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陕西西安市华山中学2025-2026学年高一数学第二学期4月质量检测试题
一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
2．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若是共线的单位向量，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C．2 D．12
4．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为不共线的非零向量，，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
6．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A． B．1 C． D．
7．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（ ）
A．10km B．20km C．km D．km
8．已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若复数，在复平面内对应点的坐标为
B．复数的虚部为
C．中，，，，此三角形有2解
D．中，，此是等腰三角形
10．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ）
A．若，则点为的重心
B．若．则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．在中，且，则为等边三角形
11．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．的最小值为
三、填空题
12．平面向量，在上的投影向量为_____．（用坐标表示）
13．复数满足，则的最大值为________.
14．在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为______.
四、解答题
15．当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
16．已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)求；
(3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围．
17．如图，在平面四边形中，，，的面积为．
⑴求的长；
⑵若，，求的长．
18．已知在中，为中点，，，.

(1)若，求；
(2)设和的夹角为，若，求证：；
(3)若线段上一动点满足，试确定点的位置.
19．在中，角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若是线段的中点，且，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．C
5．B
6．D
7．C
8．B
9．ABC
10．ABD
11．BC
12．
13．/
14．21
15．（1）因为是实数，则，解得；
（2）因为是虚数，则，解得且；
（3）因为是纯虚数，则，解得或.
16．（1）
，
故；
（2）
；
（3）由题意得且与不同向共线，
，解得
令，即，解得，则，
综上，且.
17．⑴∵，，的面积为
∴
∴
∴由余弦定理得
∴
⑵由（1）知中，，
∴
∵,∴
又∵ ，
∴在中，由正弦定理得
即,∴
18．（1）因为，则，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，
.
（2）因为为的中点，则，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
又因为、均为非零向量，故，即.
（3）因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，，解得，此时，点为线段的中点.
19．（1）由正弦定理可知，即，
所以，
又，所以，
因为，所以，因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理得，即，①
又因为，则，
则，即，
所以，②
由②①得，
所以．
（3）由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，
即，则，即，
则，故的周长的取值范围为

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