升．2025年我国新能源汽车产销量约为16000000辆，将16000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，是的直径，点在上，连接交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．学校开展“爱阅读”活动，某班级统计了1月~6月全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），下列说法正确的是（ ）
A．4月份阅读数量为42本
B．6月份阅读数量最大
C．阅读数量超过40本的月份共有5个
D．相邻的两个月中，1月到2月的月阅读数量增长最快
9．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．分解因式：_____．
12．若点在第二象限，则的取值范围是_____．
13．某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_____．
14．如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为_____．
15．如图，在平行四边形中，点在边上，与交于点，若，则的长度为_____．
16．如图，有一块长，宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置，经过的路径长为_____．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，已知及上一点，请利用无刻度直尺及圆规作出直线，使得与相切．
下面是小宇设计的作法：
①作射线；
②在外取一点（点不在射线上），以为圆心，为半径作圆，与射线交于另一点；
③连接并延长交于点；
④作直线即为所求作直线．
所以直线即为所求作直线．
请在图中按小宇的作法作出直线（保留作图痕迹）．
21．数学活动小组在网上找到了四张图片（用分别表示燃放烟花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融），有的是物理变化，有的是化学变化．他们设置了一次跨学科的游戏活动，制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上．
(1)从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是物理变化的概率是____；
(2)从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．
22．“实验是获取真知的关键途径”．如图，某校实验楼上悬挂了一块高为6米的标语牌，小明和小亮准备在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离，小明在点处测得标语牌底部点处的仰角，小亮在点处测得标语牌顶部点处的仰角，经测量，，测角仪的支架高，已知，点在同一条直线上，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．求点到地面的距离．（参考数据：，）
23．每年的3月12日是植树节，某校组织全校学生参加了“植物百科”知识竞赛．现从该校七、八年级中各选取20名同学的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息．
七年级20名同学在组的分数为：90，93，93，94；
八年级20名同学在组的分数为：90，91，92，92，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩的部分统计量
年级 七年级 八年级
平均数 91 91
中位数 92
众数 95
优秀率
(1)填空：_____，_____，_____；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“植物百科”知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)该校七、八年级共有1600名学生，估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有多少？
24．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)把一次函数的图象向上平移3个单位长度，与反比例函数的图象交于点，连接，求的面积．
25．如图，是的直径，弦于点，点在上，弦与交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
26．如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____；
②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程．
27．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)求四边形的面积；
(3)如图2，是抛物线上一动点且在第二象限内．连接交于点，当时，求点的横坐标．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．D
5．A
6．B
7．A
8．D
9．C
10．C
11．
12．
13．
14．2
15．8
16．/
17．
18．解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式组的解集为．
19．解：
．
，
．
20．解：如图所示：
21．（1）解：四张图片中，物理变化有两张，故从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是物理变化的概率是．
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有，种，
．
22．：解：如图：由题意可知，，四边形，四边形均为矩形，则．
，
，
设，则，
．
在中，，
．即，
解得．
．
答：点到地面的距离约为．
23．（1）解：七年级学生组人数：（人），
七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为：（分），
∴中位数，
八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，
∴众数，
；
（2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下：
八年级学生的优秀率高于七年级，
八年级学生的成绩更好；
（3）解：七年级组的学生人数为：（人），
（人），
答：估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有1000人．
24．（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，
，
解得．
点，
，
解得，
反比例函数的表达式为；
（2）解：把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数，
令，则．
令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接．
联立方程组
解得或（舍去）．
．
由平移得，
同底等高．
，
．
25．（1）证明：，
．
∵，
，
．
∴．
（2）解：如图，连接，
是的直径，，
为的中点．
，
．
．
．
26．（1）证明：设，则．
∵，
．
，
．
．
在中，，
．
．
又，
．
∵，
四边形为平行四边形．
（2）解：①∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴
，
，
由（1）可得：，
∴，
∴．
②．理由如下：
，四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
．
，
．
如图：过点作于点，
∵，
．
∵，
．
，
．
．
．
27．（1）解：将点代入得
解得：
∴
∵
∴顶点的坐标为
（2）解：当时，
解得：
∴
如图所示，过点作轴于点，
∴，
又∵，的坐标为，
∴，，，，
∴四边形的面积
；
（3）解：设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
如图，过点作轴的平行线，交于点，
设，则
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴，
解得：或．
即点的横坐标为或．

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