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陕西延安市宝塔高级中学等校2025-2026学年高一下学期联考数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“或”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（ ）
A． B． C． D．
4．若三角形三条边的长度分别为2，2025，2026，则该三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定的
5．如图，是平行四边形外一点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ）

A．100米 B．200米 C．米 D．米
8．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．平行向量也叫作共线向量
B．单位向量都相等
C．长度相等且方向相同的向量叫相等向量
D．两个单位向量之和仍可能是单位向量
10．在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
11．如图，正方形的边长为4，． 若，则的值可能为（ ）

A．12 B．15 C．32 D．
三、填空题
12．已知是两个不共线的单位向量，向量，若与共线，则__________．
13．如图，圆的半径为，点，在圆的圆周上，则的最大值为________.
14．锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为________.
四、解答题
15．已知点，，.
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，，求点的坐标；
(3)若，求的值.
16．已知向量与的夹角为，且，.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角.
17．记的内角，，的对边分别是，，，已知.
(1)求角；
(2)若，，求的面积.
18．如图，在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点.
(1)求；
(2)点在边上，若，求；
(3)若为梯形所在平面内的一点，且，求的最小值.
19．公园某处有一个半径为40米的圆形水池，准备在水池中建两个喷泉，如图，设该圆形水池的圆心为，，两点为喷泉，为该圆形水池边缘任意一点，要求，，三点共线，且，

(1)若，，求，
(2)设米，，
（I）试将表示为的函数；
（II）若要求在该水池边缘任意一点处观察喷泉，观察角度的最大值不小于，试求，这两个喷泉间距离的最小值，
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．B
5．A
6．A
7．C
8．D
9．ACD
10．CD
11．BD
12．
13．
14．
15．（1），.
因为，，三点共线，
所以，即，，解得；
（2）设，则，.
因为，所以，解得，，
所以.
（3），.
因为，所以，解得.
16．（1）因.
则，
故.
（2）因，
，
由
因,则.
故与的夹角为.
17．（1）因为，
所以，整理得，
所以，
因为，所以.
（2）已知，，，
由余弦定理得，
化简得，解得或（负值舍去），所以，
所以.
18．（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，.
，；
（2）设，则.
因为，所以，
即，解得.
所以，，；
（3）设，则.
，，，.
因为，所以，即.
.当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为1.
19．（1）解：在中，由正弦定理得，
所以，即；
（2）解：（i）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，即，
故所求关系式为，，
（ii）当观察角度最大时，取得最小值，
在中，由余弦定理可得
，当且仅当时，等号成立，
因为的最大值不小于，所以，解得，
即，故，这两个喷泉间距离的最小值为米．

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