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辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一下学期第一次质量监测
数学试卷
一、单选题
1．将化为弧度为（ ）
A． B． C． D．
2．设，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，，若，则实数（ ）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
4．设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于
A． B． C． D．
5．，则实数（ ）
A．2 B．0 C． D．
6．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，则在上根的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题
9．(多选)已知函数 （且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知角满足，则（ ）
A．0 B． C． D．
11．已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ）
A．若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
B．若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6
C．若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是
D．若在上有且仅有5个零点，则在单调递增
三、填空题
12．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为_____________．
13．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______.

14．函数的单调递增区间是______．
四、解答题
15．已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)求在上的投影向量的坐标；
(3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
16．某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座舱1即为图上A点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为分钟.
(1)建系如图，求1号座舱（A点）与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的解析式（写出定义域）；
(2)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时的值；
(3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？
17．已知，，可能利用的公式是．
(1)当时，求的值域；及取得最值时x的值；
(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知，函数，其中．
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）当时，若对区间内的任意，总有，求实数的最小值．
19．已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，且过点.
(1)若函数是偶函数，求的最小值；
(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为、、、，求的值；
(3)设函数，，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论.
参考答案
1．C
2．A
3．C
4．C
5．D
6．B
7．B
8．B
9．BD
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．和.
15．（1）由于与的夹角为，
所以，即，解得，
则，，，
所以；
（2）由（1）知，，在上的投影向量为，
即在上的投影向量的坐标为；
（3）由（1）知，，则，
，
由于与所成的角是锐角，
所以,即：，
解得且，即实数的取值范围为.
16．（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数解析式为（， ），
依题意，，，，函数的最小正周期，
则，当时，点距地面米，即，
则，而，解得，
所以所求函数式为，定义域为．
（2）由，得，整理得，
由，得，则或或，
解得或或，
所以或或时，1号座舱与地面的距离为17米.
（3）由，得，整理得，
由，得，则，解得，
所以在前24分钟内，“美景期”的时间为.
17．（1）当时，，
令，，则，
函数可化为，
当时，函数取得最小值，最小值为，
此时，解得或，
所以的最小值为，此时或，
当时，，当时，，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
此时，解得，
所以的最大值为，此时，
综上所述，的值域为，
当取最小值时或；
当取最大值时，.
（2）令，
因为，所以，所以，
当时，恒成立，即当时，恒成立，
可化为，即在上恒成立，
函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以，
所以实数a的取值范围为.
18．（1）由，
得
故，由上得，
表示为的函数；
（2）由（1）得，，
二次函数的对称轴是，
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，．
综上可得．
（3）对区间内的任意，成立，
即恒成立．
时，，
则，
在区间内，
，
即，故的最小值为．
19．（1）解：因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，函数的最小正周期为，
因为，则，所以，，
又因为函数的图象过点，则，
因为，所以，，
因为函数为偶函数，
所以，，解得，
故当时，取最小值，且其最小值为.
（2）解：由，可得，
因为，则，
令，则，所以，，，
设，如下图所示：

由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点，
点、关于直线对称，点、关于直线对称，
点、关于直线对称，
所以，，，，即，
即，解得.
（3）解：因为，所以，，
假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，
即，恒有，
则，恒有成立，
则，恒有成立，
当时，，则，，
所以，，，
要使得恒成立，则有.
当时，则，即，令，其中，
则，，
且函数在上的图象是连续的，
由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，
此时，恒成立，则，即；
当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数、的图象没有公共点，
故方程无实数解.
综上所述，存在满足题意，其中满足.

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