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5.2菱形—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A=90° B．∠B=∠C C．AC=BD D．AC⊥BD
2．（2025八下·路桥期中）如图，在菱形中，，，则对角线的长为（　　）
A． B．6 C． D．
3．（2025八下·海曙期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．矩形的邻边不能相等
B．菱形的对角线不能相等
C．矩形的对角线不能相互垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
4．（2025九上·拱墅月考） 如图，在菱形ABCD中，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·北仑期末） 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形．
下列说法正确的是（　　）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
6．如图，小美同学按如下步骤作四边形 ABCD：①画∠MAN；②以点 A 为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN 于点 B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连结BC，CD，BD.若∠A=44°，则∠CBD的大小是(　　)
A．64° B．66° C．68° D．70°
7．（2025九上·拱墅月考） 如图，菱形 ABCD 中，，点 E 在 CD 边上，点 F 在菱形 ABCD 外部，且满足 ，. 连结 AF、CF，取 AF 的中点 G，连结 BG，AC. 则下列结论：
① 是等边三角形；②；③ BG 垂直平分 AC；④.
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025·临安模拟）如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图， 在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形． 小米的作法是： 连结 ， 作 的垂直平分线 分别交 于点 ， 连结 ， 则四边形 是菱形．则小米的依据是　 　
10．若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为　 　.
11．（2023·仙居模拟）关于某个四边形的三个特征描述：①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③一组邻边相等. 选择其中两个作为条件，另一个作为结论. 若该命题是假命题，则选择的条件是　 　.（填序号）
12．（2025八下·宁波期中）如图，在菱形的面积为12，点是的中点，点是BE上一点。若的面积为2，则图中阴影部分的面积为　 　.
13． 如图，在菱形 ABCD 中，∠B=60°，点E 在边 AB 上，连结 EC，将 EC 绕点 C 旋转，点E 恰好落在边 AD 上的点 F 处，且BE = AF. 若 CD = 4，EF =，则BE=　 　．
14．（2025八下·柯桥月考）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：
①当P为BD中点时，则PE＝PF；②PE+PF＝h；
③∠EPF+∠A＝180°；④若AB＝2，∠EPF＝60°，连结PC，则PE+PC有最小值为2；
⑤若h＝2，∠EPF＝60°，连结EF，则S△PEF的最大值为．
其中正确的结论有　 　(填序号）．
三、解答题
15．（2025八下·海宁月考）如图，矩形的对角线，相交于点O，．
求证：四边形是菱形．
16．小惠自编一题： “如图， 在四边形 中， 对角线 交于点 ． 求证： 四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才 能证明．
垂直平分 ．
，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “ √ ”；若赞成小洁的说法， 请你补充一个条件， 并证明．
17．（2019八下·天台期中）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6． 请求出菱形ABCD的周长和面积．
18．（2025八下·温州期中）【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．
【数学思考】
如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由．
【深入探究】
如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连结交于点．
①若是的中点，，，求的长．
②过点作交于点，若，求证：是的中点．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、已知四边形ABCD是平行四边形
∴当∠A=90°，平行四边形ABCD是矩形
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
B、已知四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠B=∠C时，则∠B=∠C=90°，此时 ABCD为矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形；
故该选项不符合题意；
C、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
D、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴不能判定 ABCD为矩形，
故该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得AB//CD，则∠B+∠C=180°，然后根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等得AD=AB=6，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边是哪些得出△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得BD=AB=6.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】A选项：矩形的邻边长度可以相等，当邻边相等时，矩形就转化为正方形，故A不正确。
B选项：菱形的对角线长度不一定相等，当对角线相等时，菱形就转化为正方形，故B不正确。
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，当对角线互相垂直时，矩形就转化为正方形，故C不正确。
D选项：平行四边形的对角线可以具备互相垂直的性质，当对角线互相垂直时，平行四边形就转化为菱形，故D正确。
故答案选：D。
【分析】本题主要考查几何图形的性质判定。通过分析矩形、菱形、平行四边形等特殊四边形的性质变化，判断各选项命题的真伪。当四边形满足某些特殊条件时，会转化为更高一级的特殊四边形（如矩形→正方形，菱形→正方形，平行四边形→菱形），这是解题的关键依据。
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵ABCD为菱形
∴∠ABD=∠ABC=40°
∵BA=BE
∴∠BAE=
故答案为：A .
【分析】由菱形的性质知∠ABE=∠ABC，再由等腰三角形的性质可得∠BAE的度数.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】根据北北的作法可知，AD=AE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形AEFD为菱形，故北北作法是正确的；
根据仑仑的作法可知，AD=DG=GH，
无法判断四边形AEFD为平行四边形，故仑仑的作法是错误的，
故答案为：C.
【分析】结合北北和仑仑作图方法，根据平行四边形的性质，菱形的判定方法，分别进行判断即可.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图知AB=AD=BC=CD=1，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=44°，
在中，CB=CD，
∴，
故答案为：C.
【分析】首先根据作图可以得到AB=AD=BC=CD=1，然后用菱形的定义得到四边形ABCD是菱形，然后利用菱形的性质得到∠A=∠C，然后利用三角形内角和定理得到∠CBD的度数.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠BCD=180°-∠ABC=60°
∵EF||AD
∴∠CEF=∠BCD=60°
又∵CE=EF
∴△CEF是等边三角形，故①正确；
∵ABCD为菱形
∴∠ACD=∠BCD=30°
∵ECF=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°
∵G为AF的中点
∴AG=CG，故②正确；
在∵△ABG和△CBG中
∴△ABG≌△CCBG(SSS)
∴∠ABG=∠CBG
∴BG平分∠ABC
又∵BA=BC
∴BG垂直平分AC，故③正确；
设AC与BG交于点H，
∵O为AC的中点，G为AF的中点
∴OG=CF
∴OG=CE
∵∠ACB=30°
∴OB=BC=AD
∴BG=CB+CE
即2BG=AD+CE，故正确；
综合所述①②③④正确.
故答案为：D .
【分析】①由菱形的性质和平行的性质得∠CEF=60°，由CE=EF得△CEF为等边三角形；
②∠ACF=90°，G为AF的中点，即可得AG=CG；
③由BA=BC，AG=CG，BG=BG可得△ABG≌△CCBG(SSS)，得BG平分∠ABC，又BA=BC得BG垂直平分AC；
④AC与BG交于点O，由中位线定理得OG=CF，由BCO=30得OB=BC，于是BG=CB+CE，即有.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：连接交于，连接，如图所示，
∵四边形是菱形，点M是AC的中点，
∴AB=BC，点M在BD的中点，即对角线AC与BD的交点，
∴BM⊥CM，
∴△MBC是直角三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=∠ABC=60°，∠MCD=∠DCB=30°，
∴CM=BCsin∠MBC=，
∵四边形CEFG是菱形，∠GCE=120°，
∴GF∥CE，∠GCF=∠GCE=60°，
∴∠FPQ=∠PQC，∠PFC=∠FCQ，△CEF是等边三角形，
∴CF=CE=4，
又∵PF=CQ，
∴△PRF≌△QRC（ASA），
∴PR=QR，RF=RC
∴R是PQ的中点，
又∵N是PQ的中点，
∴R、N两点重合，
∴CN=FN=CF=2，
∵∠MCD=30°，∠GCF=60°，
∴∠MCN=∠MCD+∠GCF=90°，
∴△MCN是直角三角形，
根据勾股定理可得：MN==，
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，证明△MBC是直角三角形，利用三角函数求得CM=， 再证明是等边三角形，得到；由四边形CEFG是菱形，易得△PRF≌△QRC，可证R、N两点重合，再根据∠MCD=30°，∠GCF=60°，可得 ∠MCN=90°，最后根据勾股定理可得：MN==，
9．【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON，
∵AD∥BC，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中
∴△AOM≌△CON（AAS）
∴AM＝CN，
又∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】由MN垂直平分AC，推出△AOM≌△CON，从而得出AM＝CN，再根据AM∥CN，推出四边形AMCN是平行四边形，再由MN⊥AC，即可得出四边形AMCN是菱形，即可得出答案．
10．【答案】24
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是菱形，
，
，
.
故答案为：24.
【分析】由菱形的性质可得，再利用割补法通过三角形的面积公式计算出菱形面积.
11．【答案】①③
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如果选择①②作为条件，③作为结论，该命题是真命题，理由如下：
∵一个四边形的对角线互相平分，
∴该四边形是平行四边形，
∵平行四边形的对角线互相垂直
∴该平行四边形是是菱形，
∵菱形的四边相等，∴该四边形的一组邻边相等，
∴选择①②作为条件，③作为结论，该命题是真命题；
如果选择②③作为条件，①作为结论，该命题是真命题，理由如下：
∵一个四边形的对角线互相平分，
∴该四边形是平行四边形，
∵平行四边形的一组邻边相等
∴该平行四边形是菱形，
∴该四边形的对角线互相垂直，
∴选择②②作为条件，①作为结论，该命题是真命题；
如果选择①③作为条件，②作为结论，该命题是假命题，理由如下：
因为一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形可能是筝形，而筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线，而不是互相垂直平分，
所以选择①③作为条件，②作为结论，该命题是假命题.
故答案为：①③.
【分析】 选择其中两个作为条件，另一个作为结论共有三种情况：①②作为条件，③作为结论； ②③作为条件，①作为结论；①③作为条件，②作为结论；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，而菱形的对角线垂直平分且四边相等；筝形满足对角线互相垂直，一组邻边相等，即可一一判断得出答案.
12．【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的边长为a，高为h
则S菱形=ah=12
∵E为AB中点，
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
∴S阴影=S菱形-S△AED-S△BEF-S△CDF=12-3-2-2=5
故答案为：5.
【分析】根据题意，阴影部分的面积等于菱形的面积减三个三角形的面积，所以只需计算三个三角形的面积即可，再将三角形的底和高与菱形的底和高对比，得到比例关系，即可求出每个三角形的面积.
13．【答案】1或3
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：过点C作CG⊥AD于点G，连接AC.
①当F在点G的左侧时，
∵四边形ABCD是菱形，CD=4，
∴AB=BC=CD=DC=4，∠B=∠D.
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°.
∵BE=AF，
∴AE=AB-BE，DF=AD-AF，即AE=DF.
又∵将EC绕点C旋转，点E恰好落在边AD上的点F处，
∴CE=CF.
∴△BCE≌△ACF（SSS），
∴∠BCE=∠ACF，
∴∠ECF=∠ACB=60°，
又∵CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴CF=EF=，
在Rt△CDG中，CD=4，∠GCD=90°-∠D=30°，
∴.
由勾股定理，得，.
∴AF=AD-FG-DG=4-2-1=1.
∴BE=1.
②当F在点G的右侧时，
与①同理可得BE=AF，DG=2，FG=1，
∴DF=DG-FG=2-1=1，
∴AF=AD-DF=4-1=3，
∴BE=3.
故答案为：1或3.
【分析】先作图再分情况讨论，根据菱形的性质，证明△ABC为等边三角形；再根据旋转的性质，证明△BCE≌△ACF，进而证明△CEF是等边三角形；接着根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理，求出与BE相关的边的长度，进而求出BE的长度.
14．【答案】①②③
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：①如图：
∵菱形ABCD
∴PB=PD，
∴CA平分∠BCD，
∵PE⊥BC， PF⊥CD，
∴PE=PF.
∴①正确，
②如图：延长EP交AD于F'，
∵菱形ABCD，
∴AD//BC，
∵PE⊥BC，
∴PF'⊥AD.
∵菱形ABCD，
∴DB平分∠ADC，
∵PF⊥CD，PF'⊥AD，
∴PF=PF’
∴PE+PF=PE+PF'=EF'=h.
∴②正确，
③∵菱形ABCD，
∴∠BAD=∠BCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC+∠PFC=90°+90°=180°，
∴∠EPF+∠BCD=360°-(∠PEC+∠PFC)=180°，
∴∠EPF+∠BAD=180°
∴③正确，
④过C作CE'⊥AB，交BD于P，
∵PE=PE'，
∴CE'=CP+PE'=CP+PE.
∵CE'最小，
∴PE+PC最小.
∵AB=2，
∴，
∴，
∴PE+PC最小值.
∴④错误.
④过F作FG⊥PE，
设PE=x，
由②知PF=h-PE=2-x，
∵PF⊥CD，又∠PDF=30°，
∴∠DPF=60°，
∴∠GPF=180°-∠BPE-∠DPF=60°，
∴，
∴，
∴
∴⑤错误，
故答案为：①②③.
【分析】①运用菱形的对角线平分对角解答即可；②运用菱形的对称性解答即可；③运用姜形的对角相等解答即可；④利用垂线段最短解答即可；⑤设PE=x，再换算出，，再配方解答即可.
15．【答案】证明：，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，先证明出四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可证明出四边形是菱形．
16．【答案】解：赞成小洁的说法， 补充条件： ，
证明如下：
，
四边形ABCD是平行四边形．
又
∴ 平行四边形 是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析解答即可.
17．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=4，OD=3，
∴ ，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4×5＝20，
菱形ABCD的面积＝ .
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出AD，然后根据菱形周长和面积的求法计算即可.
18．【答案】解：[数学思考]是“倍线平行四边形”．理由：在中，，．
，
，
，
，
，
，
是“倍线平行四边形”．
[深入探究]
①是“倍线平行四边形”，
，
．
设，则．
，，
，
，
，
．
是的中点，且，
．
②证明：如图，过点作的延长线于点．
，
．
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
，．
又，
，
∴，
，，
，
，
是的中点
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题综合考查了平行四边形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题需灵活运用相关几何知识。
[数学思考] 由条件可得是菱形，已知，则对角线。运用勾股定理计算得，因此，满足的关系，故该平行四边形符合"倍线平行四边形"的定义。
[深入探究]
① 根据"倍线平行四边形"的性质可得，即。设，则，通过勾股定理解得。再利用勾股定理求，结合30°直角三角形的性质可得的值。
② 作辅助线延长线于点。先证四边形为平行四边形，得且。再证明两对全等三角形：和，最终得出的结论。
1 / 15.2菱形—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A=90° B．∠B=∠C C．AC=BD D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、已知四边形ABCD是平行四边形
∴当∠A=90°，平行四边形ABCD是矩形
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
B、已知四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠B=∠C时，则∠B=∠C=90°，此时 ABCD为矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形；
故该选项不符合题意；
C、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
D、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴不能判定 ABCD为矩形，
故该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得AB//CD，则∠B+∠C=180°，然后根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案.
2．（2025八下·路桥期中）如图，在菱形中，，，则对角线的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等得AD=AB=6，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边是哪些得出△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得BD=AB=6.
3．（2025八下·海曙期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．矩形的邻边不能相等
B．菱形的对角线不能相等
C．矩形的对角线不能相互垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】A选项：矩形的邻边长度可以相等，当邻边相等时，矩形就转化为正方形，故A不正确。
B选项：菱形的对角线长度不一定相等，当对角线相等时，菱形就转化为正方形，故B不正确。
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，当对角线互相垂直时，矩形就转化为正方形，故C不正确。
D选项：平行四边形的对角线可以具备互相垂直的性质，当对角线互相垂直时，平行四边形就转化为菱形，故D正确。
故答案选：D。
【分析】本题主要考查几何图形的性质判定。通过分析矩形、菱形、平行四边形等特殊四边形的性质变化，判断各选项命题的真伪。当四边形满足某些特殊条件时，会转化为更高一级的特殊四边形（如矩形→正方形，菱形→正方形，平行四边形→菱形），这是解题的关键依据。
4．（2025九上·拱墅月考） 如图，在菱形ABCD中，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵ABCD为菱形
∴∠ABD=∠ABC=40°
∵BA=BE
∴∠BAE=
故答案为：A .
【分析】由菱形的性质知∠ABE=∠ABC，再由等腰三角形的性质可得∠BAE的度数.
5．（2025八下·北仑期末） 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形．
下列说法正确的是（　　）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】根据北北的作法可知，AD=AE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形AEFD为菱形，故北北作法是正确的；
根据仑仑的作法可知，AD=DG=GH，
无法判断四边形AEFD为平行四边形，故仑仑的作法是错误的，
故答案为：C.
【分析】结合北北和仑仑作图方法，根据平行四边形的性质，菱形的判定方法，分别进行判断即可.
6．如图，小美同学按如下步骤作四边形 ABCD：①画∠MAN；②以点 A 为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN 于点 B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连结BC，CD，BD.若∠A=44°，则∠CBD的大小是(　　)
A．64° B．66° C．68° D．70°
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图知AB=AD=BC=CD=1，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=44°，
在中，CB=CD，
∴，
故答案为：C.
【分析】首先根据作图可以得到AB=AD=BC=CD=1，然后用菱形的定义得到四边形ABCD是菱形，然后利用菱形的性质得到∠A=∠C，然后利用三角形内角和定理得到∠CBD的度数.
7．（2025九上·拱墅月考） 如图，菱形 ABCD 中，，点 E 在 CD 边上，点 F 在菱形 ABCD 外部，且满足 ，. 连结 AF、CF，取 AF 的中点 G，连结 BG，AC. 则下列结论：
① 是等边三角形；②；③ BG 垂直平分 AC；④.
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠BCD=180°-∠ABC=60°
∵EF||AD
∴∠CEF=∠BCD=60°
又∵CE=EF
∴△CEF是等边三角形，故①正确；
∵ABCD为菱形
∴∠ACD=∠BCD=30°
∵ECF=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°
∵G为AF的中点
∴AG=CG，故②正确；
在∵△ABG和△CBG中
∴△ABG≌△CCBG(SSS)
∴∠ABG=∠CBG
∴BG平分∠ABC
又∵BA=BC
∴BG垂直平分AC，故③正确；
设AC与BG交于点H，
∵O为AC的中点，G为AF的中点
∴OG=CF
∴OG=CE
∵∠ACB=30°
∴OB=BC=AD
∴BG=CB+CE
即2BG=AD+CE，故正确；
综合所述①②③④正确.
故答案为：D .
【分析】①由菱形的性质和平行的性质得∠CEF=60°，由CE=EF得△CEF为等边三角形；
②∠ACF=90°，G为AF的中点，即可得AG=CG；
③由BA=BC，AG=CG，BG=BG可得△ABG≌△CCBG(SSS)，得BG平分∠ABC，又BA=BC得BG垂直平分AC；
④AC与BG交于点O，由中位线定理得OG=CF，由BCO=30得OB=BC，于是BG=CB+CE，即有.
8．（2025·临安模拟）如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：连接交于，连接，如图所示，
∵四边形是菱形，点M是AC的中点，
∴AB=BC，点M在BD的中点，即对角线AC与BD的交点，
∴BM⊥CM，
∴△MBC是直角三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=∠ABC=60°，∠MCD=∠DCB=30°，
∴CM=BCsin∠MBC=，
∵四边形CEFG是菱形，∠GCE=120°，
∴GF∥CE，∠GCF=∠GCE=60°，
∴∠FPQ=∠PQC，∠PFC=∠FCQ，△CEF是等边三角形，
∴CF=CE=4，
又∵PF=CQ，
∴△PRF≌△QRC（ASA），
∴PR=QR，RF=RC
∴R是PQ的中点，
又∵N是PQ的中点，
∴R、N两点重合，
∴CN=FN=CF=2，
∵∠MCD=30°，∠GCF=60°，
∴∠MCN=∠MCD+∠GCF=90°，
∴△MCN是直角三角形，
根据勾股定理可得：MN==，
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，证明△MBC是直角三角形，利用三角函数求得CM=， 再证明是等边三角形，得到；由四边形CEFG是菱形，易得△PRF≌△QRC，可证R、N两点重合，再根据∠MCD=30°，∠GCF=60°，可得 ∠MCN=90°，最后根据勾股定理可得：MN==，
二、填空题
9．如图， 在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形． 小米的作法是： 连结 ， 作 的垂直平分线 分别交 于点 ， 连结 ， 则四边形 是菱形．则小米的依据是　 　
【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON，
∵AD∥BC，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中
∴△AOM≌△CON（AAS）
∴AM＝CN，
又∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】由MN垂直平分AC，推出△AOM≌△CON，从而得出AM＝CN，再根据AM∥CN，推出四边形AMCN是平行四边形，再由MN⊥AC，即可得出四边形AMCN是菱形，即可得出答案．
10．若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为　 　.
【答案】24
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是菱形，
，
，
.
故答案为：24.
【分析】由菱形的性质可得，再利用割补法通过三角形的面积公式计算出菱形面积.
11．（2023·仙居模拟）关于某个四边形的三个特征描述：①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③一组邻边相等. 选择其中两个作为条件，另一个作为结论. 若该命题是假命题，则选择的条件是　 　.（填序号）
【答案】①③
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如果选择①②作为条件，③作为结论，该命题是真命题，理由如下：
∵一个四边形的对角线互相平分，
∴该四边形是平行四边形，
∵平行四边形的对角线互相垂直
∴该平行四边形是是菱形，
∵菱形的四边相等，∴该四边形的一组邻边相等，
∴选择①②作为条件，③作为结论，该命题是真命题；
如果选择②③作为条件，①作为结论，该命题是真命题，理由如下：
∵一个四边形的对角线互相平分，
∴该四边形是平行四边形，
∵平行四边形的一组邻边相等
∴该平行四边形是菱形，
∴该四边形的对角线互相垂直，
∴选择②②作为条件，①作为结论，该命题是真命题；
如果选择①③作为条件，②作为结论，该命题是假命题，理由如下：
因为一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形可能是筝形，而筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线，而不是互相垂直平分，
所以选择①③作为条件，②作为结论，该命题是假命题.
故答案为：①③.
【分析】 选择其中两个作为条件，另一个作为结论共有三种情况：①②作为条件，③作为结论； ②③作为条件，①作为结论；①③作为条件，②作为结论；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，而菱形的对角线垂直平分且四边相等；筝形满足对角线互相垂直，一组邻边相等，即可一一判断得出答案.
12．（2025八下·宁波期中）如图，在菱形的面积为12，点是的中点，点是BE上一点。若的面积为2，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的边长为a，高为h
则S菱形=ah=12
∵E为AB中点，
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
∴S阴影=S菱形-S△AED-S△BEF-S△CDF=12-3-2-2=5
故答案为：5.
【分析】根据题意，阴影部分的面积等于菱形的面积减三个三角形的面积，所以只需计算三个三角形的面积即可，再将三角形的底和高与菱形的底和高对比，得到比例关系，即可求出每个三角形的面积.
13． 如图，在菱形 ABCD 中，∠B=60°，点E 在边 AB 上，连结 EC，将 EC 绕点 C 旋转，点E 恰好落在边 AD 上的点 F 处，且BE = AF. 若 CD = 4，EF =，则BE=　 　．
【答案】1或3
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：过点C作CG⊥AD于点G，连接AC.
①当F在点G的左侧时，
∵四边形ABCD是菱形，CD=4，
∴AB=BC=CD=DC=4，∠B=∠D.
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°.
∵BE=AF，
∴AE=AB-BE，DF=AD-AF，即AE=DF.
又∵将EC绕点C旋转，点E恰好落在边AD上的点F处，
∴CE=CF.
∴△BCE≌△ACF（SSS），
∴∠BCE=∠ACF，
∴∠ECF=∠ACB=60°，
又∵CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴CF=EF=，
在Rt△CDG中，CD=4，∠GCD=90°-∠D=30°，
∴.
由勾股定理，得，.
∴AF=AD-FG-DG=4-2-1=1.
∴BE=1.
②当F在点G的右侧时，
与①同理可得BE=AF，DG=2，FG=1，
∴DF=DG-FG=2-1=1，
∴AF=AD-DF=4-1=3，
∴BE=3.
故答案为：1或3.
【分析】先作图再分情况讨论，根据菱形的性质，证明△ABC为等边三角形；再根据旋转的性质，证明△BCE≌△ACF，进而证明△CEF是等边三角形；接着根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理，求出与BE相关的边的长度，进而求出BE的长度.
14．（2025八下·柯桥月考）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：
①当P为BD中点时，则PE＝PF；②PE+PF＝h；
③∠EPF+∠A＝180°；④若AB＝2，∠EPF＝60°，连结PC，则PE+PC有最小值为2；
⑤若h＝2，∠EPF＝60°，连结EF，则S△PEF的最大值为．
其中正确的结论有　 　(填序号）．
【答案】①②③
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：①如图：
∵菱形ABCD
∴PB=PD，
∴CA平分∠BCD，
∵PE⊥BC， PF⊥CD，
∴PE=PF.
∴①正确，
②如图：延长EP交AD于F'，
∵菱形ABCD，
∴AD//BC，
∵PE⊥BC，
∴PF'⊥AD.
∵菱形ABCD，
∴DB平分∠ADC，
∵PF⊥CD，PF'⊥AD，
∴PF=PF’
∴PE+PF=PE+PF'=EF'=h.
∴②正确，
③∵菱形ABCD，
∴∠BAD=∠BCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC+∠PFC=90°+90°=180°，
∴∠EPF+∠BCD=360°-(∠PEC+∠PFC)=180°，
∴∠EPF+∠BAD=180°
∴③正确，
④过C作CE'⊥AB，交BD于P，
∵PE=PE'，
∴CE'=CP+PE'=CP+PE.
∵CE'最小，
∴PE+PC最小.
∵AB=2，
∴，
∴，
∴PE+PC最小值.
∴④错误.
④过F作FG⊥PE，
设PE=x，
由②知PF=h-PE=2-x，
∵PF⊥CD，又∠PDF=30°，
∴∠DPF=60°，
∴∠GPF=180°-∠BPE-∠DPF=60°，
∴，
∴，
∴
∴⑤错误，
故答案为：①②③.
【分析】①运用菱形的对角线平分对角解答即可；②运用菱形的对称性解答即可；③运用姜形的对角相等解答即可；④利用垂线段最短解答即可；⑤设PE=x，再换算出，，再配方解答即可.
三、解答题
15．（2025八下·海宁月考）如图，矩形的对角线，相交于点O，．
求证：四边形是菱形．
【答案】证明：，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，先证明出四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可证明出四边形是菱形．
16．小惠自编一题： “如图， 在四边形 中， 对角线 交于点 ． 求证： 四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才 能证明．
垂直平分 ．
，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “ √ ”；若赞成小洁的说法， 请你补充一个条件， 并证明．
【答案】解：赞成小洁的说法， 补充条件： ，
证明如下：
，
四边形ABCD是平行四边形．
又
∴ 平行四边形 是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析解答即可.
17．（2019八下·天台期中）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6． 请求出菱形ABCD的周长和面积．
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=4，OD=3，
∴ ，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4×5＝20，
菱形ABCD的面积＝ .
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出AD，然后根据菱形周长和面积的求法计算即可.
18．（2025八下·温州期中）【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．
【数学思考】
如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由．
【深入探究】
如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连结交于点．
①若是的中点，，，求的长．
②过点作交于点，若，求证：是的中点．
【答案】解：[数学思考]是“倍线平行四边形”．理由：在中，，．
，
，
，
，
，
，
是“倍线平行四边形”．
[深入探究]
①是“倍线平行四边形”，
，
．
设，则．
，，
，
，
，
．
是的中点，且，
．
②证明：如图，过点作的延长线于点．
，
．
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
，．
又，
，
∴，
，，
，
，
是的中点
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题综合考查了平行四边形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题需灵活运用相关几何知识。
[数学思考] 由条件可得是菱形，已知，则对角线。运用勾股定理计算得，因此，满足的关系，故该平行四边形符合"倍线平行四边形"的定义。
[深入探究]
① 根据"倍线平行四边形"的性质可得，即。设，则，通过勾股定理解得。再利用勾股定理求，结合30°直角三角形的性质可得的值。
② 作辅助线延长线于点。先证四边形为平行四边形，得且。再证明两对全等三角形：和，最终得出的结论。
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