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5.1 矩形—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．要使如图所示的□ABCD 成为矩形，需增加的一个条件可以是（　　）
A．AC=BD B．AB=CD C．AB∥CD D．∠ABC=∠ADC
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、由AC=BD，能判定 ABCD是矩形，故符合题意；
B、由AB=CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
C、由AB//CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
D、由∠ABC=∠ADC，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.
2．一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过、两点分别作轴、轴的平行线，
交点为，即为第四个顶点坐标．
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，再作出长方形，最后结合平面直角坐标系直接求出第四个点的坐标即可.
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30 ，AB=2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴∠ABO＝∠ABC ∠OBC＝90° 30°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，则∠OBC＝∠ACB＝30°，进而得∠ABO＝60°，由此得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，据此可得BD的长．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且 连接EF. 若AC=8， 则EF的长为(　　)
A．1 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：D .
【分析】根据矩形性质可得点为中点，根据三角形的中位线定理解答即可．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是DO，AO的中点。若AB=4 ，BC=4，则△OEF的周长为（　　)。
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=4，OA=， OD=，AC=BD，
∴AC=，OA=OD=4，
∵点E、F分别是DO、AO的中点，
∴EF是△OAD的中位线，OE=OF=2，
∴EF==2，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=6，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和勾股定理得出AC，再证明EF是△OAD的中位线，由中位线定理得出OE=OF=OA，即可求出△OEF的周长.
6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-6，0)，点C的坐标为（0，3).以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B' C' ，则点B' 的坐标为（　　)
A．（ - 6， - 3) B．（3， 6)
C．（-6， 3) D．（6， 3)
【答案】B
【知识点】点的坐标；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（-6，0)，点C的坐标为（0，3)
∴OA=6，OC=3
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=OC=3，∠ABC=90°
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B' C'
∴OA'=OA=6，A'B'=AB=3，∠OA'B'=90°
∴A'B'⊥y轴
∴点B'的坐标为（3， 6)
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得OA=6，OC=3，再根据矩形性质可得AB=OC=3，∠ABC=90°，根据旋转性质可得OA'=OA=6，A'B'=AB=3，∠OA'B'=90°，则A'B'⊥y轴，再根据点的坐标即可求出答案.
7．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG，再根据勾股定理即可求出答案.
8．如图，矩形ABCD的边，，，E为AB上一点，且，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EHG=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵是等腰直角三角形，
∴∠FEG=90°，EF=EG，
∴∠AEF+∠GEH=90°，
∴∠AFE=∠GEH，
在和中，
，
∴，
∵AE=1，
∴HG=AE=1，AF=EH，
∴G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上，
∴当点F与点D重合时，CG取得最小值，
∵BC=3，四边形ABCD是矩形，
∴AF=EH=AD=BC=3，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，结合矩形以及等腰直角三角形的性质，利用“一线三垂直”全等模型推出，得HG=AE=1，AF=EH，从而得G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上，进而得当点F与点D重合时，CG取得最小值，然后根据矩形的性质得AF=EH=AD=BC=3，最后利用勾股定理求出的值即可.
二、填空题
9．一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：长方形的面积为，长为，
长方形的宽为．
故答案为：．
【分析】根据长方形面积，结合多项式除以单项式即可求出答案.
10．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是　 　
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
当时， 平行四边形就成为矩形。
故答案为：．
【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有或AC=BD等均可。
11．已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意可得：，再由，可得，再根据直角三角形的性质可得，又，得到进而可求的大小．
12．如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵矩形 ABCD 中， AB = 10 ， AD = 12
∴ CD = 10，∠ D = 90°
∵ R 为 DC 中点
∴ DR =CD = 5
在 Rt△ ADR 中：
AR = == 13
E 、 F 分别为 AP 、 RP 中点
∴ EF 为 △ PAR 中位线
∴ EF =AR =
【分析】借助矩形特征构造 Rt△ ADR ，利用勾股定理求得对角线 AR 。由中点条件识别 EF 为 △ PAR 的中位线，依据中位线性质（等于第三边的一半）得解。本题融合矩形性质、中位线定理与勾股定理的应用。
13．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：①②③是的中点④；其中正确的是　 　．
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正确，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，故③正确；
，，
，
，所以④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质。①由平分，矩形中，得，是等腰直角三角形，故，又，因此，①正确；②通过证明，得，，计算，，故，②正确；③通过证明，得，即是中点，③正确；④由，，得，，④正确。
14．在长方形ABCD中，AB=4，BC=3，CE=2BE，EF=2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，如图所示，则线段PE的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】如图，连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE.
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF=AP，∠PAF=90°，
∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，
∴∠FAE=∠PAG.
在△AEF和△AGP中
∴△AEF≌△AGP(SAS)，∴PG=EF=2，
∵BC=3，CE=2BE，∴BE=1.
在Rt△ABE中，由勾股定理得
∵AG=AE，∠GAE=90°，∴GE=AE=
在△GPE中，PE>GE-PG，
当G，P，E共线时，PE=GE-PG，
∴PE的最小值为
故答案为：.
【分析】连接AE，过点A作 截取AG=AE，连接PG，GE， 通过SAS证明 得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的长.最后在 中，利用三边关系即可得出答案.
三、解答题
15．如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC，过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F。求证：AF=CE。
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD。
∴∠BAE=∠DCF。
∵过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，
∴∠AEB=∠CFD=90°。在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
∴AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE。
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解： 过点E作EM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，∠BAD=135°，∠EAG=75°，
∴∠BAE=∠DAG=30°，∠B=45°，
∵AE=2，
∴ME=1，AM=，
∴BM=ME=1，
∴AB=1+
故答案为：1+.
【分析】 利用菱形的性质，对角线平分每组对角得出∠BAE的度数，进而得出∠B的度数，即可得出BM，AM的长，进而得出答案即可．
16．如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。
（1）若矩形自由采摘区面积为　 　120m2，请你求出AB和BC分别是多少
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2，这一想法能实现吗 请说明理由。
【答案】（1）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)由题意可得：x(39-3x)=120整理得：解得： x1=5， x2=8，当x=5时， 39-3x=24>15， 不符合题意；当x=8时， 39-3x=15， 符合题意；答： AB和BC分别为15m与8m
（2）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，
由题意得：x(39-3x) =130，
整理得：
方程无实数解；所以想法不能实现
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设BC= xm， 则AB= (39-3x)，根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，根据矩形面积建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解.
17．如图，四边形为矩形，对角线，交于点O，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，结合平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据矩形性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结，
（1）如图2，点F与D重合时，
①求的面积．
②当最短时，求的长．
（2）如图3，当时，连结，若，求的长．
【答案】（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题；
②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题；
（2）连结交于点O，连结，设与交于点H，先由矩形的性质可知OD是直角三角形ADF斜边AF上的中线，则OD等于AF的一半，又由矩形的对角线互相平分且相等可证明是等边三角形，则，此时为便于计算可设，则由等边对等角结合三角形外角的性质可得，即，再由三角形的内角和定理可得，再利用三角形的外角的性质可得，则由直角三角形两锐角互余结合同角的余角相等可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理求解即可．
（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
1 / 15.1 矩形—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．要使如图所示的□ABCD 成为矩形，需增加的一个条件可以是（　　）
A．AC=BD B．AB=CD C．AB∥CD D．∠ABC=∠ADC
2．一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30 ，AB=2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且 连接EF. 若AC=8， 则EF的长为(　　)
A．1 B．8 C．4 D．2
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是DO，AO的中点。若AB=4 ，BC=4，则△OEF的周长为（　　)。
A．6 B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-6，0)，点C的坐标为（0，3).以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B' C' ，则点B' 的坐标为（　　)
A．（ - 6， - 3) B．（3， 6)
C．（-6， 3) D．（6， 3)
7．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．如图，矩形ABCD的边，，，E为AB上一点，且，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题
9．一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　．
10．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是　 　
11．已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则　 　.
12．如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是　 　．
13．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：①②③是的中点④；其中正确的是　 　．
14．在长方形ABCD中，AB=4，BC=3，CE=2BE，EF=2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，如图所示，则线段PE的最小值为　 　.
三、解答题
15．如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC，过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F。求证：AF=CE。
16．如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。
（1）若矩形自由采摘区面积为　 　120m2，请你求出AB和BC分别是多少
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2，这一想法能实现吗 请说明理由。
17．如图，四边形为矩形，对角线，交于点O，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
18．如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结，
（1）如图2，点F与D重合时，
①求的面积．
②当最短时，求的长．
（2）如图3，当时，连结，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、由AC=BD，能判定 ABCD是矩形，故符合题意；
B、由AB=CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
C、由AB//CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
D、由∠ABC=∠ADC，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过、两点分别作轴、轴的平行线，
交点为，即为第四个顶点坐标．
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，再作出长方形，最后结合平面直角坐标系直接求出第四个点的坐标即可.
3．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴∠ABO＝∠ABC ∠OBC＝90° 30°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，则∠OBC＝∠ACB＝30°，进而得∠ABO＝60°，由此得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，据此可得BD的长．
4．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：D .
【分析】根据矩形性质可得点为中点，根据三角形的中位线定理解答即可．
5．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=4，OA=， OD=，AC=BD，
∴AC=，OA=OD=4，
∵点E、F分别是DO、AO的中点，
∴EF是△OAD的中位线，OE=OF=2，
∴EF==2，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=6，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和勾股定理得出AC，再证明EF是△OAD的中位线，由中位线定理得出OE=OF=OA，即可求出△OEF的周长.
6．【答案】B
【知识点】点的坐标；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（-6，0)，点C的坐标为（0，3)
∴OA=6，OC=3
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=OC=3，∠ABC=90°
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B' C'
∴OA'=OA=6，A'B'=AB=3，∠OA'B'=90°
∴A'B'⊥y轴
∴点B'的坐标为（3， 6)
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得OA=6，OC=3，再根据矩形性质可得AB=OC=3，∠ABC=90°，根据旋转性质可得OA'=OA=6，A'B'=AB=3，∠OA'B'=90°，则A'B'⊥y轴，再根据点的坐标即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG，再根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EHG=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵是等腰直角三角形，
∴∠FEG=90°，EF=EG，
∴∠AEF+∠GEH=90°，
∴∠AFE=∠GEH，
在和中，
，
∴，
∵AE=1，
∴HG=AE=1，AF=EH，
∴G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上，
∴当点F与点D重合时，CG取得最小值，
∵BC=3，四边形ABCD是矩形，
∴AF=EH=AD=BC=3，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，结合矩形以及等腰直角三角形的性质，利用“一线三垂直”全等模型推出，得HG=AE=1，AF=EH，从而得G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上，进而得当点F与点D重合时，CG取得最小值，然后根据矩形的性质得AF=EH=AD=BC=3，最后利用勾股定理求出的值即可.
9．【答案】
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：长方形的面积为，长为，
长方形的宽为．
故答案为：．
【分析】根据长方形面积，结合多项式除以单项式即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
当时， 平行四边形就成为矩形。
故答案为：．
【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有或AC=BD等均可。
11．【答案】
【知识点】角的运算；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意可得：，再由，可得，再根据直角三角形的性质可得，又，得到进而可求的大小．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵矩形 ABCD 中， AB = 10 ， AD = 12
∴ CD = 10，∠ D = 90°
∵ R 为 DC 中点
∴ DR =CD = 5
在 Rt△ ADR 中：
AR = == 13
E 、 F 分别为 AP 、 RP 中点
∴ EF 为 △ PAR 中位线
∴ EF =AR =
【分析】借助矩形特征构造 Rt△ ADR ，利用勾股定理求得对角线 AR 。由中点条件识别 EF 为 △ PAR 的中位线，依据中位线性质（等于第三边的一半）得解。本题融合矩形性质、中位线定理与勾股定理的应用。
13．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正确，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，故③正确；
，，
，
，所以④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质。①由平分，矩形中，得，是等腰直角三角形，故，又，因此，①正确；②通过证明，得，，计算，，故，②正确；③通过证明，得，即是中点，③正确；④由，，得，，④正确。
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】如图，连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE.
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF=AP，∠PAF=90°，
∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，
∴∠FAE=∠PAG.
在△AEF和△AGP中
∴△AEF≌△AGP(SAS)，∴PG=EF=2，
∵BC=3，CE=2BE，∴BE=1.
在Rt△ABE中，由勾股定理得
∵AG=AE，∠GAE=90°，∴GE=AE=
在△GPE中，PE>GE-PG，
当G，P，E共线时，PE=GE-PG，
∴PE的最小值为
故答案为：.
【分析】连接AE，过点A作 截取AG=AE，连接PG，GE， 通过SAS证明 得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的长.最后在 中，利用三边关系即可得出答案.
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD。
∴∠BAE=∠DCF。
∵过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，
∴∠AEB=∠CFD=90°。在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
∴AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE。
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解： 过点E作EM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，∠BAD=135°，∠EAG=75°，
∴∠BAE=∠DAG=30°，∠B=45°，
∵AE=2，
∴ME=1，AM=，
∴BM=ME=1，
∴AB=1+
故答案为：1+.
【分析】 利用菱形的性质，对角线平分每组对角得出∠BAE的度数，进而得出∠B的度数，即可得出BM，AM的长，进而得出答案即可．
16．【答案】（1）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)由题意可得：x(39-3x)=120整理得：解得： x1=5， x2=8，当x=5时， 39-3x=24>15， 不符合题意；当x=8时， 39-3x=15， 符合题意；答： AB和BC分别为15m与8m
（2）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，
由题意得：x(39-3x) =130，
整理得：
方程无实数解；所以想法不能实现
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设BC= xm， 则AB= (39-3x)，根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，根据矩形面积建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解.
17．【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，结合平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据矩形性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．【答案】（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题；
②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题；
（2）连结交于点O，连结，设与交于点H，先由矩形的性质可知OD是直角三角形ADF斜边AF上的中线，则OD等于AF的一半，又由矩形的对角线互相平分且相等可证明是等边三角形，则，此时为便于计算可设，则由等边对等角结合三角形外角的性质可得，即，再由三角形的内角和定理可得，再利用三角形的外角的性质可得，则由直角三角形两锐角互余结合同角的余角相等可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理求解即可．
（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
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