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(共13张PPT)
习题18.2
菱 形
华师大版·八年级数学下册
18
A 组
1. 已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 的长分别为 6 cm
和 8 cm. 求这个菱形的周长和它的面积.
解:如图，设 AC、BD 交于点 O，则
S菱形ABCD ＝ AC · BD＝ ×6×8＝24 (cm2).
易知 AC ⊥ BD，且 OA＝OC＝ AC＝3 cm，OB＝OD＝ BD＝4 cm.
在 Rt△ABO 中，OA ＝ 3 cm，OB ＝4 cm，
∴ AB ＝ ＝ ＝5 (cm)，
∴ 菱形的周长为 4 AB ＝ 4×5 ＝ 20 (cm).
2. 如图，AD 是 △ABC 的一条角平分线，DE//AC 交 AB 于点 E，
DF//AB 交 AC 于点 F. 求证：四边形 AEDF 是菱形.
证明: ∵ DE∥AC，DF∥AB，
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF.
又∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD ＝∠FAD，
∴ ∠FAD ＝∠ADF，
∴ AF ＝ FD，
∴ 四边形 AEDF 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
A
B
C
D
E
F
3. 如图，AD 是 ∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 AB
于点 E，交 AC 于点 F，求证：四边形 AEDF 是菱形.
证明:如图，设 AD 与 EF 相交于点 O.
∵ AD 是∠BAC 的平分线，
∴ ∠EAO ＝∠FAO.
∵ EF 是 AD 的垂直平分线，
∴ AE ＝DE，AF ＝DF，∠AOE ＝∠AOF ＝ 90°.
又∵ AO ＝AO，
∴ △AOE≌△AOF，∴ AE ＝AF.
∴ AE ＝ ED ＝ DF ＝AF，
∴ 四边形 AEDF 是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
A
B
C
D
E
F
O
4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 的中点，
DE ⊥ AC，DG ⊥ AB，EK ⊥ AB，GH ⊥ AC，垂足
分别为点 E、G、K、H，EK 与 GH 相交于点 F.
求证：GE 与 FD 互相垂直平分.
A
B
C
D
E
G
F
H
K
证明: ∵ DG ⊥ AB，EK ⊥ AB，∴ DG∥EK.
∵ DE ⊥ AC，GH ⊥ AC，∴ DE∥GH.
∴ 四边形 DEFG 是平行四边形.
∵ 点 D 是 BC 的中点，∴ BD ＝CD.
∵ AB ＝AC，∴ ∠B ＝∠C.
又∵ ∠BGD ＝∠CED ＝90°，
∴ △BDG≌△CDE，∴ DG ＝ DE，
∴ 四边形 DEFG 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
∴ GE 与 FD 互相垂直平分.
A
B
C
D
E
G
F
H
K
5. 如图，菱形 ABCD 的周长为 2p，对角线 AC、BD 相交于点 O，
AC + BD = q. 求菱形 ABCD 的面积.（提示：利用两数和的
平方公式 (AC + BD)2 = AC2 + 2·AC·BD + BD2 和勾股定理)
解: ∵ 菱形 ABCD 的周长为 2p，
∴ BC ＝ ×2p ＝ p，AC ⊥ BD.
在 Rt△BOC 中，BC2 ＝OB2 + OC2，
即 (p)2 = (BD)2 + (AC)2.
∴ p2 ＝BD2 + AC2 ＝(BA + AC)2 －2BD·AC.
又∵ BD + AC ＝q，∴ BD·AC ＝ (q2－p2).
又∵ S菱形ABCD ＝ BD·AC，∴ S菱形ABCD ＝ (q2 －p2).
A
B
C
D
O
6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，直线 l 垂直平分线段 AC，
垂足为点 O，直线 l 分别与线段 AD、CB 的延长线相交于
点 E、F，求证：四边形 AFCE 为菱形.
B 组
A
B
C
D
E
F
l
O
证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，∴ ∠AEF ＝∠CFE.
∵ EF 垂直平分 AC，
∴ ∠AOE ＝∠COF ＝ 90°，OA ＝ OC，
∴ △AOE ≌ △COF，
∴ OE ＝ OF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
又∵ AC ⊥ EF，
∴ 四边形 AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行
四边形是菱形).
A
B
C
D
E
F
l
O
7. 如图，在 □ ABCD 中，点 P 在边 BC 上，连结 BD 交 AP
于点 E，连结 CE，AE = CE. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明: 如图，连结 AC，交 BD 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO ＝ CO.
又∵ AE ＝ CE
∴ EO ⊥ AC，即 BD ⊥ AC.
∴ 四边形 ABCD 是菱形
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
A
B
C
D
E
O
P
8. 如图，已知 BD 是 □ ABCD 的对角线，将 □ ABCD 沿某条
直线翻折，使点 D 与点 B 重合，该折痕与边 AB 相交于点 E，
与边 CD 相交于点 F.
（1）作出折痕 EF；
（2）若 □ABCD 的面积 S□ ABCD = 24，求四边形 ADFE 的面积；
（3）连结 DE、BF，求证：四边形 EDFB 是菱形.
A
B
C
D
（1）解: 如图所示.
A
B
C
D
E
F
O
（2）解: 如图，EF 交 BD 于点 O.
由题意，得 EF 垂直平分 BD，
∴ BO ＝ DO.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，∴ ∠OBE ＝∠ODF.
又∵ ∠BOE ＝∠DOF，
∴ △OBE ≌ △ODF.
∴ S△OBE ＝S△ODF .
∴ S四边形ADFE ＝ S四边形ADOE + S△ODF ＝S四边形ADOE + S△OBF ＝ S△ABD
＝ S ABCD ＝ ×24＝12.
A
B
C
D
E
F
O
（3）证明: 如图.
由（2）知△OBE≌△ODF，EF ⊥ BD.
∴ BE ＝ DF.
又∵ BE∥DF，
∴ 四边形 EDFB 是平行四边形.
又∵ EF ⊥ BD，
∴ 四边形 EDFB 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).(共10张PPT)
习题18.3
正方形
华师大版·八年级数学下册
18
A 组
1. 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一点，点 F 是
CB 的延长线上的一点，且 EA ⊥ AF. 求证：DE = BF.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD ＝AB，∠BAD ＝∠ADE ＝∠ABF ＝ 90°，
∴ ∠DAE + ∠BAE ＝ 90°.
∵ EA ⊥ AF，
∴ ∠BAF + ∠BAE ＝ 90°，
∴ ∠DAE ＝∠BAF，
∴ △ADE≌△ABF，∴ DE ＝ BF.
A
B
D
C
F
E
2. 如图，在正方形 ABCD 中，CE ⊥ DF. 求证：CE = DF.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠B ＝∠BCD ＝ 90°，BC ＝ CD.
∴ ∠CEB + ∠BCE ＝ 90°.
∵ CE ⊥ DF，∴ ∠DFC + ∠BCE ＝90°.
∴ ∠CEB ＝∠DFC，
∴ △BCE≌△CDF，
∴ CE ＝ DF.
A
B
C
D
E
F
3. 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，△BPC
是等边三角形，求 △BPD 的面积. (精确到 0.01)
(提示：S△BPD = S△PBC + S△PCD－S△BCD）
A
B
C
D
P
解: 如图，过点 P 作 PE ⊥ DC 于点 E，
PF ⊥ BC 于点 F.
∵ △BPC 为等边三角形，
∴ PB ＝ PC ＝ BC ＝ 1.
∴ CF ＝ BC ＝ .
F
E
在 Rt△PFC 中，PF ＝ ＝ ＝ .
∵ PF ⊥ BC，PE ⊥ DC，∴ ∠PFC ＝∠PEC ＝∠ECF ＝ 90°，
∴ 四边形 PFCE 是矩形，∴ PE ＝CF ＝ .
∴ S四边形PBCD ＝ S△PBC + S△PCD ＝ BC·PF + CD·PE
＝ ×1× + ×1× ≈ 0.68，
S△BCD ＝ BC·CD ＝ ×1×1＝0.5，
∴ S△BPD ＝ S四边形PBCD －S△BCD ≈ 0.68－0.5 ＝ 0.18.
A
B
C
D
P
F
E
4. 如图，在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在边 CG 上，
BC = 1，CE = 3，H 是 AF 的中点，求 CH 的长.（保留根号）
B 组
A
B
C
E
F
G
D
H
∴ ∠ACF ＝∠ACD + ∠GCF ＝ 45°+ 45°＝ 90°.
∴ △ACF 是直角三角形，AF 是斜边.
∴ AF ＝ ＝ ＝ .
又∵ H 是 AF 的中点，
∴ CH ＝ AF ＝ .
解: 如图，连结 AC、CF.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，BC ＝ 1，
∴ 易得 AC2 ＝ 2BC2＝ 2，
∠ACD ＝ ∠BCD ＝45°.
同理， CF2 ＝ 2CE2 ＝ 18， ∠GCF ＝∠GCE ＝ 45°.
A
B
C
E
F
G
D
H
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，先把 △ABC 绕点
B 顺时针旋转 90°至 △DBE 后，再把 △ABC 沿射线 BE
平移至 △FEG 位置，DE、FG 相交于点 H.
（1）判断线段 DE 与 FG 的位置关系，并说明理由；
（2）连结 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形.
A
B
C
G
E
F
H
D
A
B
C
G
E
F
H
D
（1）解: DE ⊥ FG. 理由如下:
由旋转与平移的性质，得
△DBE≌△ABC，△FEG≌△ABC，
∴ ∠DEB ＝∠ACB，∠EFG ＝∠BAC.
在Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，
∴ ∠ACB + ∠BAC ＝90°.
∴ ∠DEB + ∠EFG ＝90°.
∴ ∠FHE ＝180°－(∠DEB + ∠EFG)＝ 90°.
∴ DE ⊥ FG.
（2）证明: ∵ △FEG≌△ABC，
∴ EG ＝BC，∠FEG ＝∠ABC ＝ 90°.
∴ EG∥BC.
∴ 四边形 CBEG 是平行四边形.
又∵ ∠BEG ＝ 90°，
∴ 四边形 CBEG 是矩形
(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
∵ △BEG≌△ABC，∴ BE ＝ BC.
∴ 四边形 CBEG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
A
B
C
G
E
F
H
D(共15张PPT)
习题18.1
矩 形
华师大版·八年级数学下册
18
A 组
1. 如图，在 □ ABCD 中，AB = 6，BC = 8，AC = 10.
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）求 BD 的长.
（1）证明: 在△ABC 中，
AB ＝ 6，BC ＝ 8，AC ＝ 10，
∴ AB2 + BC2 ＝AC2 ，
∴ △ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝ 90°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
A
B
D
C
（2）解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ BD ＝ AC ＝ 10.
2. 如图，在 □ ABCD 中，O 是边 AB 的中点，
且∠AOD = ∠BOC . 求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明: 如图所示.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4.
∵ ∠3＝∠4，∴ ∠1＝∠2，∴ OD ＝ OC.
D
A
C
B
O
∵ 点 O 是 AB 的中点，
∴ OA ＝ OB.
在△AOD 和△BOC 中，
∵ OA ＝OB，∠3＝∠4，OD ＝ OC，
∴ △AOD≌△BOC，∴ ∠A ＝∠B.
∵ AD∥BC，∴ ∠A + ∠B ＝180°，
∴ ∠A ＝∠B ＝90°.
∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
2. 如图，在 □ ABCD 中，O 是边 AB 的中点，
且∠AOD = ∠BOC . 求证：四边形 ABCD 是矩形.
D
A
C
B
O
3. 如图，在矩形 ABCD 中，EF ⊥ CE，EF = CE，
DE = 2 cm，该矩形的周长为 24 cm.
（1）求证：△AFE≌△DEC；（2）求 AE 的长.
（1）证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A ＝∠D ＝90°. ∴ ∠AEF + ∠AFE ＝90°.
∵ EF ⊥ CE，∴ ∠CEF ＝90°，
∴ ∠AEF + ∠DEC ＝180°－∠CEF ＝90°.
∴ ∠AFE ＝∠DEC.
又∵ EF ＝CE，∴ △AFE ≌ △DEC.
A
D
B
C
E
F
3. 如图，在矩形 ABCD 中，EF ⊥ CE，EF = CE，
DE = 2 cm，该矩形的周长为 24 cm.
（1）求证：△AFE≌△DEC；（2）求 AE 的长.
A
D
B
C
E
F
（2）解:由（1）知△AFE ≌ △DEC，
∴ AE ＝ DC.
∵ 矩形 ABCD 的周长为 24 cm，
∴ AE + DE + DC ＝ 12 cm.
又∵ DE ＝ 2 cm，∴ AE ＝ 5 cm.
4. 如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是边 BC 的中点.
过点 A、D 分别作 BC 和 AB 的平行线，并相交于点 E，
连结 EC、AD，求证：四边形 ADCE 是矩形.
证明:方法一: ∵ AE∥BD，AB∥DE，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形，∴ AE ＝BD.
∵ 点 D 是边 BC 的中点，
∴ BD ＝ CD，∴ AE ＝ CD.
又∵ AE∥CD，∴ 四边形ADCE 是平行四边形.
∵ AB ＝AC，BD ＝ DC，
∴ AD ⊥ BC，∴ ∠ADC ＝ 90°，
∴ 四边形 ADCE 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
方法二: ∵ AE∥BD，AB∥DE，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形，
∴ AB ＝ DE，AE ＝ BD.
∵ 点 D 是 BC 的中点，
∴ BD ＝ DC.
∴ AE ＝ CD.
又∵ AE ∥ CD，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
∵ AB ＝AC，∴ DE ＝ AC，
∴ 四边形 ADCE 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)
5. 如图，在 □ ABCD 中，AF、BH、CH、DF 分别是 ∠DAB、
∠ABC、∠BCD 和 ∠CDA 的平分线，AF 与 BH 相交于点 E，
CH 与 DF 相交于点 G. 求证：EG = FH.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴ ∠ABC + ∠BCD ＝ 180°.
∵ BH、CH 分别是∠ABC、∠BCD 的平分线，
∴ ∠HBC ＝ ∠ABC，∠HCB ＝ ∠BCD，
∴ ∠HBC + ∠HCB ＝ (∠ABC + ∠BCD)＝ ×180°＝ 90°，
∴ ∠BHC ＝ 90°.
E
A
B
C
D
F
G
H
E
A
B
C
D
F
G
H
同理可得∠AFD ＝ 90°，∠AEB ＝ 90°.
∴ ∠HEF ＝∠AEB ＝ 90°.
∴ ∠EHG ＝∠HEF ＝ ∠EFG ＝ 90°，
∴ 四边形 EFGH 是矩形
(有三个角是直角的四边形是矩形)，
∴ EG ＝ FH.
6. 如图，AB = AC，AE = AF，且 ∠EAB = ∠FAC， EF = BC．
求证：四边形 EBCF 是矩形.
B 组
证明: 在△ABE 和△ACF 中，
∵ AB ＝AC，∠EAB ＝∠FAC，AE ＝AF，
∴ △ABE ≌△ACF，
∴ BE ＝CF，∠AEB ＝∠AFC.
又∵ EF ＝ BC，
∴ 四边形 EBCF 是平行四边形.
A
B
C
F
E
∴ BE∥CF，
∴ ∠BEF + ∠CFE ＝180°.
∵ AE ＝AF，
∴ ∠AEF ＝∠AFE.
∴ ∠AEB－∠AEF ＝∠AFC－∠AFE，
即∠BEF ＝∠CFE.
∴ ∠BEF ＝∠CFE ＝ ×180°＝ 90°，
∴ 四边形 EBCF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
A
B
C
F
E
7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，
垂足为点 D，∠ACD = 3∠BCD，E 是斜边 AB 的中点，
求 ∠ECD 的大小.
解: ∵ ∠ACB ＝ 90°＝∠ACD + ∠BCD，∠ACD ＝3∠BCD，
A
C
B
D
E
∴ ∠BCD ＝ ∠ACB ＝ 22.5°.
∵ CD ⊥ AB，∴ ∠BDC ＝ 90°.
∴ ∠B ＝ 90°－∠BCD ＝ 67.5°.
在Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，E 是斜边 AB 的中点，
∴ CE ＝ AB ＝BE. ∴ ∠BCE ＝∠B ＝ 67.5°.
∴ ∠ECD ＝∠BCE－∠BCD ＝ 67.5°－22.5°＝ 45°.
8. 如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，先折出折痕（对角线）BD，
再折叠，将边 AD 重叠到对角线 BD 上，得折痕 DG，AB = 2，
BC = 1. 求 AG 的长.（精确到 0.01）（提示：作 GE ⊥ BD，
记垂足为点 E，设 AG = x，列出 x 满足的等量关系）
A
B
D
C
G
A
B
D
C
G
解:如图，过点 G 作 GE ⊥ BD 于点 E，则△ADG≌△EDG，
∴ AD ＝ ED，AG ＝ EG .
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ DE ＝ AD ＝ BC ＝ 1.
设 AG ＝ EG ＝ x，则 BG ＝AB－AG ＝ 2－x.
在 Rt△ABD 中，BD ＝ ＝ ＝ ，
∴ BE ＝BD－DE ＝ －1.
在 Rt△BGE 中，GE2 + EB2 ＝GB2，
即 x2 + ( －1)2 ＝ (2－x)2 ，
解得 x ＝ ≈ 0.62，
∴ AG 的长约为 0.62.
E

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