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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
2025-2026学年度人教版八年级数学下期中测试卷
考试范围：19-21章；考试时间：120分钟；满分120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，若，，则的值是（ ）
A．10 B． C． D．4.8
3．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．小明这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ）
A． B．
C． D．
6．估计的值在（ ）
A．5与6之间 B．6与7之间
C．7与8之间 D．8与9之间
7．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ）
A． B．16 C．12 D．13
9．如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2或1 D．4或3
10．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（ ）
A．2 B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算：______．
12．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）．
13．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为____________．
14．如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则________．
15．如图，在中，点是边上的中点，点在上，交于点，且，若，，则线段的长为________．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算步骤，推理过程）
16．(10分)计算
(1)；
(2)；
17．（7分）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处．
(1)求的长；
(2)求的长．
18．（8分）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，，求线段的长．
19．（8分）项目学习
学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
实践任务 测量池塘两端，间的距离
测量工具 皮尺
测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．
问题解决：
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求池塘两端，之间的距离．
20．(8分)如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
21．（9分）阅读与思考
下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．
构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下：探究：例题：已知，求的值．解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．．应用：……
任务：
(1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________．
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想
(2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值．
(3)已知，求的值．
22．（12分）综合与实践
在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究．
【背景】
如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，．
【感知】
（1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____．
【探究】
（2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【应用】
（3）若，，求线段的长．
23．（13分）综合与探究
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M．
操作发现
（1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案；
实践探究
（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
2025-2026学年度人教版八年级数学下期中测试卷（解析版）
考试范围：19-21章；考试时间：120分钟；满分120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：1．被开方数不含分母；2．被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：，故A不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数是小数，可化为分数，含分母，故B不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数含分母，故C不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数不含分母，且分解后没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，
故选项D是最简二次根式，符合题意．
2．在中，，若，，则的值是（ ）
A．10 B． C． D．4.8
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴根据勾股定理，
∴，
故选A．
3．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到不能判定为直角三角形的结果．
【详解】解：A．∵
∴，符合勾股定理的逆定理
∴是直角三角形，不符合要求；
B．∵，三角形内角和为，
设，，，
∴，
解得：，
∴最大角，
∴不能判定为直角三角形，符合要求；
C．∵，
设，，，
∴，
，
∴，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求；
D．∵，，
∴，得，
∴能判定是直角三角形，不符合要求．
4．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数．
【详解】解：设四个外角的度数分别为、、、．
∵任意四边形的外角和为，
∴．
解得，
即：．
最大的外角为．
逐一分析选项：
A、，与计算结果一致，符合题意；
B、，与计算结果不符，不符合题意；
C、，与计算结果不符，不符合题意；
D、，与计算结果不符，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数．
5．小明这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A．运用了，不符合题意；
B．运用了，不符合题意；
C．没有用到，符合题意；
D．运用了，不符合题意．
6．估计的值在（ ）
A．5与6之间 B．6与7之间
C．7与8之间 D．8与9之间
【答案】D
【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，估算原式的取值范围．
【详解】解：，
∵，，且，
∴，即，
∴原式的值在与之间．
7．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意得，，，
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴，即
∴．
8．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ）
A． B．16 C．12 D．13
【答案】A
【分析】连接，由平行四边形的性质得，因为交于点，所以垂直平分，则，而，则，所以，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
四边形是平行四边形，，对角线相交于点，
，
交于点，
垂直平分，
，
，
，
是直角三角形，且，
，
．
9．如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2或1 D．4或3
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，分类讨论全等三角形的对应边关系是解题的关键．设点P，Q运动的时间为，依题意得：，，得到，，①当，时，则当时，则，根据题意列方程即可得到结论
【详解】解：设点P，Q运动的时间为，
依题意得：，
四边形是长方形，且，，
，
当以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等时，有以下两种情况：
①当时，则，
由，得：，
解得：；
②当时，则，
由，得：，
解得：，
由， 得：，
将代入， 得：，
综上所述：的值为4或3．
故选：D．
10．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由四边形是矩形，得，由翻折的性质可知，，即知，从而，四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形；当，重合时，设，根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
当，重合时，如图：
设，
在中，
，
，
，即，
，，，
，
，
．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算：______．
【答案】
【分析】先将原式中化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到计算结果．
【详解】解：．
12．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）．
【答案】
【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为．
【详解】解：如图，
在中，，
∴，
∴，
∴．
13．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为____________．
【答案】48
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明是直角三角形．
首先利用勾股定理的逆定理得到，然后过作，垂足为，确定的最短距离，然后利用面积法进行求解即可．
【详解】解：过作，垂足为，
∵
∴
∴
即
解得
故答案为：．
14．如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则________．
【答案】
【分析】由正方形的性质可得，，，证明点、、在同一直线上，求出，由勾股定理可得，连接，最后再由三角形中位线定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵四边形、均为正方形，
∴，，，
∵，
∴点、、在同一直线上，
∴，
∴，
如图，连接，
，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴．
15．如图，在中，点是边上的中点，点在上，交于点，且，若，，则线段的长为________．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的性质．熟练运用以上知识点，并恰当设置辅助线，是解题的关键．
取的中点，连接，根据三角形中位线定理，得到，，根据得到，，进而得到，进而得到的长度，通过证明，进而得到的长度．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵点是边上的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算步骤，推理过程）
16．(10分)计算
(1)；
(2)；
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）先分别计算乘方、算术平方根，再按照从左到右的顺序进行加减运算．
（2）先分别计算二次根式的乘法和除法，再进行减法运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（7分）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质：
（1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可；
（2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
18．（8分）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的判定方法及性质是关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，结合，由矩形的判定方法即可求证；
（2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，则，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，即的长是．
19．（8分）项目学习
学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
实践任务 测量池塘两端，间的距离
测量工具 皮尺
测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．
问题解决：
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求池塘两端，之间的距离．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）根据勾股定理进行计算即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
在中，，，，
∴，
∴．
∴是直角三角形．
（2）∵是直角三角形，在同一直线上，
∴，
∴．
即池塘两端，之间的距离为．
20．(8分)如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键；
（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，，
，
在中，，
，
，
，
．
21．（9分）阅读与思考
下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．
构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下：探究：例题：已知，求的值．解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．．应用：……
任务：
(1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________．
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想
(2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)B
(2)86
(3)17
【分析】（1）根据转化思想解答即可；
（2）仿照材料中的例题解答过程解答即可；
（3）仿照材料中的例题解答过程解答即可．
【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想；
（2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．
；
（3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式．
．
22．（12分）综合与实践
在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究．
【背景】
如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，．
【感知】
（1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____．
【探究】
（2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【应用】
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）的值为2或4．
【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用．
（1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；再证明，即可得到；
（2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，证明，即可得到；
（3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，根据勾股定理求出，，再分类讨论即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴和是等边三角形，
∴，
∵是边的中点，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）仍然成立，理由如下：
连接，
同理和是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作交于点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
由（2）知，
∴，
当点在线段上，
∴；
当点在线段上，
∴；
综上所述，的值为2或4．
23．（13分）综合与探究
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M．
操作发现
（1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案；
实践探究
（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时，
【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，；
（2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出，进而得出；
（3）根据题意，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】（1）．
理由如下：如图，连接，
∵是正方形的对角线，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点作于点，作于点，
∴，
∵点是正方形的对角线上的点，
∴，，
∴四边形是正方形，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵正方形与正方形重叠的面积是，
∴，
解得（负值舍去），
∵正方形的边长为6，
∴，
∴．
∴此时的长为；
（3）分三种情况：
①如图所示，当时，
过点E作交于点P，交于点Q，
∴四边形是矩形，，是等腰直角三角形
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
②当时，且点与点重合；
③当时，
同理可证．
【点睛】此题主要考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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