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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
2025-2026学年度人教版七年级数学下
期中测试卷（二）
考试范围：7-9章；考试时间：120分钟；满分120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列作图能表示点B到的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各数中：（相邻两个3之间的0的个数逐次加1），则无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，直线，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直角边分别交直线b于B、C两点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图所示，下列推理①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则．正确的选项是（ ）
A．①②⑥ B．②③⑥ C．①③④ D．①③⑥
8．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．请你写出一个大于且小于的整数____．
12．命题“等角的补角相等”的条件是_______．
13．若，则x的值为____________．
14．若是的算术平方根，，则的立方根为________．
15．随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为________．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算步骤，推理过程）
16．（10分）计算：
(1)．
(2)
17．（8分）如图，O是直线上的一点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，则______（用含α的式子表示）．
18．（8分）已知平面直角坐标系中一点；
(1)当点在轴上时，求点的坐标；
(2)当点到两坐标轴的距离相等时，求的值．
19．（8分）【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，．
(1)如图1，若入射光线与最终的反射光线平行，两块平面镜应如何摆放？
(2)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；
(3)如图2，当光线经过处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，并调整平面镜的位置，最终使．则此时与满足怎样的数量关系？说明理由．
20．（8分）把下列各数分别填入相应的集合中：
0，，，，，，，（相邻两个3之间的0逐次加1），，，，1016．
(1)整数集合：{_____…}；
(2)负有理数集合：{_____…}；
(3)无理数集合：{_____…}；
(4)非负整数集合：{_____…}．
21．（8分）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
关于“老屋房梁”的研究报告研究人员：博学小组材料：小组成员欣欣发现自家老屋房梁结构中存在着平行和垂直的知识，将房梁结构绘制成如图所示的图形，其中点D在A上，，，猜想：与的位置关系为 ▲ ．理由：……
任务：
(1)研究报告中“▲”处空缺的内容为__________；
(2)请补全材料中“……”处对与的位置关系的说理过程；
(3)若，垂直吗？请说明理由．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】
在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．
（1）求的面积．
【解决问题】
（2）若，，，求四边形的面积．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标．
【拓展延伸】
（4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（13分）综合与探究
【问题情境】
在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，．
【操作发现】
（1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______．
【深入探究】
（2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值．
2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
2025-2026学年度人教版七年级数学下
期中测试卷（二）
考试范围：7-9章；考试时间：120分钟；满分120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个数的平方根．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，的平方根应为．
【详解】解：∵，
∴的平方根是．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】只需判断点横纵坐标的正负性，结合象限坐标特征即可求解．
【详解】解：∵点的横坐标为，，
又∵对任意实数，都有，
∴，
即点横坐标为正，纵坐标为负，
根据象限坐标特征，横坐标正纵坐标负的点在第四象限，
∴点在第四象限．
3．下列作图能表示点B到的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可．
【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意；
B、表示点A到的距离，不符合题意；
C、表示不是点B到的距离，不符合题意；
D、表示点C到的距离，不符合题意；
故选：A．
4．下列各数中：（相邻两个3之间的0的个数逐次加1），则无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐个判断各数即可得到答案.
【详解】解：（相邻两个3之间的0的个数逐次加1）中，无理数有：（相邻两个3之间的0的个数逐次加1），共3个.
5．如图，直线，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直角边分别交直线b于B、C两点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平角的定义求出，再根据平行线的性质求解．
【详解】解：如图，
，，
，
，
．
6．若，则x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】解：∵
∴．
7．如图所示，下列推理①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则．正确的选项是（ ）
A．①②⑥ B．②③⑥ C．①③④ D．①③⑥
【答案】D
【分析】根据平行线的判定和性质逐一判断即可．
【详解】解：①若，则，原推理正确；
②若，无法判断，原推理错误；
③若，则，原推理正确；
④若，无法判断，原推理错误；
⑤若，无法判断，原推理错误；
⑥若，则，原推理正确；
综上所述，正确的选项是①③⑥．
8．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质求解即可．
【详解】解：由平移可得，，，
∴，
，即，
又．
9．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】分情况讨论：时，；时，或，再分别验证即可．
【详解】解：由题知，
因为，且点，点，
则时，，
时，点，点，符合题意；
时，点，点，符合题意；
时，或，
时，点，点，符合题意；
时，点，点，不符合题意，
综上所述，的值为或．
10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据已知坐标可得，在上方，因此，由此可解．
【详解】解：由题意得，，……，
在上方，
，
∵，
∴的坐标为，即．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．请你写出一个大于且小于的整数____．
【答案】2或3（写一个即可）
【分析】先估算出和的大小范围，再找出符合条件的整数即可．
【详解】解：，
，即，
又，则，
满足的整数为或（任写一个即可）．
12．命题“等角的补角相等”的条件是_______．
【答案】两个角相等
【分析】本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案．
【详解】解：“等角的补角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等”，
所以：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等；
故答案为：两个角相等．
13．若，则x的值为____________．
【答案】1或
【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握若一个数的平方等于，则这个数称为的平方根是解题的关键．
利用平方根的定义，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
解得：或．
故答案为：1或．
14．若是的算术平方根，，则的立方根为________．
【答案】
【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解．
【详解】∵是的算术平方根，
∴，，
解得：，，
∴，，
∴的立方根为，
故答案为：．
15．随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为________．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行，是解题的关键．
先根据平行于同一条直线的两条直线平行，由都平行于地面推出；再利用平行线的性质求出的度数；最后根据内错角相等，两直线平行，得到的度数．
【详解】解：∵都与地面平行，
∴，
，
∴．
∵，，
∴，
∴当时，．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算步骤，推理过程）
16．（10分）计算：
(1)．
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用有理数的乘方，算术平方根，立方根，求一个数的绝对值等法则进行计算即可；
（2）利用有理数的乘方，算术平方根，立方根等法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（8分）如图，O是直线上的一点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，则______（用含α的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识．
（1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再利用即可求解；
（2）同理（1）即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：同理（1），得，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
18．（8分）已知平面直角坐标系中一点；
(1)当点在轴上时，求点的坐标；
(2)当点到两坐标轴的距离相等时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据轴上点的特征，纵坐标为0列方程求出的值，即可得解；
（2）根据点到两坐标轴的距离相等可得点的横坐标与纵坐标的绝对值相等，列出方程求解的值即可．
【详解】（1）解：点在轴上，
，解得，
，即点的坐标为；
（2）解：根据题意，得，
所以或，
解得或．
19．（8分）【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，．
(1)如图1，若入射光线与最终的反射光线平行，两块平面镜应如何摆放？
(2)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；
(3)如图2，当光线经过处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，并调整平面镜的位置，最终使．则此时与满足怎样的数量关系？说明理由．
【答案】(1)两块平面镜应平行摆放，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）由得到，然后结合，即可得到，进而得到；
（2）根据题意得到，，推出，然后结合求解即可；
（3）首先得到，如图，过点作，求出，得到，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
即，
又，，
，
，故两块平面镜应平行摆放；
（2）解：光线与直管壁平行，与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，
，，
，
，
；
（3）解：与入射镜筒壁平行，，
，
，
如图，过点作，
，
与直管壁垂直，
，
由题干的反射定律可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得．
20．（8分）把下列各数分别填入相应的集合中：
0，，，，，，，（相邻两个3之间的0逐次加1），，，，1016．
(1)整数集合：{_____…}；
(2)负有理数集合：{_____…}；
(3)无理数集合：{_____…}；
(4)非负整数集合：{_____…}．
【答案】(1)0，，，，1016
(2)，，
(3)，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）
(4)0，，1016
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、化简多重符号、实数的分类．
（1）先计算算术平方根、立方根、化简多重符号，再根据整数的定义作答即可；
（2）根据负有理数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可；
（4）根据非负整数的定义作答即可．
【详解】（1）解：，，，
整数集合：{0，，，，1016…}；
故答案为：0，，，，1016；
（2）解：，，，
负有理数集合：{，，…}；
故答案为：，，；
（3）解：，，，
无理数集合：{，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）…}；
故答案为：，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）；
（4）解：，，，
非负整数集合：{0，，1016…}．
故答案为：0，，1016．
21．（8分）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
关于“老屋房梁”的研究报告研究人员：博学小组材料：小组成员欣欣发现自家老屋房梁结构中存在着平行和垂直的知识，将房梁结构绘制成如图所示的图形，其中点D在A上，，，猜想：与的位置关系为 ▲ ．理由：……
任务：
(1)研究报告中“▲”处空缺的内容为__________；
(2)请补全材料中“……”处对与的位置关系的说理过程；
(3)若，垂直吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)平行，见解析
(3)垂直，见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、补角的知识和垂直的判定，
（1）根据补角求得，结合同旁内角互补两直线平行即可判定；
（2）由补角求得，结合平行线的判定即可得；
（3）由平行线得，则，即可判定，有，结合，则．
【详解】（1）解：根据补角求得，结合同旁内角互补两直线平行判定；
（2）解：，
，
，
，
则．
（3）解：垂直，理由如下，
理由：，
．
，
，
，
，
，
，
．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】
在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．
（1）求的面积．
【解决问题】
（2）若，，，求四边形的面积．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标．
【拓展延伸】
（4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）（4）或．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键．
（1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案；
（3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案；
（4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为
∴轴，
∵点坐标为，
∴点B到的距离为，
∴；
（2）当，，时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，点M是中点，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴点N的横坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）∵，，
∴，
∴，
∵三角形的面积等于四边形面积的3倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或．
23．（13分）综合与探究
【问题情境】
在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，．
【操作发现】
（1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______．
【深入探究】
（2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值．
【答案】（1）；（2）；（3）x的值为30，75，120
【分析】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等．
（1）过点作，则，则，再由等量代换求解；
（2）过点作，则，那么，再由，等量代换即可求解；
（3）分“”、“”、“”三种情况，根据平行线的性质分别求出即可．
【详解】解：（1）数量关系为：，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴数量关系为：；
（2）数量关系为：，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴数量关系为：；
（3）①当时，
∵，即，
∵，
∴，
又∵点C在的延长线上
∴点C，B，E，D在同一条直线上，
∴，
∴；
②当时，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
③当时，
∴，
∴，
∴；
综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行．
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