资源简介

湖南省常德市初中学校教学教研共同体2025年初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·常德模拟）如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（　　）
A． B．2 C． D．
2．（2025·常德模拟）下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·常德模拟）下列计算正确的是（　　）
A．2 B．
C． D．
4．（2025·常德模拟）马赫是航空航天领域里表示飞行速度的量词，1马赫就等于每秒声音传播的距离．我国国庆阅兵上展示的，其速度可达到15马赫，约18360千米/小时．其中数据18360用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·常德模拟）天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（　　）
A．明天全市将有99%的地方是晴天
B．明天全市将有99%的时间会是晴天
C．明天全市是晴天的可能性较大
D．明天全市一定会是晴天
6．（2025·常德模拟）一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·常德模拟）如图，点在上，点在优弧上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·常德模拟）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里
9．（2025·常德模拟）如图，在中，，，的平分线交于点．下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·常德模拟）如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，摆放得到图2所示，连接，则的长度是（　　）
A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·常德模拟）若，则　 　．
12．（2025·常德模拟）已知是方程的解，则　 　．
13．（2025·常德模拟）如图，在正五边形中，交于点，则　 　度．
14．（2025·常德模拟）小明参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“龙蛇飞舞”“画蛇添足”“龙腾虎跃”“虎头蛇尾”的4张卡片中，随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有‘蛇”字的概率是　 　．
15．（2025·常德模拟）已知近视眼镜的镜片屈光力（单位：）与镜片的焦距（单位：米）满足函数关系：．已知一块近视眼镜的镜片屈光力为，则该镜片的焦距为　 　米．
16．（2025·常德模拟）如图，在边长为6的菱形中，对角线，相交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，则　 　．
17．（2025·常德模拟）图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于　 　．（结果保留）
18．（2025·常德模拟）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·常德模拟）计算：；
20．（2025·常德模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·常德模拟）某调研小组为解决学生拖延的坏习惯，在某校开展了调研活动，并提供一些应对策略．同学们根据自身实情，选择其中一项（每人只选一项）对自己最有效的策略：A：即刻行动；B：心理暗示；C：“神奇的4分钟法则”；D：邀请别人督促自己；E：换个环境学习（如换学校，在家学习等）．为此，在三个年级各随机发放相同数量的调查问卷，让同学们现场填写，及时回收，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）参加调查的人数共有___________人；请补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角度数为___________度；扇形统计图中的的值为___________．
（3）若该校学生有人，请估算该校选择“A”策略的学生人数．
22．（2025·常德模拟）某数学兴趣小组运用无人机、测角仪等工具测量甲、乙两栋建筑物之间的距离．如图，在空旷的点处释放无人机，以的速度匀速竖直上升，飞行至点处悬停，测得甲、乙建筑物底部（点）的俯角分别为和．若图中所有的点都在同一平面内，且点在同一水平直线上．已知，求甲、乙两栋建筑物之间的距离．（结果保留根号）
23．（2025·常德模拟）某校为举办风筝艺术节计划购买一批风筝．已知哪吒2系列风筝的单价比普通动物风筝的单价多35元，用1300元购买哪吒2系列风筝的数量与用600元购买普通动物风筝的数量相同．
（1）求哪吒2系列风筝和普通动物风筝的单价；
（2）若购买150个风筝，哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，问：购买哪吒2系列风筝的数量为多少时，学校花费最少．
24．（2025·常德模拟）如图，是的内接三角形，，．点在的延长线上，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
25．（2025·常德模拟）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上的两个点，．若，求的值；
（3）如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2025·常德模拟）如图1，，点在同一条直线上，点与点重合，．将沿向左移动，当点与点重合时，停止移动．
（1）当点与点重合时，判断：的形状是___________；
（2）当边在边上时，
①如图2，若边与边相交于点，且．证明：是的平分线；
②如图3，若，连接，当线段长为多少时，是直角三角形？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可知点A表示的数是，
∴它的倒数是；
故选D．
【分析】
观察数轴可知点A表示的数是，再由倒数的概念求解即可．
2．【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：因为图A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图A不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图A是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意．
故选：D．
【分析】
将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能够与本身重合的图形是中心对称图形．
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，计算正确，故该选项符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
完全平方公式，两数和或差的完全平方等于这两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍；
积的乘方，给各因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：18360用科学记数法表示为，
故选：C．
【分析】
常把一个绝对值较大的数字用科学记数法表示成的形式，其中，n取这个数字整数部分数位个数与1的差．
5．【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，所以A不符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市不一定的时间是晴天，所以B不符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，晴天的可能性较大，所以C符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，不一定全市一定晴天，所以D不符合题意．
故选：C．
【分析】
概率的意义，即明天是晴天的机率极大．
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴一次函数的图像经过第一，三象限．
∵，
∴一次函数的图像经过第一，二，三象限，
所以一定不经过第四象限．
故选：D．
【分析】
对于一次函数，当时该直线经过第一，二，三象限．
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理可得：，
故选：B．
【分析】
圆周角定理，即同弧所对圆周角是圆心角的一半．
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题知，，（海里），
如图，由两直线平行，内错角相等可知，，
，
为等边三角形，
海里，
故选：A．
【分析】
由方位角结合平角的概念可得，由平行线的性质结合方位角可得，则可判定为等边三角形，则BC等于AB，再利用距离公式求出AB的长即可．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：选项A 在中，，，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∴，该选项正确．
选项B 在中，，
∴． 又
∵，
∴，该选项正确．
选项C ，∵，，
∴
∴，即，该选项正确．
选项D 设，
∵
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
由勾股定理，
∴，
∴，，显然，该选项错误．
故选∶D
【分析】
A、由直角三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，再由等角对等边可得结论成立；
B、由直角三角形中30度的性质结合等量代换即可；
C、由AA可证，再由相似比即可；
D、解直角三角形知，再由直角三角形中30度的性质可得．
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，
且，
，且为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由题意知，即是等边三角形；再由全等的性质结合三角形的内角和知，即也是等边三角形；再由三角形全等的性质结合已知可得AF＝AC，再由等边对等角结合三角形外角的性质可得，则，再解直角三角形可得.
11．【答案】
【知识点】分式的基本性质；比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴在等式两边同时除以，
得到 ．
∴ ，
故答案为：．
【分析】
由于 ，则由等式的基本性质可得．
12．【答案】5
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】
由方程解的概念可将代入方程得关于a的方程并求解即可．
13．【答案】18
【知识点】角的运算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正五边形中，
∴．
∵，
∴．
故答案为：18．
【分析】
先由正五边形的性质结合正五边形的内角和可得，再由垂直的概念结合角的和差关系即可．
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：4张卡片中3张成语含有‘蛇”字，
故随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有‘蛇”字的概率是：，
故答案为：
【分析】
直接利用简单事件的概率公式求解即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵
∴，
当时，则（米）
故答案为：
【分析】
直接由双曲线上点的坐标特征把代入到函数解析式中求得f即可．
16．【答案】3
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意可知是的垂直平分线，
∴点M是的中点．
∵四边形是菱形，
∴，
∴是斜边BC上的中线，
∴．
故答案为：3．
【分析】
由基本尺规作图知是的垂直平分线，即点M是的中点，又因为菱形的对角线互相垂直平分，即是斜边BC上的中线，则．
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质；余角
【解析】【解答】解：矩形，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
（），
故答案为：
【分析】
由矩形的性质结合旋转的性质可得，即是等边三角形，则，再利用扇形面积公式计算即可．
18．【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∵与互为“完美关联角”，
∴，
即或，
解得或．
在中，或．
故答案为：或．
【分析】
先由等腰三角形三线合一知，再由等边对等角可得，由角平分线的概念可得，再由直角三角形两锐角互余结合对顶角相等可得，再结合已知可得关于的绝对值方程并求解，最后再由直角三角形两锐角互余即可得．
19．【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别进行开方和乘方运算，再求有理数的绝对值，最后再进行加减运算即可.
20．【答案】解：原式
．
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分并进行同分母分式的加法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代入数值计算即可．
21．【答案】（1）， 补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：（人）．
答：该校选择“A”策略的学生约有400人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：参加调查的人数有：（人），
选择“C”的人数为：（人）；补全条形统计图如下：
（2），
∴．
故答案为．
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可利用选择“B”的学生人数除以其所占调查总人数的百分比即可得出总人数，则“C”类学生人数可得，再补全条形统计图即可；
（2）利用选择“C”的学生人数除以其所占调查总人数的百分比，再乘以即可；
（3）用样本估计总体，即用“A”的学生人数所占百分比乘总人数即可．
（1）解：参加调查的人数有：（人），
选择“C”的人数为：（人）；补全条形统计图如下：
（2），
∴．
故答案为．
（3）（人）．
答：该校选择“A”策略的学生约有400人．
22．【答案】解：由题意知，，
，
．
在中，，
．
同理，在中，，
．
答：甲、乙两栋建筑物之间的距离为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】过点B作CD的垂线段BA可构造两个直角三角形，即和 ，则由题意可得AB＝50，再由平行线的性质结合已知方位角分别解直角三角形可得AC、AD的长，再利用线段的和差关系即求出CD．
23．【答案】（1）解：设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元．
根据题意得，
解得．
经检验，是方程的解，也符合题意，
．
答：哪吒2系列风筝的单价为65元，普通动物风筝的单价为30元；
（2）解：设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个．
哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，
，
解得．
根据题意得，
，
当时，取最小值．
答：购买哪吒2系列风筝60个，学校花费最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元，再由相等关系“ 数量相同 ”列出分式方程并求解即可；
（2）设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个，再由不等关系“ 哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的 ”列出关于m的不等式可得m的取值范围，再由题意可得W是关于m的一次函数，即，由于一次项系数为正，则W随m的增大而增大，即当m取最小值60时花费最小，再求出这个最小值即可．
（1）解：（1）设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元．
根据题意得，
解得．
经检验，是方程的解，也符合题意，
．
答：哪吒2系列风筝的单价为65元，普通动物风筝的单价为30元；
（2）解：设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个．
哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，
，
解得．
根据题意得，
，
当时，取最小值．
答：购买哪吒2系列风筝60个，学校花费最少．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：如图：
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）证切线，连半径，证垂直。故先连接，由圆周角定理可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得、，再由角的和差关系可得即可；
（2）由（1）知、，则解直角三角形可得，又已知DF＝DB，则由线段的和差关系结合等量代换即可求得OF的长．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：连接，是直径，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．【答案】（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点G，使，再过点M作x轴的垂线段MN．
令，则
令，则
设直线的表达式为
解得
直线AC的解析式是
是直线 与直线AC的交点
解得
设直线CF的表达式为，
解得
直线CF的表达式为，
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先由抛物线上点的坐标特征可得c=-4，再由抛物线的对称性可得b=-1即可；
（2）由抛物线上点的坐标特征结合整式的混合运算可化简为，即可得关于x1的一元二次方程并求解即可；
（3）在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点，使，此时由直线及抛物线上点的坐标特征可分别得出点B、C、D的坐标，则OA＝OC＝OD，即，再过点M作x轴的垂线段MN，则由平行线的性质可得，由于，则必然有，再解直角三角形可得，此时由待定系数法可得直线的表达式，由于点M是直线DE与AC的交点，则联立两直线解析式可得点M的坐标，即MN、ON、DN可得，则，即点F坐标可得，再利用待定系数法求出直线CF的解析式，同理由于点G是直线CF与抛物线的交点，再联立直线与抛物线的解析式可得点G的坐标，由于已知点G在第二象限，再对点G的坐标进行取舍即可．
（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使．
直线与轴分别相交于点，
时，，
．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
直线表达式为．
，
．
，
，
即，
，
，即，
解得．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
解得
直线的表达式为，
与抛物线
联立方程得
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
26．【答案】（1）等腰直角三角形
（2）解：①如图1，连接，设边与相交于点．
，
，．
在和中，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
，
即是的平分线；
②如图2，过点作于点．
在中，，
．
由①证得，
．
∴若是直角三角形，只有．
，
．
于点，
四边形是矩形，
，
．
，，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
当线段时，是直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；手拉手相似模型
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴，
∵
∴，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
【分析】
（1）一线三垂直全等模型，由全等的性质可得AC＝CD，，再由直角三角形两锐角互余结合等量代换即可得，再由平角的概念可得，即是等腰直角三角形；
（2）①如图，设AC交DF于点G，连接，则由 一线三垂直全等模型可证明，则再由全等的性质结合对顶角相等可得，即FG垂直AH，再由等腰三角形三线合一可得FG垂直平分AH，则AD＝HD，再由SSS可证明，则由全等的性质可得，即DF平分；
②过点作于点，则四边形是矩形，则有、、，则，再由手拉手相似模型可得，由相似比可得，此时可设BF＝x，则AN＝BE＝1+x，再化比例式为等积式得关于x的方程并求解，最后再对根进行适当取舍即可．
（1）解：∵，
∴，
∵
∴，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）解：①如图1，连接，设边与相交于点．
，
，．
在和中，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
，
即是的平分线；
②如图2，过点作于点．
在中，，
．
由①证得，
．
∴若是直角三角形，只有．
，
．
于点，
四边形是矩形，
，
．
，，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
当线段时，是直角三角形．
1 / 1湖南省常德市初中学校教学教研共同体2025年初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·常德模拟）如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可知点A表示的数是，
∴它的倒数是；
故选D．
【分析】
观察数轴可知点A表示的数是，再由倒数的概念求解即可．
2．（2025·常德模拟）下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：因为图A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图A不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图A是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意．
故选：D．
【分析】
将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能够与本身重合的图形是中心对称图形．
3．（2025·常德模拟）下列计算正确的是（　　）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，计算正确，故该选项符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
完全平方公式，两数和或差的完全平方等于这两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍；
积的乘方，给各因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
4．（2025·常德模拟）马赫是航空航天领域里表示飞行速度的量词，1马赫就等于每秒声音传播的距离．我国国庆阅兵上展示的，其速度可达到15马赫，约18360千米/小时．其中数据18360用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：18360用科学记数法表示为，
故选：C．
【分析】
常把一个绝对值较大的数字用科学记数法表示成的形式，其中，n取这个数字整数部分数位个数与1的差．
5．（2025·常德模拟）天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（　　）
A．明天全市将有99%的地方是晴天
B．明天全市将有99%的时间会是晴天
C．明天全市是晴天的可能性较大
D．明天全市一定会是晴天
【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，所以A不符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市不一定的时间是晴天，所以B不符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，晴天的可能性较大，所以C符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，不一定全市一定晴天，所以D不符合题意．
故选：C．
【分析】
概率的意义，即明天是晴天的机率极大．
6．（2025·常德模拟）一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴一次函数的图像经过第一，三象限．
∵，
∴一次函数的图像经过第一，二，三象限，
所以一定不经过第四象限．
故选：D．
【分析】
对于一次函数，当时该直线经过第一，二，三象限．
7．（2025·常德模拟）如图，点在上，点在优弧上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理可得：，
故选：B．
【分析】
圆周角定理，即同弧所对圆周角是圆心角的一半．
8．（2025·常德模拟）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题知，，（海里），
如图，由两直线平行，内错角相等可知，，
，
为等边三角形，
海里，
故选：A．
【分析】
由方位角结合平角的概念可得，由平行线的性质结合方位角可得，则可判定为等边三角形，则BC等于AB，再利用距离公式求出AB的长即可．
9．（2025·常德模拟）如图，在中，，，的平分线交于点．下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：选项A 在中，，，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∴，该选项正确．
选项B 在中，，
∴． 又
∵，
∴，该选项正确．
选项C ，∵，，
∴
∴，即，该选项正确．
选项D 设，
∵
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
由勾股定理，
∴，
∴，，显然，该选项错误．
故选∶D
【分析】
A、由直角三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，再由等角对等边可得结论成立；
B、由直角三角形中30度的性质结合等量代换即可；
C、由AA可证，再由相似比即可；
D、解直角三角形知，再由直角三角形中30度的性质可得．
10．（2025·常德模拟）如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，摆放得到图2所示，连接，则的长度是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，
且，
，且为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由题意知，即是等边三角形；再由全等的性质结合三角形的内角和知，即也是等边三角形；再由三角形全等的性质结合已知可得AF＝AC，再由等边对等角结合三角形外角的性质可得，则，再解直角三角形可得.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·常德模拟）若，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的基本性质；比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴在等式两边同时除以，
得到 ．
∴ ，
故答案为：．
【分析】
由于 ，则由等式的基本性质可得．
12．（2025·常德模拟）已知是方程的解，则　 　．
【答案】5
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】
由方程解的概念可将代入方程得关于a的方程并求解即可．
13．（2025·常德模拟）如图，在正五边形中，交于点，则　 　度．
【答案】18
【知识点】角的运算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正五边形中，
∴．
∵，
∴．
故答案为：18．
【分析】
先由正五边形的性质结合正五边形的内角和可得，再由垂直的概念结合角的和差关系即可．
14．（2025·常德模拟）小明参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“龙蛇飞舞”“画蛇添足”“龙腾虎跃”“虎头蛇尾”的4张卡片中，随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有‘蛇”字的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：4张卡片中3张成语含有‘蛇”字，
故随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有‘蛇”字的概率是：，
故答案为：
【分析】
直接利用简单事件的概率公式求解即可．
15．（2025·常德模拟）已知近视眼镜的镜片屈光力（单位：）与镜片的焦距（单位：米）满足函数关系：．已知一块近视眼镜的镜片屈光力为，则该镜片的焦距为　 　米．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵
∴，
当时，则（米）
故答案为：
【分析】
直接由双曲线上点的坐标特征把代入到函数解析式中求得f即可．
16．（2025·常德模拟）如图，在边长为6的菱形中，对角线，相交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，则　 　．
【答案】3
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意可知是的垂直平分线，
∴点M是的中点．
∵四边形是菱形，
∴，
∴是斜边BC上的中线，
∴．
故答案为：3．
【分析】
由基本尺规作图知是的垂直平分线，即点M是的中点，又因为菱形的对角线互相垂直平分，即是斜边BC上的中线，则．
17．（2025·常德模拟）图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质；余角
【解析】【解答】解：矩形，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
（），
故答案为：
【分析】
由矩形的性质结合旋转的性质可得，即是等边三角形，则，再利用扇形面积公式计算即可．
18．（2025·常德模拟）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∵与互为“完美关联角”，
∴，
即或，
解得或．
在中，或．
故答案为：或．
【分析】
先由等腰三角形三线合一知，再由等边对等角可得，由角平分线的概念可得，再由直角三角形两锐角互余结合对顶角相等可得，再结合已知可得关于的绝对值方程并求解，最后再由直角三角形两锐角互余即可得．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·常德模拟）计算：；
【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别进行开方和乘方运算，再求有理数的绝对值，最后再进行加减运算即可.
20．（2025·常德模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分并进行同分母分式的加法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代入数值计算即可．
21．（2025·常德模拟）某调研小组为解决学生拖延的坏习惯，在某校开展了调研活动，并提供一些应对策略．同学们根据自身实情，选择其中一项（每人只选一项）对自己最有效的策略：A：即刻行动；B：心理暗示；C：“神奇的4分钟法则”；D：邀请别人督促自己；E：换个环境学习（如换学校，在家学习等）．为此，在三个年级各随机发放相同数量的调查问卷，让同学们现场填写，及时回收，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）参加调查的人数共有___________人；请补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角度数为___________度；扇形统计图中的的值为___________．
（3）若该校学生有人，请估算该校选择“A”策略的学生人数．
【答案】（1）， 补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：（人）．
答：该校选择“A”策略的学生约有400人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：参加调查的人数有：（人），
选择“C”的人数为：（人）；补全条形统计图如下：
（2），
∴．
故答案为．
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可利用选择“B”的学生人数除以其所占调查总人数的百分比即可得出总人数，则“C”类学生人数可得，再补全条形统计图即可；
（2）利用选择“C”的学生人数除以其所占调查总人数的百分比，再乘以即可；
（3）用样本估计总体，即用“A”的学生人数所占百分比乘总人数即可．
（1）解：参加调查的人数有：（人），
选择“C”的人数为：（人）；补全条形统计图如下：
（2），
∴．
故答案为．
（3）（人）．
答：该校选择“A”策略的学生约有400人．
22．（2025·常德模拟）某数学兴趣小组运用无人机、测角仪等工具测量甲、乙两栋建筑物之间的距离．如图，在空旷的点处释放无人机，以的速度匀速竖直上升，飞行至点处悬停，测得甲、乙建筑物底部（点）的俯角分别为和．若图中所有的点都在同一平面内，且点在同一水平直线上．已知，求甲、乙两栋建筑物之间的距离．（结果保留根号）
【答案】解：由题意知，，
，
．
在中，，
．
同理，在中，，
．
答：甲、乙两栋建筑物之间的距离为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】过点B作CD的垂线段BA可构造两个直角三角形，即和 ，则由题意可得AB＝50，再由平行线的性质结合已知方位角分别解直角三角形可得AC、AD的长，再利用线段的和差关系即求出CD．
23．（2025·常德模拟）某校为举办风筝艺术节计划购买一批风筝．已知哪吒2系列风筝的单价比普通动物风筝的单价多35元，用1300元购买哪吒2系列风筝的数量与用600元购买普通动物风筝的数量相同．
（1）求哪吒2系列风筝和普通动物风筝的单价；
（2）若购买150个风筝，哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，问：购买哪吒2系列风筝的数量为多少时，学校花费最少．
【答案】（1）解：设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元．
根据题意得，
解得．
经检验，是方程的解，也符合题意，
．
答：哪吒2系列风筝的单价为65元，普通动物风筝的单价为30元；
（2）解：设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个．
哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，
，
解得．
根据题意得，
，
当时，取最小值．
答：购买哪吒2系列风筝60个，学校花费最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元，再由相等关系“ 数量相同 ”列出分式方程并求解即可；
（2）设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个，再由不等关系“ 哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的 ”列出关于m的不等式可得m的取值范围，再由题意可得W是关于m的一次函数，即，由于一次项系数为正，则W随m的增大而增大，即当m取最小值60时花费最小，再求出这个最小值即可．
（1）解：（1）设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元．
根据题意得，
解得．
经检验，是方程的解，也符合题意，
．
答：哪吒2系列风筝的单价为65元，普通动物风筝的单价为30元；
（2）解：设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个．
哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，
，
解得．
根据题意得，
，
当时，取最小值．
答：购买哪吒2系列风筝60个，学校花费最少．
24．（2025·常德模拟）如图，是的内接三角形，，．点在的延长线上，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：如图：
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）证切线，连半径，证垂直。故先连接，由圆周角定理可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得、，再由角的和差关系可得即可；
（2）由（1）知、，则解直角三角形可得，又已知DF＝DB，则由线段的和差关系结合等量代换即可求得OF的长．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：连接，是直径，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．（2025·常德模拟）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上的两个点，．若，求的值；
（3）如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点G，使，再过点M作x轴的垂线段MN．
令，则
令，则
设直线的表达式为
解得
直线AC的解析式是
是直线 与直线AC的交点
解得
设直线CF的表达式为，
解得
直线CF的表达式为，
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先由抛物线上点的坐标特征可得c=-4，再由抛物线的对称性可得b=-1即可；
（2）由抛物线上点的坐标特征结合整式的混合运算可化简为，即可得关于x1的一元二次方程并求解即可；
（3）在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点，使，此时由直线及抛物线上点的坐标特征可分别得出点B、C、D的坐标，则OA＝OC＝OD，即，再过点M作x轴的垂线段MN，则由平行线的性质可得，由于，则必然有，再解直角三角形可得，此时由待定系数法可得直线的表达式，由于点M是直线DE与AC的交点，则联立两直线解析式可得点M的坐标，即MN、ON、DN可得，则，即点F坐标可得，再利用待定系数法求出直线CF的解析式，同理由于点G是直线CF与抛物线的交点，再联立直线与抛物线的解析式可得点G的坐标，由于已知点G在第二象限，再对点G的坐标进行取舍即可．
（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使．
直线与轴分别相交于点，
时，，
．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
直线表达式为．
，
．
，
，
即，
，
，即，
解得．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
解得
直线的表达式为，
与抛物线
联立方程得
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
26．（2025·常德模拟）如图1，，点在同一条直线上，点与点重合，．将沿向左移动，当点与点重合时，停止移动．
（1）当点与点重合时，判断：的形状是___________；
（2）当边在边上时，
①如图2，若边与边相交于点，且．证明：是的平分线；
②如图3，若，连接，当线段长为多少时，是直角三角形？
【答案】（1）等腰直角三角形
（2）解：①如图1，连接，设边与相交于点．
，
，．
在和中，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
，
即是的平分线；
②如图2，过点作于点．
在中，，
．
由①证得，
．
∴若是直角三角形，只有．
，
．
于点，
四边形是矩形，
，
．
，，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
当线段时，是直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；手拉手相似模型
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴，
∵
∴，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
【分析】
（1）一线三垂直全等模型，由全等的性质可得AC＝CD，，再由直角三角形两锐角互余结合等量代换即可得，再由平角的概念可得，即是等腰直角三角形；
（2）①如图，设AC交DF于点G，连接，则由 一线三垂直全等模型可证明，则再由全等的性质结合对顶角相等可得，即FG垂直AH，再由等腰三角形三线合一可得FG垂直平分AH，则AD＝HD，再由SSS可证明，则由全等的性质可得，即DF平分；
②过点作于点，则四边形是矩形，则有、、，则，再由手拉手相似模型可得，由相似比可得，此时可设BF＝x，则AN＝BE＝1+x，再化比例式为等积式得关于x的方程并求解，最后再对根进行适当取舍即可．
（1）解：∵，
∴，
∵
∴，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）解：①如图1，连接，设边与相交于点．
，
，．
在和中，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
，
即是的平分线；
②如图2，过点作于点．
在中，，
．
由①证得，
．
∴若是直角三角形，只有．
，
．
于点，
四边形是矩形，
，
．
，，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
当线段时，是直角三角形．
1 / 1

展开更多......

收起↑