资源简介

5.3 正方形—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是 (　　)
A．一般的平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、一般的平行四边形，其对角线仅互相平分，不满足 “垂直且相等” 的条件，A不符合题意；
B、矩形，其对角线互相平分且相等，但不满足 “垂直” 的条件，B不符合题意；
C、菱形，其对角线互相平分且垂直，但不满足 “相等” 的条件，C不符合题意；
D、正方形，其对角线同时具备互相垂直、平分且相等的性质，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分，矩形对角线互相平分且相等，菱形对角线互相平分且垂直，正方形对角线同时满足互相垂直、平分、相等.
2．已知四边形 ABCD 是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD 是正方形，则需要添加条件 (　　)
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ADB=30° D．AC=AB
【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD中AC⊥BD，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得ABCD是菱形；菱形判定为正方形的条件是 “有一个内角是直角” 或 “对角线相等”.
A、AB=BC，菱形本身邻边相等，此条件是菱形的固有性质，无法判定为正方形，A不符合题意；
B、∠ABC=90°，菱形中一个内角为直角，则所有内角均为直角，符合正方形的判定条件，B符合题意；
C、∠ADB=30°，仅说明菱形内的一个锐角，无法推出内角为直角或对角线相等，不能判定为正方形，C不符合题意；
D、AC=AB，仅说明对角线与边长相等，无法判定为正方形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定ABCD为菱形；再结合 “有一个内角是直角的菱形是正方形” 这一判定定理，逐一分析选项是否满足条件，从而得出结论.
3． 如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是（　　）
A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，
所以可添加条件∠ABC=90°或AC=BD.
故答案为：C.
【分析】菱形判定为正方形的两个核心条件（有一个内角是直角、对角线相等），逐一分析选项是否满足该条件即可得出结论.
4．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=（　　）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH=AE=4，AH=BE=3
∴EH=AE-AH=4-3=1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE=90°
∴
故选：C.
【分析】由全等三角形的性质得DH=AE=4，AH=BE=3，则EH=AE-AH=1， 而∠DHE=90°， 根据勾股定理即可求解.
5．把一张四边形纸片分别进行如下操作，下列操作结果能判定它是正方形的是 (　　).
A．沿一条对角线所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合
B．沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合
C．绕对角线交点旋转90°，能与自身重合
D．绕对角线交点旋转180°，能与自身重合
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合，可能是菱形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
B.沿一条边的垂直平分线翻折，两旁的部分能互相重，可能是矩形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
C.绕对角线交点旋转90°，能与自身重合，是正方形，故该选项正确，符合题意；
D.绕对角线交点旋转180°，能与自身重合，是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解.
6．如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（　　）
A．8﹣3 B．9﹣3 C．3 ﹣3 D．3 ﹣2
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，
∴两个正方形的边长分别为3和；
∴阴影部分的面积为：.
故答案为：C.
【分析】利用正方形的面积可求出两个正方形的边长，利用平移法将两个阴影部分放在一起，可得到一个矩形，边长分别为和；然后利用矩形的面积公式矩形计算即可.
7．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∴在正方形中，，
，
由正方形性质得，，
在和中
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
，
，
A、，不是定值，故A不符合题意；
B、，不是定值，故B不符合题意；
C、，不是定值，故C不符合题意；
D、，是定值，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】设BC=m，结合图形可得FC=x-m，由正方形性质得AG=GF=FC=AC=x-m，根据线段的和差得EG=x-m-y；用HL判断出Rt△AGE≌Rt△ACB，由全等三角形的对应边相等得EG=BC=m，从而推出， 然后用含x、y的式子表示出GA、GE、BC，在Rt△AGE中，由勾股定理得AE2=AG2+GE2，然后根据几何图形面积计算公式分别用含x、y的式子表示S1、S2，根据S1=6S2建立方程可得， 据此即可对各个选项进行判断得出答案.
8． 如图，P是正方形 ABCD 内一点，，，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是正方形， ∠APD =90°，
∴BA = BC = AD =CD， ∠BFA=∠APD =90°， ∠PHD=∠HDE=∠PED=90°，
∴四边形PEDH是矩形，
∵∠PED =∠BCD = 90°，
∴PE∥BC，
∴BP=BC，
∵BP=BA，
∴AF=PF，
∵∠ABF+∠BAF=90°， ∠DAP+∠BAF=∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠DAP，
在△ABF和△DAP中，
∴△ABF≌△DAP(AAS)，
∴AF=DP，
∴AP=2AF=2DP，
设 则
，
∴DE=PH=2m，
∴CE=CD-DE=5m-2m =3m，
，
故答案为：C .
【分析】作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E， 则四边形PEDH是矩形，即可得到AF= PF， 推导出∠ABF=∠DAP， 进而得到△ABF≌△DAP， 得AF =DP， 则AP=2AF=2DP， 设 则AP=2 求得 =5m， 根据三角形的面积求出DE=PH = 2m， 则CE = 3m ，即可得到 求得 即可求出比值解答即可.
二、填空题
9． 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点 A落在BC上的点F 处，折痕为 BE.若沿EF 剪下，则四边形ABFE 是一个正方形，其数学原理是　 　.
【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：由矩形 ABCD 可知，∠A=∠B=90°.
折叠后点 A 落在 BC 上的点 E 处，故 AB=BE.
沿 EF 剪下后，四边形 ABFE 有三个角是直角（∠A=∠B=∠EFB=90°），因此它是矩形.
又因为 AB=BE，根据 “有一组邻边相等的矩形是正方形”，可判定四边形 ABFE 是正方形.
故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形.
【分析】先判定四边形 ABFE 是矩形；再利用 “邻边相等” 的条件，依据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形），即可得出结论.
10．如图，在4×4的方格图中，阴影正方形的边长是　 　，这个长度介于两个相邻整数　 　之间。（每个小正方形的边长为1个单位）
【答案】；3和4
【知识点】无理数的估值；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设阴影正方形的边长为a，
根据勾股定理可得：
a2=12+32=1+9=10，
所以a=。
∵9<10<16，
∴<<，
即3<<4 。
∴这个长度介于两个相邻整数3和4之间。
故答案为：；3和4
【分析】观察图形可知，阴影正方形的边长是一个直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求阴影正方形的边长。然后通过寻找与10相邻的两个完全平方数9和16，对其开平方后确定10介于3和4这两个相邻整数之间。
11．如图所示，在平面直角坐标系中有两个边长均为的正方形和正方形，边与边与轴重合，连接，点关于的对称点为点，连接，与边相交于点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形的边长为4，
∴EF=AB=EC=4， ，
∴ ， ，
∵点关于的对称点为点，
∴ ，
∴，
∴ ，
设PE=x ，则PF=PB=8－x ，
∴在 中，由勾股定理可得： ，
解得：x=3，
∴PE=3，
∴PC=1，
∴点的坐标是（-1，4）．
故答案为：．
【分析】根据题意可得EF=AB=EC =4，BE//AF ，再根据点关于的对称点为点，可得，故 ，然后在 中利用勾股定理，求出PC，即可求解．
12．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则　 　
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，故AB=AD，∠BAD=90°；△ADE为等边三角形，AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，得AB=AE且∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，故∠AEB=，故∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°
故答案为：45°.
【分析】由正方形和等边三角形的性质得∠BAE=150°，AB=AE即得∠AEB的度数，即可得∠BED的度数.
13．如图， 为正方形 内一点，BC ，过点 作 交射线 于点 ，连结 ．若正方形边长为 ，则 　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，
∵BE=BC，BF⊥EC，
∴BF平分∠EBC，即∠EBF=∠CBF，
又∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF，
∴∠BFE=∠BFC，FE=FC，
设∠EBF=∠CBF=，
∵ABCD是正方形，
∴BA=BC=CD=DA=BE，∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-2，
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠BEA=，
又∵∠EBC=2，BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=90°-，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠BEC=45°，
∴∠BFE=∠BFC=，
又∵∠ADC=∠AFC=90°，
∴∠AFD=∠ACD=45°，
∴∠DFB=∠AFD+∠BFE=90°，
在Rt△BCD中，，
在Rt△BFD中，，
故答案为：.
【分析】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，先证明△EBF≌△CBF，即可得到∠BFE=∠BFC，FE=FC，然后设∠EBF=∠CBF=，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠DFB=90°，然后根据勾股定理解题即可.
14． 在正方形ABCD中， AB=4， E， F为对角线BD上不重合的两个点 （不包括端点）， BE=DF， 连接AE 并延长交BC于点G， 连接FG， CF. 此时AG与FC的位置关系为　 　； 若FG=FC， 则BE的长为　 　.
【答案】AG∥FC；4-4
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°
在△ABE和CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴∠AEB=∠CFD
∴∠AED=∠CFB
∴FC//AG；
设DF=BE=x，
在正方形ABCD中，∠BCD=90，AB=BC=CD=4，
∴，∠BDC=∠CBD=45°，
如图，过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点J，则四边形FICJ为矩形，
∴FI=JC
在Rt△FID中，FI=DI，
由勾股定理得：FI2+DI2=DF2=x2，
∴，
在Rt△BJF中，BJ=FJ，
由勾股定理得：BJ2+FJ2=BF2=(BD-DF)2
∴，
又∵FG=FC，FJ⊥BC，
∴GJ=JC
∴，
∴
连接CE，AC交BD于点H，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴CH=AC=22，
∴，
∵AG//FC，
∴S△CFG=S△CFE，
∴，
解得或(不合题意，舍去)
∴.
故答案为：AG∥FC；4-4.
【分析】利用正方形的性质，结合平行线的判定定理即可解答；过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点，连接CE，AC交BD于点H，设DF=BE=x，利用正方形的性质和勾股定理用x表示出S△CFG、S△CFE，结合AG//FC可知S△CFG=S△CFE，建立方程解答即可.
三、解答题
15． 如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接、，求证：．
【答案】证明：∵ABCD为正方形
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°
∵在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴AE=CE
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由正方形的性质知AD=CD，∠ADE=∠CDE，由此得△ADE≌△CDE(SAS)，即可得AE=CE.
16．如图是由边长为1的小正方形构成的6x6的网格，点A，B均在格点上.
（1）在图1中画出以AB为对角线的正方形ACBD，点C，D为格点.
（2）在图2中画出以AB为边且周长最大的平行四边形ABCD，点C，D为格点(画一个即可).
【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据题目要求，及正方形对角线的定义先画出正方形的两条对角线CD，再连接四个点，画出图形即可.
（2）根据题目要求，及平行四边形定义先画出AB的对边，并将对边平移到距离AB最远的位置，因为AB上方的面积大于下方的面积，所以将对边向上方移动，即可得到周长最大的平行四边形，画出图形即可.
17．如图，在正方形ABCD中，点E，F(不在正方形的顶点上)分别在AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.
（1）求证： △ADE≌△CDF.
（2）已知AG，CH 分别是△ADE的高线和△CDF的中线，若∠DAG=58°， 求∠DCH 的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：是的高线，
∴，即
．
∵，
．
是斜边上的中线，
，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用得到两三角形全等即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据全等的性质得到的度数，然后根据直角三角形斜边中线的性质得到AH=DH，利用等边对等角得到结论即可．
18． 如图，在正方形中，以为斜边向上作一个直角三角形，其中，过点作交于点．
（1）求证：．
（2）如图．连结，交于点，连结，若，，求的值．
（3）如图，延长至点，使得，连接，试判断与的位置关系与数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，
∵∠DAF+∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠AEB=90°，
∴(AAS)；
（2）解：由△ABE≌△DAF可知AE = DF， BE = AF = 3，
∵四边形ABCD是正方形，AC与BD相交于点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°。
把△AOE绕点O顺时针旋转90°得到△BOE'，连接EE'。
∴OE=OE'=，EOE'=90°，
根据勾股定理可得
，
且∠E'BE = ∠E'BO +∠OBE =∠EAO +∠OBE = 90°，
∵AE-BE = DF-AF，设AE=x，则x-3= DF-3， DF =x ，
∴BE =3，EE'=6，E'B = AE=9，
在Rt△ABE中，根据勾股定理
，
故答案为：；
（3）解：，，
理由如下：
如图，连接AC，BD于点O，连接OE，OF，过点O作OH⊥AG交AG于点H，
由（2）得△EOF是等腰三角形，
∴HF=HE，
∵EG=EB=AF，
∴HA=HG，
∵在正方形ABCD中，OA=OC，
∴OH是△AGC的中位线，
∴OH//CG，，
∵OH⊥AG，
∴CG⊥AG，
即EF⊥CG，
∵在等腰Rt△EOF中，，
∴EF=CG.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）通过正方形性质和直角三角形性质找出 对应角和边相等，用AAS判定全等；
（2）通过全等三角形 性质得到边和角的关系，证明新的全等三角形，得出特殊 三角形，进而求出边长；
（3）利用前面结论和三角形中位线性质证明垂直和边的关系.
1 / 15.3 正方形—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是 (　　)
A．一般的平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．已知四边形 ABCD 是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD 是正方形，则需要添加条件 (　　)
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ADB=30° D．AC=AB
3． 如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是（　　）
A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC
4．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=（　　）
A．5 B． C． D．4
5．把一张四边形纸片分别进行如下操作，下列操作结果能判定它是正方形的是 (　　).
A．沿一条对角线所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合
B．沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合
C．绕对角线交点旋转90°，能与自身重合
D．绕对角线交点旋转180°，能与自身重合
6．如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（　　）
A．8﹣3 B．9﹣3 C．3 ﹣3 D．3 ﹣2
7．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（　　）．
A． B． C． D．
8． 如图，P是正方形 ABCD 内一点，，，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9． 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点 A落在BC上的点F 处，折痕为 BE.若沿EF 剪下，则四边形ABFE 是一个正方形，其数学原理是　 　.
10．如图，在4×4的方格图中，阴影正方形的边长是　 　，这个长度介于两个相邻整数　 　之间。（每个小正方形的边长为1个单位）
11．如图所示，在平面直角坐标系中有两个边长均为的正方形和正方形，边与边与轴重合，连接，点关于的对称点为点，连接，与边相交于点，则点的坐标是　 　．
12．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则　 　
13．如图， 为正方形 内一点，BC ，过点 作 交射线 于点 ，连结 ．若正方形边长为 ，则 　 　。
14． 在正方形ABCD中， AB=4， E， F为对角线BD上不重合的两个点 （不包括端点）， BE=DF， 连接AE 并延长交BC于点G， 连接FG， CF. 此时AG与FC的位置关系为　 　； 若FG=FC， 则BE的长为　 　.
三、解答题
15． 如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接、，求证：．
16．如图是由边长为1的小正方形构成的6x6的网格，点A，B均在格点上.
（1）在图1中画出以AB为对角线的正方形ACBD，点C，D为格点.
（2）在图2中画出以AB为边且周长最大的平行四边形ABCD，点C，D为格点(画一个即可).
17．如图，在正方形ABCD中，点E，F(不在正方形的顶点上)分别在AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.
（1）求证： △ADE≌△CDF.
（2）已知AG，CH 分别是△ADE的高线和△CDF的中线，若∠DAG=58°， 求∠DCH 的度数.
18． 如图，在正方形中，以为斜边向上作一个直角三角形，其中，过点作交于点．
（1）求证：．
（2）如图．连结，交于点，连结，若，，求的值．
（3）如图，延长至点，使得，连接，试判断与的位置关系与数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、一般的平行四边形，其对角线仅互相平分，不满足 “垂直且相等” 的条件，A不符合题意；
B、矩形，其对角线互相平分且相等，但不满足 “垂直” 的条件，B不符合题意；
C、菱形，其对角线互相平分且垂直，但不满足 “相等” 的条件，C不符合题意；
D、正方形，其对角线同时具备互相垂直、平分且相等的性质，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分，矩形对角线互相平分且相等，菱形对角线互相平分且垂直，正方形对角线同时满足互相垂直、平分、相等.
2．【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD中AC⊥BD，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得ABCD是菱形；菱形判定为正方形的条件是 “有一个内角是直角” 或 “对角线相等”.
A、AB=BC，菱形本身邻边相等，此条件是菱形的固有性质，无法判定为正方形，A不符合题意；
B、∠ABC=90°，菱形中一个内角为直角，则所有内角均为直角，符合正方形的判定条件，B符合题意；
C、∠ADB=30°，仅说明菱形内的一个锐角，无法推出内角为直角或对角线相等，不能判定为正方形，C不符合题意；
D、AC=AB，仅说明对角线与边长相等，无法判定为正方形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定ABCD为菱形；再结合 “有一个内角是直角的菱形是正方形” 这一判定定理，逐一分析选项是否满足条件，从而得出结论.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，
所以可添加条件∠ABC=90°或AC=BD.
故答案为：C.
【分析】菱形判定为正方形的两个核心条件（有一个内角是直角、对角线相等），逐一分析选项是否满足该条件即可得出结论.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH=AE=4，AH=BE=3
∴EH=AE-AH=4-3=1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE=90°
∴
故选：C.
【分析】由全等三角形的性质得DH=AE=4，AH=BE=3，则EH=AE-AH=1， 而∠DHE=90°， 根据勾股定理即可求解.
5．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合，可能是菱形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
B.沿一条边的垂直平分线翻折，两旁的部分能互相重，可能是矩形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
C.绕对角线交点旋转90°，能与自身重合，是正方形，故该选项正确，符合题意；
D.绕对角线交点旋转180°，能与自身重合，是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，
∴两个正方形的边长分别为3和；
∴阴影部分的面积为：.
故答案为：C.
【分析】利用正方形的面积可求出两个正方形的边长，利用平移法将两个阴影部分放在一起，可得到一个矩形，边长分别为和；然后利用矩形的面积公式矩形计算即可.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∴在正方形中，，
，
由正方形性质得，，
在和中
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
，
，
A、，不是定值，故A不符合题意；
B、，不是定值，故B不符合题意；
C、，不是定值，故C不符合题意；
D、，是定值，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】设BC=m，结合图形可得FC=x-m，由正方形性质得AG=GF=FC=AC=x-m，根据线段的和差得EG=x-m-y；用HL判断出Rt△AGE≌Rt△ACB，由全等三角形的对应边相等得EG=BC=m，从而推出， 然后用含x、y的式子表示出GA、GE、BC，在Rt△AGE中，由勾股定理得AE2=AG2+GE2，然后根据几何图形面积计算公式分别用含x、y的式子表示S1、S2，根据S1=6S2建立方程可得， 据此即可对各个选项进行判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是正方形， ∠APD =90°，
∴BA = BC = AD =CD， ∠BFA=∠APD =90°， ∠PHD=∠HDE=∠PED=90°，
∴四边形PEDH是矩形，
∵∠PED =∠BCD = 90°，
∴PE∥BC，
∴BP=BC，
∵BP=BA，
∴AF=PF，
∵∠ABF+∠BAF=90°， ∠DAP+∠BAF=∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠DAP，
在△ABF和△DAP中，
∴△ABF≌△DAP(AAS)，
∴AF=DP，
∴AP=2AF=2DP，
设 则
，
∴DE=PH=2m，
∴CE=CD-DE=5m-2m =3m，
，
故答案为：C .
【分析】作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E， 则四边形PEDH是矩形，即可得到AF= PF， 推导出∠ABF=∠DAP， 进而得到△ABF≌△DAP， 得AF =DP， 则AP=2AF=2DP， 设 则AP=2 求得 =5m， 根据三角形的面积求出DE=PH = 2m， 则CE = 3m ，即可得到 求得 即可求出比值解答即可.
9．【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：由矩形 ABCD 可知，∠A=∠B=90°.
折叠后点 A 落在 BC 上的点 E 处，故 AB=BE.
沿 EF 剪下后，四边形 ABFE 有三个角是直角（∠A=∠B=∠EFB=90°），因此它是矩形.
又因为 AB=BE，根据 “有一组邻边相等的矩形是正方形”，可判定四边形 ABFE 是正方形.
故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形.
【分析】先判定四边形 ABFE 是矩形；再利用 “邻边相等” 的条件，依据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形），即可得出结论.
10．【答案】；3和4
【知识点】无理数的估值；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设阴影正方形的边长为a，
根据勾股定理可得：
a2=12+32=1+9=10，
所以a=。
∵9<10<16，
∴<<，
即3<<4 。
∴这个长度介于两个相邻整数3和4之间。
故答案为：；3和4
【分析】观察图形可知，阴影正方形的边长是一个直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求阴影正方形的边长。然后通过寻找与10相邻的两个完全平方数9和16，对其开平方后确定10介于3和4这两个相邻整数之间。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形的边长为4，
∴EF=AB=EC=4， ，
∴ ， ，
∵点关于的对称点为点，
∴ ，
∴，
∴ ，
设PE=x ，则PF=PB=8－x ，
∴在 中，由勾股定理可得： ，
解得：x=3，
∴PE=3，
∴PC=1，
∴点的坐标是（-1，4）．
故答案为：．
【分析】根据题意可得EF=AB=EC =4，BE//AF ，再根据点关于的对称点为点，可得，故 ，然后在 中利用勾股定理，求出PC，即可求解．
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，故AB=AD，∠BAD=90°；△ADE为等边三角形，AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，得AB=AE且∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，故∠AEB=，故∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°
故答案为：45°.
【分析】由正方形和等边三角形的性质得∠BAE=150°，AB=AE即得∠AEB的度数，即可得∠BED的度数.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，
∵BE=BC，BF⊥EC，
∴BF平分∠EBC，即∠EBF=∠CBF，
又∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF，
∴∠BFE=∠BFC，FE=FC，
设∠EBF=∠CBF=，
∵ABCD是正方形，
∴BA=BC=CD=DA=BE，∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-2，
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠BEA=，
又∵∠EBC=2，BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=90°-，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠BEC=45°，
∴∠BFE=∠BFC=，
又∵∠ADC=∠AFC=90°，
∴∠AFD=∠ACD=45°，
∴∠DFB=∠AFD+∠BFE=90°，
在Rt△BCD中，，
在Rt△BFD中，，
故答案为：.
【分析】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，先证明△EBF≌△CBF，即可得到∠BFE=∠BFC，FE=FC，然后设∠EBF=∠CBF=，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠DFB=90°，然后根据勾股定理解题即可.
14．【答案】AG∥FC；4-4
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°
在△ABE和CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴∠AEB=∠CFD
∴∠AED=∠CFB
∴FC//AG；
设DF=BE=x，
在正方形ABCD中，∠BCD=90，AB=BC=CD=4，
∴，∠BDC=∠CBD=45°，
如图，过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点J，则四边形FICJ为矩形，
∴FI=JC
在Rt△FID中，FI=DI，
由勾股定理得：FI2+DI2=DF2=x2，
∴，
在Rt△BJF中，BJ=FJ，
由勾股定理得：BJ2+FJ2=BF2=(BD-DF)2
∴，
又∵FG=FC，FJ⊥BC，
∴GJ=JC
∴，
∴
连接CE，AC交BD于点H，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴CH=AC=22，
∴，
∵AG//FC，
∴S△CFG=S△CFE，
∴，
解得或(不合题意，舍去)
∴.
故答案为：AG∥FC；4-4.
【分析】利用正方形的性质，结合平行线的判定定理即可解答；过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点，连接CE，AC交BD于点H，设DF=BE=x，利用正方形的性质和勾股定理用x表示出S△CFG、S△CFE，结合AG//FC可知S△CFG=S△CFE，建立方程解答即可.
15．【答案】证明：∵ABCD为正方形
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°
∵在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴AE=CE
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由正方形的性质知AD=CD，∠ADE=∠CDE，由此得△ADE≌△CDE(SAS)，即可得AE=CE.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据题目要求，及正方形对角线的定义先画出正方形的两条对角线CD，再连接四个点，画出图形即可.
（2）根据题目要求，及平行四边形定义先画出AB的对边，并将对边平移到距离AB最远的位置，因为AB上方的面积大于下方的面积，所以将对边向上方移动，即可得到周长最大的平行四边形，画出图形即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：是的高线，
∴，即
．
∵，
．
是斜边上的中线，
，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用得到两三角形全等即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据全等的性质得到的度数，然后根据直角三角形斜边中线的性质得到AH=DH，利用等边对等角得到结论即可．
18．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，
∵∠DAF+∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠AEB=90°，
∴(AAS)；
（2）解：由△ABE≌△DAF可知AE = DF， BE = AF = 3，
∵四边形ABCD是正方形，AC与BD相交于点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°。
把△AOE绕点O顺时针旋转90°得到△BOE'，连接EE'。
∴OE=OE'=，EOE'=90°，
根据勾股定理可得
，
且∠E'BE = ∠E'BO +∠OBE =∠EAO +∠OBE = 90°，
∵AE-BE = DF-AF，设AE=x，则x-3= DF-3， DF =x ，
∴BE =3，EE'=6，E'B = AE=9，
在Rt△ABE中，根据勾股定理
，
故答案为：；
（3）解：，，
理由如下：
如图，连接AC，BD于点O，连接OE，OF，过点O作OH⊥AG交AG于点H，
由（2）得△EOF是等腰三角形，
∴HF=HE，
∵EG=EB=AF，
∴HA=HG，
∵在正方形ABCD中，OA=OC，
∴OH是△AGC的中位线，
∴OH//CG，，
∵OH⊥AG，
∴CG⊥AG，
即EF⊥CG，
∵在等腰Rt△EOF中，，
∴EF=CG.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）通过正方形性质和直角三角形性质找出 对应角和边相等，用AAS判定全等；
（2）通过全等三角形 性质得到边和角的关系，证明新的全等三角形，得出特殊 三角形，进而求出边长；
（3）利用前面结论和三角形中位线性质证明垂直和边的关系.
1 / 1

展开更多......

收起↑