资源简介

专题2.1 一次方程（组）及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，
则，即．
所以．
所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡．
故答案为：B．
【分析】设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图①天平平衡列出等式，然后整理可得y+2x=3z，进而观察图②，在所得等式的两边乘以2即可得出结果.
2．某班级共有 m 位学生，现将n 个枇杷作为午餐水果分发给学生.若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个.有下列四个方程：
①2m+10=3m-30；②2m-10=3m+30；
③④
其中符合题意的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，正确方程为①2m+10=3m-30和
故选：C.
【分析】根据学生人数和枇杷数量的等量关系列方程即可.
3．如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，如图①.3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时钟的半径为（　　）
A．10厘米 B．13厘米 C．15厘米 D．厘米
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；列一元一次方程；钟面角
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，由题意得：，
∴厘米，
∵钟面显示为3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，
∴半径为厘米，
∵当钟面显示为3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，
∴半径为厘米，
∴，解得，
∴半径为（厘米）．
故答案为：B．
【分析】
连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，利用角度的和差表示出，再根据角的性质得到，在两个图中分别表示出半径，根据半径相等，列出方程计算即可解答．
4．定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则x的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意知，于是
解得x=2；
故答案为：C.
【分析】由题意把化为代数式，求解方程即可.
5．我们知道二元一次方程组的解是现给出另一个二元一次方程组它的解是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：在二元一次方程组中，令，
∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】在二元一次方程组中，令，则，根据二元一次方程组的解是，可得：，据此求出方程组的解即可．
6．若方程x-y=3与下列方程中的一个组成的方程组的解为 则这个方程可以是(　　)
A．3x-4y=10 B． C．x+3y=2 D．2(x-y)=6y
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：A.，A正确；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D错误
故答案为：A.
【分析】使二元一次方程组中两个方程都成立的一对未知数的值就是这个二元一次方程组的解，因此只要将代入每个选项中的方程组检验是否成立即可。
7．我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组
x+2y＝5的正整数解有2组
x+2y＝7的正整数解有3组
......
∴对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组
∵x+2y+2z＝15
∴x+2(y+z)=15
设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k
∵x，k为正整数
∴15-2k>0，解得：k<7.5
∴k的取值为：2，3，4，5，6，7
当k=2时，y+z=2，正整数解有1组
当k=3时，y+z=3，正整数解有2组
当k=4时，y+z=4，正整数解有3组
当k=5时，y+z=5，正整数解有4组
当k=6时，y+z=6，正整数解有5组
当k=7时，y+z=7，正整数解有6组
∴x+2y+2z＝15的正整数解：1+2+3+4+5+6=21组
故答案为：B
【分析】根据题意，总结规律可得对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组，设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k，根据x，k为正整数，可得k的取值为：2，3，4，5，6，7，再根据规律判断即可求出答案.
8．如图是一个米长的圆形跑道，从点出发，沿跑道顺时针跑出米的距离记作米，逆时针跑出米的距离记作米定义：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距；定义：若点为跑道上，两点之间较短圆弧上一点，且到，两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的倍，则称为，两点的“友谊点”已知跑道上两点，对应的有理数分别为，，根据上述定义，，两点的“友谊点”在跑道上对应的有理数为(　　)
A．或
B．或为任意整数
C．或
D．或为任意整数
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设M在跑道上对应的有理数为x，则
AM =x-(-80)=x+80， BM =40-x，
根据定义， 可得3AM =BM或AM =3BM，
可列方程为3(x+80)=40-x或x+80=3(40-x)，
解得： x=-50或x=10，
由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动，
∴x可加上任意n圈，
故M在跑道上对应的有理数为： -50+400k或10+400k(k为任意整数)。
故答案为：D.
【分析】设M在跑道上对应的有理数为x，则AM =x+80， BM =40-x， 根据定义可列方程3AM = BM或AM =3BM， 即可求解.
9．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被水覆盖了，如果图2所表示的方程组的解为，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由图可知，图形的前两列为方程的左边，后两列为方程的右边，表示一个数。其中，“I ”表示1，“ - ”表示10，竖线上的横线表示5，
∴由图2，得到以下方程：
将代入可解得：
根据图形规律，可推出代表的图形为“ ”
故答案为：C.
【分析】观察图1和对应的方程组可知：“I ”表示1，“ - ”表示10，竖线上的横线表示5，据此利用图2可得到关于x、y的方程组，将x=5代入可求出对应的y、b的值.
10．“某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问：能做成多少个 A 型盒 ”下列结论中，正确的个数是（　　）
①设A 型盒个数为x，根据题意可得 ②设 B 型盒中正方形纸板的张数为m，根据题意可得 ③A型盒有72个.④B 型盒中有正方形纸板48张.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设A型盒子x，A型需要正方形纸板为4x个，B型的盒的个数为，
即可列方程 故①正确；
设B型盒中正方形纸板的个数为m，则需要的B型盒子的长方形纸板数量为，A型盒子的长方形纸板为4(120-m)个，即可列方程
故②正确；
解上述方程可得x=72，m=48，可得A型盒有72个，B型盒有正方形纸板48张.故③④正确；
故答案为：D.
【分析】根据各结论中设的未知量去表达长方形纸板的数量，列出方程并求解方程即可判断.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为　 　．
【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
得：，
解得，
将代入，得，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴k的值为1．
故答案为：1．
【分析】将k作为参数，利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程解的定义将x、y的值代入方程，求解即可．
12．若关于x的方程1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 　 　.
【答案】31
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由 得：
ax+4-8x=8.
解得：
∵解是正整数
的值可能为1， 2， 4，
∴a的值可能为9， 10， 12.
∴符合条件的所有整数a的和是：9+10+12=31.
故答案为：31.
【分析】先用含a的式子表示出原方程的解，再根据解为正整数，可求得a的值，则符合条件的所有整数a的和可求.
13．点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组 则点 Q 关于y轴对称的点Q'的坐标为　 　.
【答案】(-5，-4)
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；利用合并同类项、移项解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
移项，合并同类项得：
系数化为1得：
得：
则
那么点Q关于y轴对称点( 的坐标为
故答案为：
【分析】结合已知条件分别求得x， 的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案.
14． 甲、乙两人同解关于x、y的方程组 时，甲正确解得 乙因抄错c 而得 则a+c=　 　.
【答案】2
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将甲的解代入原方程组得
由②得c=-2
将乙的解代入第一个方程得
-2a+2b=2 ③
联立①③得方程组
解得
∴a+c=4+(-2)=2
故答案为：2.
【分析】根据甲的正确解可以求出c值，同时得到a、b之间的一个方程；根据乙的错解可以得到a、b之间的另一个方程，联立得到关于a、b的二元一次方程组，解出a值就可以计算a+c了。
15．你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关.大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0～9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
望城未来五年主要预期目标为： ①地区生产总值年均增长5.5% 6%； ②全社会研发经费投入年均增长8%； ③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%，居民收入增长与经济增长同步.
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足3A+3B+C=z.请推理出大门密码　 　 .
【答案】525
【知识点】一元一次方程的其他应用；逻辑推理
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足，
∴，
∴，
∴，
∴大门密码是．
故答案为：525.
【分析】先根据题意得到，，再结合题意依次求出的值即可．
16．衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题： 如果a， b， c为实数， 且满足a+b=-c. 那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
a=2a-a，b=2b-b，c=2c-c； ②
第三步： 把②代入①， 可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)； ④
第五步： 把④两边同时除以(a+b+c)， 得 2=1.⑤
请你判断上述推理过程中，第　 　步是错误的，它违背了数学的基本法则.
【答案】五
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】第五步出现错误，两边除以a+b+c时为考虑是否为零，
故答案为：五.
【分析】根据等式的基本性质“两边同时除以同一个不为零的数，结果仍相等”解答即可.
三、解答题（共10题，共72分）
17．解方程：
（1）；
（2）。
【答案】（1）解：3x-3-2x=-6
3x-2x=-6+3
x=-3
（2）解：x2+3(x+1)=(x+1)x
x2+3x+3=x2+x
2x=-3
X=-
经检验x+1≠0，x≠0，x=是方程的解
【知识点】解含括号的一元一次方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)去括号、移项、合并同类项等步骤解一元次方程；
(2)通过通分转化为整式方程，去括号、移项、合并同类项，分式方程去分母后需验证解.
18．解方程(组)：
（1）.
（2）.
（3）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：，
由①×2-②×5，得
8y-15y＝35，
解得y＝-5，
把y＝-5代入②，得
2x＋3×（-5）＝1，
解得x＝8，
∴方程组的解为
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）去分母、去括号、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（2）将方程左边的同时扩大10倍，再去分母、去括号、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（3）利用加减消元法即可得出答案.
19．（1）在①，②，③中任选2个方程组成方程组，并解这个方程组；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）选①②得
由，得，
把代入①，得，解得；
∴原方程组的解是；
选①③得
将②代入①，得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解是；
选②③得
将②代入①，得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解是；
（2）原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）任意两两组上成方程组，根据加减消元法或代入消元法解二元一次方程组，计算即可解答；
（2）根据分式的混合运算：先通分算括号里的减法，再算除法，因式分解后约分化简即可得然后代入求值，解答即可．
20．计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】（1）解：
；
（2）解：设被污染的数字为x，
∵计算结果等于6，
∴，
解得：，
∴被污染的数字是3．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据有理数混合运算的顺序进行计算即可；
（2）设被污染的数字为x，根据题意得关于x的方程，解方程即可求解.
21． 解方程：
【答案】解：原方程化为
去分母得3(3x+5)=2(2x-1)
去括号得9x+15=4x-2
移项得9x-4x=-2-15
合并同类项得5x=-17
系数化为1得
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】这是一道稍微复杂一点的一元一次方程，主要是等式左边的分式含有小数，只要利用分式的基本性质将分母和分子同时扩大10倍就可以将其转化为不含小数的分式，从而按照正常的求解步骤来解.
22．阅读理解下面材料，并解决问题：
【材料阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值．
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足①，和②．求代数式的值．
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x，y的值后，再代入求值
思路2：为降低运算量，由，可直接得出这样的解题思路即为整体思想．
（1）已知方程组，则______；
（2）已知方程组的解满足，则m的取值范围是______．
（3）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元？
【答案】（1）4
（2）
（3）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
根据题意得
得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】（1）解：
得：，
故答案为：4；
（2）解：
得：，即，
∵方程组的解满足，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）观察方程组中两个方程未知数的系数，由直接可得；
（2）观察方程组中两个方程未知数的系数，由直接推出，再由得到，解不等式即可得到答案；
（3）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据“ 购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元 ”列出方程13x+5y+3z=33，由“ 购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元 ”列出方程25x+9y+3z=11，联立两方程组成方程组，观察方程组中两个方程未知数的系数，然后用即可得到答案．
（1）解：
得：，
故答案为：4；
（2）解：
得：，即，
∵方程组的解满足，
∴，
∴，
故答案为：
（3）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
根据题意得
得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
23．许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题.
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
小明出发时刻 智能手表数据 　 小明结束时刻 智能手表数据 　 小红出发时刻 智能手表数据 　 小红结束时刻 智能手表数据
时刻 步数（690步） 心率（92次/分钟） 　 时刻 步数（4690步） 心率（132次/分钟） 　 时刻 步数（340步） 心率（85次/分钟） 　 时刻（） 步数（5340步） 心率（141次/分钟）
信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，
问题：
（1）起点与终点的距离为　 　米；
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红　 　分钟.
【答案】（1）4000
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）设小红每步跑米，则小明每步跑米，
由题意得，
解得，
∴总路程为：（米）；
故答案为：；
（2）∵跑完全程小明的用时为分钟，
∴小明每分钟跑：（步），
∵小明每分钟比小红多跑步，
∴小红每分钟跑：（步），
∴小红跑完全程的时间为：（分钟），
∴小明要在终点处等小红的时间为：．
故答案为：．
【分析】（1）设小红每步跑米，则小明每步跑米，进而根据“小明从起点到终点跑了4000步，小红从起点到终点跑了5000步”即可列出一元一次方程，从而即可求解；
（2）先根据题意求出小明每分钟跑的步数，进而得到小红每分钟跑的步数，再求出小红跑完全程的时间，从而即可就出小明要在终点等小红的时间。
24． 【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有　 　ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒
【答案】（1）300
（2）解：①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，
根据题意得：25x+20（15-x)=350，
解得：x=10，
∴25x=25×10=250（ml)， 20（22-x)=20×（15-10)=100（ml)，
∴小康同学接了250ml温水，100ml开水，
∴这杯水混合后的水温为（250×30+100×100)÷350=50（℃)；
②该小康接开水的时间是y秒，由题意得：
20y×100+（350-20y)·30≥350×40
解得：
∴小康接开水的时间至少是秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
8×25+5×20=300ml
故答案为：300
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法，加法列式计算即可求出答案.
（2）①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②该小康接开水的时间是y秒，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．综合与实践：
同学们在实践活动中用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务．
活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．
任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积．
活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙．
任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大．
【答案】解：任务1：∵用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒，且结合图1的信息，
∴，
故答案为：；
任务2：设半径为，
∴，
∴，
∴直径为，
∴高为，
∴无盖圆柱型包装盒的容积为：，
结合任务1得容积为
∵，
∴容积变大．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；圆柱的体积
【解析】【分析】
任务1：根据长方体的体积公式可求解；
任务2：根据底面圆周长=2πr可求出圆柱体的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式S圆柱=S底面×圆柱的高可求得圆柱的体积，将圆柱的体积与任务（1）中长方体的体积比较大小即可判断求解．
26． 根据素材，完成任务：
创意饰品的制作方案
素材一 某工坊计划制作A，B两款创意饰品，已知A，B两款饰品都需要用到大、小两种珠子，且制作1个A饰品和1个B饰品共需要6颗大珠子和42颗小珠子．制作一个A饰品需要的大小珠子数量比为，制作一个B饰品需要的大小珠子数量比为．
素材二 已知大珠子的售价是小珠子的2倍，该工坊花费320元购得大珠子的数量比花200元购得小珠子的数量少80颗．
素材三 该工坊有600元预算，欲采购若干大小珠子，全部用来制作A，B饰品（材料无剩余，且经费刚好用完）．
问题解决
任务一 求制作一个A，B创意饰品分别需要大小珠子各多少颗；
任务二 求大小珠子的单价；
任务三 若A，B两款饰品都需要制作，且A饰品的数量最多，请设计满足需求的制作方案．
【答案】解：任务一：设A饰品需要大珠子数量为a，则小珠子为6a，制作B饰品需要大珠子b，小珠子8b，则由题意得，解得
所以制作一个A饰品需要的大珠子数量为3，小珠子数量为18，制作一个B饰品需要的大珠子数量为3，小珠子数量为24；
任务二：设小珠子价格为x元，则大珠子价格为2x元，由题意得
解得x=0.5，经检验x=0.5为方程的解.
故小珠子的售价是元，则大珠子的售价是1元；
任务三：设600购买的珠子刚好可制作A饰品m个，B饰品n个，由题意得
(3m+3n)+0.5(18m+24n)=600整理得，当n=4时，m取最大值45，
故采购大珠子147颗，小珠子906颗，制作A两款饰品45个，B两款饰品4个
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A、B两款饰品需要的小珠子数量分别为a、b，由题意列出二元一次方程组，求解方程组即可；
任务2：设小珠子价格为x，则大珠子价格为2x，由题意列出分式方程，求解方程即可得价格；
任务3：设A、B两款饰品分别制作m、n个，由题意列出不定方程，得m、n的数量关系，即可得m的最大值.
1 / 1专题2.1 一次方程（组）及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．某班级共有 m 位学生，现将n 个枇杷作为午餐水果分发给学生.若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个.有下列四个方程：
①2m+10=3m-30；②2m-10=3m+30；
③④
其中符合题意的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3．如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，如图①.3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时钟的半径为（　　）
A．10厘米 B．13厘米 C．15厘米 D．厘米
4．定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则x的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
5．我们知道二元一次方程组的解是现给出另一个二元一次方程组它的解是（　　）
A． B．
C． D．
6．若方程x-y=3与下列方程中的一个组成的方程组的解为 则这个方程可以是(　　)
A．3x-4y=10 B． C．x+3y=2 D．2(x-y)=6y
7．我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
8．如图是一个米长的圆形跑道，从点出发，沿跑道顺时针跑出米的距离记作米，逆时针跑出米的距离记作米定义：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距；定义：若点为跑道上，两点之间较短圆弧上一点，且到，两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的倍，则称为，两点的“友谊点”已知跑道上两点，对应的有理数分别为，，根据上述定义，，两点的“友谊点”在跑道上对应的有理数为(　　)
A．或
B．或为任意整数
C．或
D．或为任意整数
9．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被水覆盖了，如果图2所表示的方程组的解为，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
10．“某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问：能做成多少个 A 型盒 ”下列结论中，正确的个数是（　　）
①设A 型盒个数为x，根据题意可得 ②设 B 型盒中正方形纸板的张数为m，根据题意可得 ③A型盒有72个.④B 型盒中有正方形纸板48张.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为　 　．
12．若关于x的方程1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 　 　.
13．点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组 则点 Q 关于y轴对称的点Q'的坐标为　 　.
14． 甲、乙两人同解关于x、y的方程组 时，甲正确解得 乙因抄错c 而得 则a+c=　 　.
15．你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关.大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0～9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
望城未来五年主要预期目标为： ①地区生产总值年均增长5.5% 6%； ②全社会研发经费投入年均增长8%； ③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%，居民收入增长与经济增长同步.
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足3A+3B+C=z.请推理出大门密码　 　 .
16．衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题： 如果a， b， c为实数， 且满足a+b=-c. 那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
a=2a-a，b=2b-b，c=2c-c； ②
第三步： 把②代入①， 可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)； ④
第五步： 把④两边同时除以(a+b+c)， 得 2=1.⑤
请你判断上述推理过程中，第　 　步是错误的，它违背了数学的基本法则.
三、解答题（共10题，共72分）
17．解方程：
（1）；
（2）。
18．解方程(组)：
（1）.
（2）.
（3）
19．（1）在①，②，③中任选2个方程组成方程组，并解这个方程组；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
21． 解方程：
22．阅读理解下面材料，并解决问题：
【材料阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值．
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足①，和②．求代数式的值．
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x，y的值后，再代入求值
思路2：为降低运算量，由，可直接得出这样的解题思路即为整体思想．
（1）已知方程组，则______；
（2）已知方程组的解满足，则m的取值范围是______．
（3）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元？
23．许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题.
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
小明出发时刻 智能手表数据 　 小明结束时刻 智能手表数据 　 小红出发时刻 智能手表数据 　 小红结束时刻 智能手表数据
时刻 步数（690步） 心率（92次/分钟） 　 时刻 步数（4690步） 心率（132次/分钟） 　 时刻 步数（340步） 心率（85次/分钟） 　 时刻（） 步数（5340步） 心率（141次/分钟）
信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，
问题：
（1）起点与终点的距离为　 　米；
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红　 　分钟.
24． 【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有　 　ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒
25．综合与实践：
同学们在实践活动中用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务．
活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．
任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积．
活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙．
任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大．
26． 根据素材，完成任务：
创意饰品的制作方案
素材一 某工坊计划制作A，B两款创意饰品，已知A，B两款饰品都需要用到大、小两种珠子，且制作1个A饰品和1个B饰品共需要6颗大珠子和42颗小珠子．制作一个A饰品需要的大小珠子数量比为，制作一个B饰品需要的大小珠子数量比为．
素材二 已知大珠子的售价是小珠子的2倍，该工坊花费320元购得大珠子的数量比花200元购得小珠子的数量少80颗．
素材三 该工坊有600元预算，欲采购若干大小珠子，全部用来制作A，B饰品（材料无剩余，且经费刚好用完）．
问题解决
任务一 求制作一个A，B创意饰品分别需要大小珠子各多少颗；
任务二 求大小珠子的单价；
任务三 若A，B两款饰品都需要制作，且A饰品的数量最多，请设计满足需求的制作方案．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，
则，即．
所以．
所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡．
故答案为：B．
【分析】设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图①天平平衡列出等式，然后整理可得y+2x=3z，进而观察图②，在所得等式的两边乘以2即可得出结果.
2．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，正确方程为①2m+10=3m-30和
故选：C.
【分析】根据学生人数和枇杷数量的等量关系列方程即可.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；列一元一次方程；钟面角
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，由题意得：，
∴厘米，
∵钟面显示为3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，
∴半径为厘米，
∵当钟面显示为3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，
∴半径为厘米，
∴，解得，
∴半径为（厘米）．
故答案为：B．
【分析】
连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，利用角度的和差表示出，再根据角的性质得到，在两个图中分别表示出半径，根据半径相等，列出方程计算即可解答．
4．【答案】C
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意知，于是
解得x=2；
故答案为：C.
【分析】由题意把化为代数式，求解方程即可.
5．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：在二元一次方程组中，令，
∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】在二元一次方程组中，令，则，根据二元一次方程组的解是，可得：，据此求出方程组的解即可．
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：A.，A正确；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D错误
故答案为：A.
【分析】使二元一次方程组中两个方程都成立的一对未知数的值就是这个二元一次方程组的解，因此只要将代入每个选项中的方程组检验是否成立即可。
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组
x+2y＝5的正整数解有2组
x+2y＝7的正整数解有3组
......
∴对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组
∵x+2y+2z＝15
∴x+2(y+z)=15
设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k
∵x，k为正整数
∴15-2k>0，解得：k<7.5
∴k的取值为：2，3，4，5，6，7
当k=2时，y+z=2，正整数解有1组
当k=3时，y+z=3，正整数解有2组
当k=4时，y+z=4，正整数解有3组
当k=5时，y+z=5，正整数解有4组
当k=6时，y+z=6，正整数解有5组
当k=7时，y+z=7，正整数解有6组
∴x+2y+2z＝15的正整数解：1+2+3+4+5+6=21组
故答案为：B
【分析】根据题意，总结规律可得对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组，设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k，根据x，k为正整数，可得k的取值为：2，3，4，5，6，7，再根据规律判断即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设M在跑道上对应的有理数为x，则
AM =x-(-80)=x+80， BM =40-x，
根据定义， 可得3AM =BM或AM =3BM，
可列方程为3(x+80)=40-x或x+80=3(40-x)，
解得： x=-50或x=10，
由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动，
∴x可加上任意n圈，
故M在跑道上对应的有理数为： -50+400k或10+400k(k为任意整数)。
故答案为：D.
【分析】设M在跑道上对应的有理数为x，则AM =x+80， BM =40-x， 根据定义可列方程3AM = BM或AM =3BM， 即可求解.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由图可知，图形的前两列为方程的左边，后两列为方程的右边，表示一个数。其中，“I ”表示1，“ - ”表示10，竖线上的横线表示5，
∴由图2，得到以下方程：
将代入可解得：
根据图形规律，可推出代表的图形为“ ”
故答案为：C.
【分析】观察图1和对应的方程组可知：“I ”表示1，“ - ”表示10，竖线上的横线表示5，据此利用图2可得到关于x、y的方程组，将x=5代入可求出对应的y、b的值.
10．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设A型盒子x，A型需要正方形纸板为4x个，B型的盒的个数为，
即可列方程 故①正确；
设B型盒中正方形纸板的个数为m，则需要的B型盒子的长方形纸板数量为，A型盒子的长方形纸板为4(120-m)个，即可列方程
故②正确；
解上述方程可得x=72，m=48，可得A型盒有72个，B型盒有正方形纸板48张.故③④正确；
故答案为：D.
【分析】根据各结论中设的未知量去表达长方形纸板的数量，列出方程并求解方程即可判断.
11．【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
得：，
解得，
将代入，得，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴k的值为1．
故答案为：1．
【分析】将k作为参数，利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程解的定义将x、y的值代入方程，求解即可．
12．【答案】31
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由 得：
ax+4-8x=8.
解得：
∵解是正整数
的值可能为1， 2， 4，
∴a的值可能为9， 10， 12.
∴符合条件的所有整数a的和是：9+10+12=31.
故答案为：31.
【分析】先用含a的式子表示出原方程的解，再根据解为正整数，可求得a的值，则符合条件的所有整数a的和可求.
13．【答案】(-5，-4)
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；利用合并同类项、移项解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
移项，合并同类项得：
系数化为1得：
得：
则
那么点Q关于y轴对称点( 的坐标为
故答案为：
【分析】结合已知条件分别求得x， 的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案.
14．【答案】2
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将甲的解代入原方程组得
由②得c=-2
将乙的解代入第一个方程得
-2a+2b=2 ③
联立①③得方程组
解得
∴a+c=4+(-2)=2
故答案为：2.
【分析】根据甲的正确解可以求出c值，同时得到a、b之间的一个方程；根据乙的错解可以得到a、b之间的另一个方程，联立得到关于a、b的二元一次方程组，解出a值就可以计算a+c了。
15．【答案】525
【知识点】一元一次方程的其他应用；逻辑推理
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足，
∴，
∴，
∴，
∴大门密码是．
故答案为：525.
【分析】先根据题意得到，，再结合题意依次求出的值即可．
16．【答案】五
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】第五步出现错误，两边除以a+b+c时为考虑是否为零，
故答案为：五.
【分析】根据等式的基本性质“两边同时除以同一个不为零的数，结果仍相等”解答即可.
17．【答案】（1）解：3x-3-2x=-6
3x-2x=-6+3
x=-3
（2）解：x2+3(x+1)=(x+1)x
x2+3x+3=x2+x
2x=-3
X=-
经检验x+1≠0，x≠0，x=是方程的解
【知识点】解含括号的一元一次方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)去括号、移项、合并同类项等步骤解一元次方程；
(2)通过通分转化为整式方程，去括号、移项、合并同类项，分式方程去分母后需验证解.
18．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：，
由①×2-②×5，得
8y-15y＝35，
解得y＝-5，
把y＝-5代入②，得
2x＋3×（-5）＝1，
解得x＝8，
∴方程组的解为
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）去分母、去括号、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（2）将方程左边的同时扩大10倍，再去分母、去括号、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（3）利用加减消元法即可得出答案.
19．【答案】解：（1）选①②得
由，得，
把代入①，得，解得；
∴原方程组的解是；
选①③得
将②代入①，得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解是；
选②③得
将②代入①，得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解是；
（2）原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）任意两两组上成方程组，根据加减消元法或代入消元法解二元一次方程组，计算即可解答；
（2）根据分式的混合运算：先通分算括号里的减法，再算除法，因式分解后约分化简即可得然后代入求值，解答即可．
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：设被污染的数字为x，
∵计算结果等于6，
∴，
解得：，
∴被污染的数字是3．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据有理数混合运算的顺序进行计算即可；
（2）设被污染的数字为x，根据题意得关于x的方程，解方程即可求解.
21．【答案】解：原方程化为
去分母得3(3x+5)=2(2x-1)
去括号得9x+15=4x-2
移项得9x-4x=-2-15
合并同类项得5x=-17
系数化为1得
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】这是一道稍微复杂一点的一元一次方程，主要是等式左边的分式含有小数，只要利用分式的基本性质将分母和分子同时扩大10倍就可以将其转化为不含小数的分式，从而按照正常的求解步骤来解.
22．【答案】（1）4
（2）
（3）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
根据题意得
得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】（1）解：
得：，
故答案为：4；
（2）解：
得：，即，
∵方程组的解满足，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）观察方程组中两个方程未知数的系数，由直接可得；
（2）观察方程组中两个方程未知数的系数，由直接推出，再由得到，解不等式即可得到答案；
（3）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据“ 购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元 ”列出方程13x+5y+3z=33，由“ 购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元 ”列出方程25x+9y+3z=11，联立两方程组成方程组，观察方程组中两个方程未知数的系数，然后用即可得到答案．
（1）解：
得：，
故答案为：4；
（2）解：
得：，即，
∵方程组的解满足，
∴，
∴，
故答案为：
（3）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
根据题意得
得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
23．【答案】（1）4000
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）设小红每步跑米，则小明每步跑米，
由题意得，
解得，
∴总路程为：（米）；
故答案为：；
（2）∵跑完全程小明的用时为分钟，
∴小明每分钟跑：（步），
∵小明每分钟比小红多跑步，
∴小红每分钟跑：（步），
∴小红跑完全程的时间为：（分钟），
∴小明要在终点处等小红的时间为：．
故答案为：．
【分析】（1）设小红每步跑米，则小明每步跑米，进而根据“小明从起点到终点跑了4000步，小红从起点到终点跑了5000步”即可列出一元一次方程，从而即可求解；
（2）先根据题意求出小明每分钟跑的步数，进而得到小红每分钟跑的步数，再求出小红跑完全程的时间，从而即可就出小明要在终点等小红的时间。
24．【答案】（1）300
（2）解：①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，
根据题意得：25x+20（15-x)=350，
解得：x=10，
∴25x=25×10=250（ml)， 20（22-x)=20×（15-10)=100（ml)，
∴小康同学接了250ml温水，100ml开水，
∴这杯水混合后的水温为（250×30+100×100)÷350=50（℃)；
②该小康接开水的时间是y秒，由题意得：
20y×100+（350-20y)·30≥350×40
解得：
∴小康接开水的时间至少是秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
8×25+5×20=300ml
故答案为：300
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法，加法列式计算即可求出答案.
（2）①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②该小康接开水的时间是y秒，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．【答案】解：任务1：∵用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒，且结合图1的信息，
∴，
故答案为：；
任务2：设半径为，
∴，
∴，
∴直径为，
∴高为，
∴无盖圆柱型包装盒的容积为：，
结合任务1得容积为
∵，
∴容积变大．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；圆柱的体积
【解析】【分析】
任务1：根据长方体的体积公式可求解；
任务2：根据底面圆周长=2πr可求出圆柱体的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式S圆柱=S底面×圆柱的高可求得圆柱的体积，将圆柱的体积与任务（1）中长方体的体积比较大小即可判断求解．
26．【答案】解：任务一：设A饰品需要大珠子数量为a，则小珠子为6a，制作B饰品需要大珠子b，小珠子8b，则由题意得，解得
所以制作一个A饰品需要的大珠子数量为3，小珠子数量为18，制作一个B饰品需要的大珠子数量为3，小珠子数量为24；
任务二：设小珠子价格为x元，则大珠子价格为2x元，由题意得
解得x=0.5，经检验x=0.5为方程的解.
故小珠子的售价是元，则大珠子的售价是1元；
任务三：设600购买的珠子刚好可制作A饰品m个，B饰品n个，由题意得
(3m+3n)+0.5(18m+24n)=600整理得，当n=4时，m取最大值45，
故采购大珠子147颗，小珠子906颗，制作A两款饰品45个，B两款饰品4个
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A、B两款饰品需要的小珠子数量分别为a、b，由题意列出二元一次方程组，求解方程组即可；
任务2：设小珠子价格为x，则大珠子价格为2x，由题意列出分式方程，求解方程即可得价格；
任务3：设A、B两款饰品分别制作m、n个，由题意列出不定方程，得m、n的数量关系，即可得m的最大值.
1 / 1

展开更多......

收起↑