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吉林长春市十一高中2025-2026学年高一下学期第一学程考试
数学试卷
一、单选题
1．复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．0或3
2．已知向量，则下列能使（，）成立的一组向量,是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
3．已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第三题是测量方邑的问题．如图，点在方邑东表的延长线上，和是两个垂直于东表的延长线且等长的测量标杆．某兴趣小组采用现代测量方法，测得，两标杆间的距离为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知的外心为，角的对边为，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8．在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是（ ）．
A．12 B．6 C． D．
二、多选题
9．在中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则有两解
10．下列说法中正确的是（ ）
A．对任意向量，，，都有
B．已知向量与单位向量同向，且，，则
C．已知，，则在上的投影向量的坐标为
D．Q是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
11．函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．的面积为 D．是的图象的一个对称中心
三、填空题
12．已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______.
13．已知三点A，B，C满足，，，则的值为______.
14．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，为锐角三角形，且外接圆圆心为O，则的取值范围为______.
四、解答题
15．已知，，.
（1）求向量，的夹角；
（2）求.
16．如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，.
(1)用与表示；
(2)求的取值范围；
17．近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设．
(1)是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：）
18．在中，角的对边分别为，若，为边上一点.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的周长；
(3)若平分角，证明：.
19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．D
5．D
6．D
7．D
8．A
9．ACD
10．BCD
11．AC
12．
13．
14．
15．（1）∵,∴，
∵，,∴,
解得,由平面向量数量积的夹角公式得,
∴,
∵∴.
（2）因为，
所以
∴.
16．（1）在直角梯形中，，，为的中点，
所以.
（2）由，得，由，得，
因此，而，
所以.
17．（1）是定值；
理由如下：在中，，，所以，
由正弦定理得，，所以．
在中，，，，
由正弦定理得，，所以．
所以为定值．
（2）由题意可知，要使总费用最低，只需最小，
在中，
，
当且仅当时“=”成立，
所以，所以的最小值为，
，
（元）
所以修路费用最少为8742元．
18．（1）根据正弦定理，由可得，
，
则，
整理得，
，则，得，即，
，则，即.
（2）

如图，由（1）可知，，设，则，
设，则，
在中，根据余弦定理，，
在中，根据余弦定理，，
所以，
整理可得，即.
则在中，根据余弦定理，，
整理得，即，解得或（舍去），
所以，，
所以，的周长为.
（3）由（1）可知，，因为平分，所以，
因为，
所以，
整理可得，
等式两边同时除以，得.
故得证.
19．（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，.
则，所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，
，则，
，
因为与的夹角为，则，解得.
（3）依题意设、，
且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，，
由题意可知，，，
则，
在中依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，，
，
为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则

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